книги из ГПНТБ / Егоров Н.И. Физическая океанография

Скорость волны зависит не только от ее длины, но и от глубины моря и выражается формулой

и формула (7.17) принимает вид формулы (7.13)

=-У- 2я

Когда отношение мало, как, например, в случае приливных волн, значение гиперболического тангенса можно принять равным значе­ нию аргумента

2я Я.

л %

Тогда формула (7.17) примет вид

Скорость волны в этом случае зависит только от глубины моря. Если задаться ошибкой в определении скорости не более 5%, то

оказывается, что при

Н_

Х> ‘2

можно пользоваться вместо точной формулы (7.17) формулой (7.13), а при значении

Я < - 101

формулой (7.19).

Следовательно, для волн, имеющих длину меньше удвоенной глубины моря, при определении элементов поверхностных волн справедливы формулы трохоидальной теории. Такие волны назы­ вают короткими. К ним относятся ветровые волны, наблюдаемые

длинных волн служат приливные. Волны, у которых - Гл- < Т~< "7Г>

10 Л 2

называют (по Н. Н. Зубову) д л и н н ы м и к о р о т к о п е р и о д ­ ными. Для определения их элементов необходимо пользоваться

221

полными формулами теории длинных волн (7.17), (7.18). К этому виду волн относятся ветровые, распространяющиеся в прибрежной зоне, и цунами.

Характер изменения давления на различных глубинах при про-

ления на всех глубинах примерно одинаково и пропорционально вы­ соте волны на поверхности. Это объясняется тем, что при малых

отношениях ха (длинные волны) период волн большой (в Полусу­

точной приливной волне он равен 12,5 часа). Следовательно, цен­ тробежные силы, возникающие при движении частиц по орбите, малы и не влияют на их вес (силу тяжести). Поэтому изменения давления определяются только изменениями высоты столба воды.

Особенности изменения давления при прохождении коротких и длинных волн используются для их измерения приборами, основан­ ными на гидростатическом принципе. Если опустить такой прибор на глубину, большую полудлины короткой (ветровой) волны, он бу­ дет регистрировать только длинные волны (например, приливные). Если поместить его на меньшую глубину, он будет регистрировать и те и другие. Но так как период ветровых волн мал, их легко отде­ лить от приливных.

Нужно при этом помнить, что прибор регистрирует короткие волны на глубине установки прибора. Для получения высот поверх­ ностных волн необходимо вводить переводной множитель, который может быть найден опытным путем или приближенно по формуле

(7.9).

Выводы теории волн для мелководного моря могут быть исполь­ зованы при изучении приливных волн, для которых хорошо выпол­ няется соотношение (7.19) и профиль которых близок к синусои­ дальному, а также частично при изучении ветровых волн и волн зыби при их распространении из открытой части моря к побережью в условиях постепенно уменьшающейся глубины моря.

Групповая скорость волн. Рассмотренные теории морских волн относятся к простым системам волн, имеющим на всем пространстве одинаковые высоты и периоды (длины). В природе никогда не на­ блюдается такая система. Волны всегда представляют собой сумму того или иного количества простых волн, распространяющихся в различных направлениях и имеющих различные высоты и периоды.

Простейшим случаем системы волн является наложение (интер­ ференция) волн, близких между собой по периоду и высоте. Резуль­ тат интерференции двух таких волн представлен на рис. 7.8. Пунк­ тиром показаны интерферирующие волны, черной сплошной ли-

222

нией — результирующая волна, а тонкой сплошной линией — ее огибающая. Как видно на рисунке, огибающая охватывает не­ сколько результирующих волн, изменяющих свою высоту от почти нулевых значений до наибольшей в данной совокупности, называе­ мой группой волн.

Рис. 7.8. Схема сложения (интерференции) волн.

1—2 — интерферирующие волны, 3 — результирующая волна.

На рис. 7.9 показана группа двухмерных волн в перспективе. Как видно на рис. 7.8, 7.9, интерференция волн приводит к извест­ ному явлению «девятого вала», когда через несколько постепенно нарастающих по высоте волн приходит особенно высокая волна, ко­ торую и называют девятым валом. Легко показать, что наибольшая по высоте волна может быть любой, а не только девятой, в зависи­ мости от периодов интерферирующих волн.

Рис. 7.9. Группа двухмерных волн в пространстве.

Огибающая группы волн перемещается вместе с перемещением результирующей волны. Однако скорость ее перемещения, которая определяет скорость перемещения группы волн сгр и называемая групповой скоростью, не совпадает с фазовой скоростью интерфе­ рирующих волн Ci и сг.

В случае глубокого моря между этими скоростями существует

223

Так как периоды интерферирующих ветровых волн в глубоком море часто близки между собой, можно принять Ci и с2 равными их средней скорости с, что дает

Следовательно, для волн глубокого моря можно принять груп­ повую скорость волн равной половине фазовой скорости.

Для волн мелководного моря групповая скорость зависит от от-

мится к фазовой скорости. Последняя имеет место в случае распро­ странения приливных волн. Групповая скорость непосредственно определяет скорость переноса энергии волн в направлении их рас­ пространения и входит в уравнение баланса энергии волн, которое будет рассмотрено ниже.

Энергия волн. Энергия частиц при волнении складывается из кинетической энергии, не меняющейся при их движении по орбите, и потенциальной, которая меняется, так как при движении по ор­ бите меняется высота частиц над спокойным уровнем.

Если бы центр орбиты частицы совпадал с положением частицы в состоянии покоя, как было принято выше, средняя потенциальная энергия за один оборот частицы по орбите была бы равна нулю. Однако в действительности центр орбиты частицы несколько при­ поднят над положением покоя. Вследствие этого осредненное за пе­ риод значение потенциальной энергии будет отличаться от нуля и зависеть от величины превышения центров орбит над положением частиц в покое.

Для определения этого превышения возьмем профиль волны, изображенный на рис. 7.10. Для того чтобы найти уровень, соответ­ ствующий нулевому значению потенциальной энергии, необходимо провести линию NN', которая делила бы площадь поперечного се­ чения волны на две равные части. Как видно на рис. 7.10, эта линия проходит ниже линии 0 0 ', соединяющей центры орбит. Линия NN' соответствует положению частиц в спокойном состоянии, когда по­ тенциальная энергия равна нулю. Следовательно, ордината т) опре­ деляет отклонение среднего положения частиц при волнении отно­ сительно состояния покоя.

Тогда потенциальная энергия частицы, отнесенная к единице массы, будет равна произведению grp Среднее превышение частицы

224

Рис. 7.10. Схема для вычисления потенциальной энергии волн.

г] может быть найдено на площади OO'NN', которая равна яг2. Так как расстояние 0 0 ' равно X, то

я г2

11 = - X '

Отсюда потенциальная энергия частицы, имеющей массу, рав­ ную единице, ДЕа будет равна

я л2

Л£ п—ё X

Найдем теперь кинетическую энергию частицы с единичной мас­ сой АЕК. Она равна

где v — линейная скорость движения частицы по орбите.

Но о = сог, где со — угловая скорость движения частицы по орбите,

2я

которая связана с периодом волны выражением <о = -----.

т

Всвою очередь, из формул (7.1) и (7.13) имеем

л/ 2яА,

*ё

Следовательно, кинетическая энергия частицы с единичной мас­ сой будет равна

и2 со2г2 4я2г2 An2gr2

К=Т = _ 2 ~ =~ЖГ = ^ 1 ~

или после сокращения

ё ш 2

Л£к =

Таким образом, кинетическая энергия частицы с единичной мас­ сой равна потенциальной. Полная энергия равна сумме -кинетиче­ ской и потенциальной энергии, т. е.

2 g n г 2

А£ = Д£к+ Д £п =—=- .

А

Количество энергии, которым обладает столб воды толщиной d b с основанием, равным единице, и плотностью р, будет

тт г 2

d E = АЕ р d b = 2 g p —— d b .

Л

Для получения полной энергии, заключенной в столбе воды с единичным основанием, т. е. энергии, приходящейся на единицу поверхности волны, необходимо проинтегрировать это выражение по всей толще от нуля до бесконечности

E = ^ 2 g ^ ^ - d b ,

найдем энергию, приходящуюся на единицу поверхности волны, принимая, что на поверхности моря высота волны равна ho,

Это выражение справедливо для двухмерной волны, у которой высота волны не меняется вдоль гребня. Для трехмерной волны со­ отношение будет иным. Если положить, что вдоль гребня волны ее

трохоидой, а частицы движутся по замкнутым круговым орбитам.

226

В действительности, как показывают наблюдения, частицы имеют и поступательное движение, которое называется в о л н о в ы м т е ч е ­ нием. Оно возникает независимо от того, есть ли ветер или нет его, т. е. обусловлено природой самого явления. Волновое течение не следует смешивать с ветровым течением, возникающим одновре­ менно с волнами под действием касательных напряжений. Теория возникновения волнового течения была разработана академиком В. В. Шулейкиным в 1954 году. Для уяснения этого вопроса рас­ смотрим движение частиц по их орбитам, считая их круговыми.

На рис. 7.11 представлены орбиты частиц А и В, находящихся на одной вертикали. Расстояние между их центрами равно у. Выше указывалось, что такие частицы при движе­

жения в верхнее наблюдается «недостаток» частиц.

Скорость поступательного движения частиц, т. е. скорость вол­ нового течения, за период волны изменяется. Осредиеппая за пе­ риод волны скорость волнового течения vB на поверхности выра­

Так как радиус орбит частиц убывает с глубиной по экспонен­ циальному закону (7.8), то скорость волнового течения vBz на глу­

бине г определится формулой

2 (

® „ ж = Г о ( —

С волновым течением связано увеличение фазовой и групповой скорости на величину vBz.

Оно также изменяет орбитальное движение частиц и вызывает отклонение профиля волны от трохоиды.

На рис. 7.12 светлыми кружками показаны фактические орбиты частиц, наблюденных Шулейкиным в штормовом бассейне. Как видно, они имеют петлеобразный характер. Но если исключить вол­ новое течение, орбиты частиц оказываются близкими к окружно-

Рнс. 7.12. Орбитальные движения частиц по наблюдениям в штормовом бассейне.

стям. Такая орбита показана на том же рисунке черными круж­ ками.

Для характеристики профиля волны при петлеобразном движе­ нии можно представить движение частиц по орбите при условии, ко­ гда ее центр перемещается в направлении распространения волны со средней скоростью волнового течения. В последнем случае орби­ тальное движение частиц приобретет характер эллиптического.

Рис. 7.13. Профили волн при круговом орбитальном движении частиц.

а — трохоидальный, б — эллиптический.

На рис. 7.13 представлены профили волн при круговых орбитах (а) — трохоидальный профиль волны и при эллиптических (б). Как видно на рисунке, профиль волны при наличии волнового течения отличается от трохоиды большим заострением гребня и притуплен­ ной впадиной. Уравнения движения частиц при таком профиле мо­

жно записать в виде

x = RQ + a sin 0, z = b cos0,

228

аналогичные уравнениям (7.15). В отличие от последних здесь R =

X

= _ 2 я Г ’ а — большая полуось эллипса, Ь— малая полуось того же

эллипса, характеризующего движение частиц по их орбитам.

§ 36. Физическая картина развития и затухания волн

Рассмотренные выше классические теории морских волн обла­ дают одним существенным недостатком: они не вскрывают про­ цесса развития и затухания волн и механизма передачи энер­ гии от ветра к волне. Между тем решение именно этих вопросов не­ обходимо с целью получения надежных соотношений для расчета элементов волн. Поэтому дальнейшее развитие теории морских воли пошло по пути установления эмпирических, а затем и теоретических связей между ветром и волнением с учетом разнообразия реальных морских ветровых волн и нестационарностн явления.

Зарождение ветровых волн. Качественно зарождение волн мо­ жно объяснить следующим образом. При начале действия ветра на поверхности моря образуются капиллярные волны (рябь). Они на­ блюдаются визуально при скорости ветра порядка 0,7 м/с и харак­ теризуются высотой порядка 3—4 мм и длиной 40—50 мм. Их воз­ никновение можно объяснить следующим образом. При действии ветра на неподвижную водную поверхность в приводном слое воз­ духа создается большой вертикальный градиент скорости ветра. Вследствие этого движение воздуха у самой поверхности воды ста­ новится неустойчивым и распадается на отдельные вихри с гори­ зонтальными осями, перпендикулярными к направлению ветра. Ви-, хри создают пульсационный ход давления над водной поверхностью, что и приводит к образованию первичных капиллярных волн. Даль­ нейшее воздействие ветра приводит к возрастанию амплитуды волны и ее переходу из капиллярной в гравитационную.

Для количественной оценки развития ветровых волн необхо­ димо рассмотреть уравнение баланса энергии волн, выведенное проф. В. М. Маккавеевым в 1937 г. и определяющее в настоящее время физическую сущность развития и затухания волн.

Уравнение баланса энергии волн и методы его решения. Для вывода уравнения баланса энергии ветровых волн глубокого моря примем, что волна является двухмерной, и выделим объем с сече­ нием ABCD, расположенным перпендикулярно направлению рас­ пространения волн. Ось X направим в сторону распространения волны (по ветру —w), а ось Z вертикально вверх. Ось Y положим перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 7.14), а расстояние по оси равным единице. Тогда выделенный объем численно будет равен площади сечения ABCD, что позволяет перейти от трехмер­ ной задачи к двухмерной.

Положим, что нижняя граница выделенного объема располо­ жена на глубине, на которой волнение отсутствует. Расстояние ВС, равное dx, будем считать достаточно малым для изменения средних значений элементов волн. Очевидно, что изменение средней

229

волновой энергии в выбранном объеме за единицу времени будет

дЕ_

dt dx,

где dx = BC, а Е характеризует среднюю волновую энергию, заклю­ ченную в столбе жидкости с единичной площадью основания и вы­ сотой, равной высоте выделенного столба. Это же изменение энер­ гии можно подсчитать и другим способом. Через грань АВ слева в единицу времени поступает энергия в количестве Е • vc, где vc — скорость переноса энергии, равная групповой скорости волн.

Рис. 7.14. К выводу уравнения баланса энергии волн.

Через грань DC энергия уходит в количестве

Через грань AD в единицу времени поступает энергия от ветра в ко­ личестве

МР dx + Mx dx,

где Мр — количество энергии, передаваемое ветром за счет нор­ мального давления ветра, отнесенное к единице площади; Мх— то же за счет касательного напряжения.

Наконец, часть энергии в количестве Epdx рассеивается турбу­ лентной вязкостью и переходит в тепло; Ец — количество рассеивае­ мой энергии, отнесенное к единице площади.

Таким образом, полное изменение средней энергии в выделен­

Приравнивая оба выражения для изменения энергии в единицу времени и сокращая на dx, получим уравнение баланса энергии ветровых воли

дЕ

dt дх (Evc)JrMp-\-Mx— Ер,.

230