Конспект_2часть

y = b0 + b1z1 + b2z2 + b3 z3 + b12 z1z2 + b13 z13 + b23 z23 + b123 z1z2 z3 .

Для определения коэффициентов надо просуммировать значения функции от-

клика во всех опытах, умноженные на кодированные значения соответствующих переменных:

По этой формуле коэффициент b0 равен среднему значению функции отклика

во всех опытах:

Именно для определения коэффициента b0 был введен формальный пара-

метр z0.

Для трехфакторного эксперимента коэффициенты математической модели

определяются по формулам:

Следует еще раз отметить, что в вычислении коэффициентов принимают уча-

стие все значения функций отклика, что повышает точность расчета. Коэффициенты при независимых переменных b1, b2, …, bn указывают на силу

влияния данного фактора. Чем больше коэффициент отличается от нуля, тем больше влияние соответствующего фактора zj.

117

Коэффициенты b12, b13, …, bn-1,n, …, b12…n отражают парное влияние и для ли-

нейной адекватной модели они должны быть статистически незначимы.

После определения коэффициентов регрессии проверяется их значимость по

критерию Стьюдента. Для этого рассчитывается среднее квадратичное отклоне-

ние воспроизводимости эксперимента по формуле

S2

Sвос = вос

Nm

и затем вычисляются параметры t-распределения:

Полученные значения сравниваются с табличным tα, найденным для выбран-

ного уровня значимости α и числа степеней свободы f=N(m-1). При ti>tα коэффи-

циент bi признается значимым и оставляется в уравнении. При ti<tα соответст-

вующий коэффициент считается статистически незначимым, т.е. равным нулю.

Это означает, что влияние фактора zi на функцию отклика несущественно.

Статистическая незначимость может быть связана со следующими причина-

ми:

1.Данный фактор не имеет функциональной связи с функцией отклика.

2.Уровень базового режима, т.е. центральная точка плана находится близко

к точке локального экстремума.

3.Интервал варьирования по xi выбран чересчур малым.

4.Велика ошибка воспроизводимости эксперимента.

Вследствие ортогональности матрицы планирования каждый коэффициент

оценивается независимо от других, поэтому статистически незначимые коэффи-

циенты приравнивают нулю и математическую модель объекта составляют в виде

связи функции отклика y с факторами zi, имеющими значимые коэффициенты bi.

Проверка адекватности математического описания.

После исключения статистически незначимых коэффициентов проверяется

адекватность математической модели. Для этого по полученному уравнению для

тех же уровней факторов, при которых проводился эксперимент, вычисляются

значения функции отклика yi . Затем рассчитывают дисперсию адекватности по

формуле

118

где d – количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

Далее вычисляют значение критерия Фишера по формуле

По числу степеней свободы f1=N-d, f2=N(m-1) и выбранному уровню значимо-

сти α находят табличное значение критерия Фишера Fα. При F< Fα среднеквадра-

тичное отклонение расчетных и экспериментальных значений функции отклика

статистически незначимо отличается от случайных погрешностей эксперимента,

поэтому модель признается адекватной. При F>Fα различие расчетных и экспери-

ментальных значений нельзя объяснить только случайными погрешностями и в

этом случае математическая модель признается неадекватной.

Если модель оказалась адекватной, то для дальнейшего практического ис- пользования коэффициенты уравнения пересчитываются применительно к нату- ральным переменным. В том случае, если статистически значимыми оказались

только линейные члены, переходят от уравнения

y= b0 + b1z1 + b2z2 + ... + bnzn

куравнению

При наличии в уравнении статистически значимых парных взаимодействий типа zkzs находятся из условия

119

Следует отметить, что в линейной модели отсутствуют квадратичные чле- ны, т.е все коэффициенты bii=0.

В том случае, если количество значимых коэффициентов в уравнении рег- рессии d=N, т.е. все коэффициенты значимы, проверка адекватности по критерию Фишера невозможна, поскольку даже при малых расхождениях расчетных и экс-

периментальных значений функции отклика дисперсия адекватности Sад2 = ∞ .

Ортогональность матрицы планирования, т.е. выполнение условия для любых двух столбцов k и s

N

å zik zis = 0 i=1

позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов bi. Это означает, что величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Однако, это справедливо только в том случае, если на результат влияют только линейные факторы и парные взаимодействия. Иногда существенными могут оказаться коэффициенты при квадратах факторах, их кубах

и т.д. В этом случае при обработке результатов полного факторного эксперимен- та, когда факторы варьируются на двух уровнях, могут появиться смешанные

оценки некоторых коэффициентов уравнения регрессии.

Для двухфакторной зависимости, когда существенными являются не только линейные факторы, но и квадратичные члены, можно записать уравнение регрес-

сии в виде:

y = b0 +b1x1 + b2 x2 + b12 x1x2 + b11x12 + b22 x22 .

120

Построим матрицу планирования, в которой выделим столбцы, отражающие

изменение квадратичных членов.

Столбцы z0, z12, z22 неразличимы, поэтому в результатах опытов также нераз- делимо влияние соответствующих факторов. Нельзя сказать, за счет чего получе- на величина b0. Она включает значение свободного члена и вклады квадратичных

членов. В этом случае имеет место смешанная оценка факторов

b0 → β0 + å βjj .

Здесь b0 – вычисленный коэффициент уравнения;

β0, βjj – неизвестные истинные значения свободного члена и коэффици- ентов при квадратичных членов.

В этом случае имеет место следующая схема смешивания:

b0 → β0 + å βjj ,

Это означает, что все оценки коэффициентов βj βji не смешаны, т.е. каждый

вычисленный коэффициент b1, b2, b12 оценивает значения только соответствую-

щего теоретического коэффициента β1, β2, β12 и соответственно влияние каждого

фактора х1, х2, х12 независимо от других. Свободный член b0 одновременно оце- нивает значение теоретического коэффициента β0 и суммарное влияние квадрат-

ных членов åb jj .

Аналогичный результат получается для трехфакторного эксперимента. Урав- нение регрессии имеет вид:

y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 + b23 x2 x3 + b123 x1x2 x3 +

+ b11x12 + b22 x22 + b33 x23 .

Запишем матрицу планирования коэффициента со столбцами квадратов фак- торов:

121

В этом случае смешанной является оценка только свободного члена b0, оцен- ки остальных членов остаются независимыми:

b0 → β0 + å βii b1 → β1

b2 → β2 b3 → β3 b12 → β12 b13 → β13 b23 → β23

b123 → β123

122