Конспект_2часть

соответствовать одно взвешивание, один результат, один вес, случайная погреш-

ность одного взвешивания.

Можно, однако, указать способ нахождения веса каждого предмета, но с такой

точностью, как если бы каждый взвешивался дважды и полученные два результа- та были усреднены. Для этого каждый предмет действительно должен быть взве- шен дважды. Но разрешается произвести всего два взвешивания. Следовательно,

каждый предмет должен побывать на чашках весов дважды. Если поместить оба предмета на одну чашку и взвесить их, то получим оценку суммы их весов S = P + Q . Чтобы разделить сумму на компоненты, необходимо или взвесить один

предмет, или же найти разницу весов компонентов. Поместив предметы на чашки, с помощью гирь уравновесим весы и найдем разность D = P − Q . Используя ре- зультаты двух взвешиваний, найдем веса каждого из предметов:

P = S + D ,

2

Q = S − D . 2

При такой схеме каждый предмет взвешивается дважды, используются всего

два взвешивания, при этом вес каждого предмета оценивается с точностью, соот-

ветствующей усреднению результатов двух взвешиваний. Недостаток этой стра- тегии взвешивания состоит в том, что до окончания всех взвешиваний мы не по-

лучаем информации о весе предметов. Вознаграждением за задержку в данном

случае является повышенная точность результатов.

Основная идея выбора условий проведения опытов при планировании экспе- римента заключается в том, чтобы каждое наблюдение давало информацию не- скольких параметрах. Поэтому условия проведения опытов не могут выбираться

произвольным образом, необходимо построение соответствующих планов экспе-

римента.

Планирование эксперимента начинают с выбора факторов, существенных для

исследуемого объекта. Этот этап неформализован, т.е. нет формальных критери- ев для того, считать ли данный параметр существенным фактором, или можно им

пренебречь. Если в эксперименте исследовать все возможные факторы, то про- грамма эксперимента будет непомерно громоздкой. С другой стороны, если какие-

либо факторы исключаются из списка существенных слишком поспешно, то могут

быть получены неверные выводы о реальной ситуации или исследователь может затратить слишком много времени для поиска истинных связей.

108

Рекомендуется с самого начала составить полный перечень всех факторов,

которые могут оказать влияние на интересующие свойства объекта. Далее на ос- новании имеющихся данных следует факторы на две группы. В первую группу

войдут наиболее существенные факторы, значения которых в эксперименте будут изменяться целенаправленным образом. Изменения факторов второй группы, от- несенных к разряду несущественных, в эксперименте не планируется, но их зна-

чения контролируются. При появлении новой информации о степени влияния факторов они могут быть перемещены из одной группы в другую.

Следующим этапом является выбор интервалов варьирования существенных факторов. По возможности желательно просмотреть эффект каждого фактора в широких пределах изменения условий или уровней других факторов. Устойчивый

эффект, даже нулевой, в широкой области варьирования других факторов явля- ется достаточно убедительным. Вместе с тем области определения факторов имеют свои ограничения. Различают следующие типы ограничений:

1.Принципиальные ограничения, которые не могут быть нарушены ни при ка- ких обстоятельствах. Например, нижний предел варьирования температу-

ры – абсолютный нуль.

2.Ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, опре- деляются стоимостью сырья, дефицитом отдельных компонентов, необхо-

димой продолжительностью опытов.

3.Ограничения, связанные с конкретными условиями. В качестве ограничи- телей выступает наличие соответствующей измерительной аппаратуры, технология переработки, предельная температура металла и т.д. Напри- мер, если пытаемся определить содержание кислорода в дымовых газах и используем наиболее распространенный газоанализатор типа ГХП-3М, то концентрацию кислорода ниже 0,1% определить не сможем, поскольку чув- ствительность и погрешность прибора не позволяют измерять такие вели-

чины. Также не можем проводить испытания промышленного парового кот-

ла при температуре горения 3000°С, так как обмуровка и металл труб не

выдержат подобной нагрузки, хотя принципиально этого можно достичь. Для определения допустимых пределов отдельных факторов могут быть про-

ведены специальные эксперименты. На этой стадии нет необходимости варьиро-

вания всеми факторами, здесь определяются возможности изменения только от- дельных факторов. Однако при этом следует оценивать возможности появления

109

несовместимых комбинаций факторов. Это ограничение также может сузить диа-

пазон варьирования.

После определения границ изменения факторов определяется область для

планирования эксперимента. Эта область должна входить в область допустимых значений, но она, как правило, уже. Например, при изучении теплоотдачи от воды к стенке при атмосферном давлении интервал допустимых температур лежит ме- жду 0 и 100°С. Но в точке, близкой к нулю, жидкость ведет себя совершенно ина-

че, чем при 30°С. Также существенные отличия свойств воды при температуре,

близкой к 100°С. С другой стороны, если необходима информация для разработки

теплообменника с температурой воды 30-60°С, то нет необходимости охватывать весь диапазон 0-100°С. В этом случае опыты планируются вокруг средней точки, наиболее близко лежащей к интересующей области практического использования.

Наиболее часто используются центральные композиционные планы, пред-

ставляющие собой наборы точек, расположенных симметрично относительно

центра изучаемой области факторного пространства. Для каждого фактора выби-

рают базовую точку xi0 и от ее в разные стороны откладывают интервал величи- ной Dxi. Этим самым определяются области проведения эксперимента:

Выбор интервала варьирования также ограничен:

1.Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой в эксперименте фиксируется фактор, иначе верхний и нижний уровни ока- жутся неразличимыми.

2.Интервал варьирования не может выходить за границы допустимой облас-

ти изменения параметров. Если при исследовании теплоотдачи от воды к стенке взята базовая точка t=70°C, то нельзя выбрать интервал варьиро-

вания Dt=40°С.

3.При выборе интервалов варьирования факторов необходимо учитывать точность в определении функции отклика. Изменение функции отклика

должно быть заметно на фоне погрешностей при небольшом числе парал- лельных опытов.

110

4.При выборе интервалов варьирования факторов необходимо согласовать

свойства математической модели и возможное поведение функции откли- ка. Если для описания функции отклика используется линейная модель, но

в общем случае искомая зависимость нелинейна, то излишне широкий

ния приводит к своим трудностям:

1.При малом шаге увеличивается отношение величины помех к полезному сигналу, что потребует увеличения количества параллельных опытов для

выделения сигнала на фоне шума.

2.Уменьшение интервала варьирования приводит к уменьшению значений коэффициентов в уравнении регрессии, отражающих влияние соответст-

вующих факторов. Эти коэффициенты могут оказаться статистически не-

значимыми.

Обычно шаг варьирования выбирают равным 0,05-0,3 от диапазона определе- ния, т.е. область варьирования составляет 10-60% от всей области определения.

После выбора центральных точек и интервалов варьирования проводится ко- дирование значений факторов, т.е. взамен значений факторов xi вводятся новые переменные zi. Центральным точкам, т.е. значениям факторов в центре, присваи- вается значение 0, верхнему значению +1, нижнему –1, значения новых перемен-

ных внутри диапазона варьирования рассчитываются во формуле: zi = xi −xxi 0i .

Для качественных факторов, имеющих два уровня, одному фактору присваи-

вается значение +1, другому –1. Порядок присвоения не имеет значения.

111

В качестве примера кодирования рассмотрим уровни варьирования для четы-

рех факторов.

112

Лекция 23. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Для получения линейной модели, т.е. модели первого порядка, все факторы

варьируются только на двух уровнях, верхнем и нижнем.

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, в котором

реализуются все возможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов, причем каждый фактор варьируется только на двух уровнях.

Количество опытов, которые необходимо провести в ПФЭ, определяется вы-

Существует геометрическая интерпретация ПФЭ. В случае двух факторов

опыты проводятся в вершинах квадрата

Условия эксперимента записывают в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента.

Матрица составляется по следующим правилам:

1.Каждая строка представляет набор координат точки, в которой проводится

опыт.

2.Вводится фиктивная переменная x0 = z0 = 1.

3.Так как переменные в ПФЭ принимают значения только +1 и –1, то пишут

«+» и «-».

113

4.Первая строка выбирается таким образом, чтобы все управляемые пере-

менные z1, z2, …, zn находятся на нижнем уровне. Последующие точки, т.е. строки, выбираются по правилу: при построчном переборе всех вариантов

частота смены знака управляемых переменных для каждой последующей переменной вдвое меньше, чем для предыдущей. Столбцы управляемых переменных образуют план эксперимента, а остальные столбцы матрицы

получаются перемножением соответствующих значений управляющих пе-

ременных.

В качестве примера приведена матрица для трехфакторного эксперимента

(ПФЭ 23).

Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами:

1. Сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю

N

å zji = 0.

j=1

Это означает, что влияние верхнего и нижнего уровней одинаково.

2. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

N

å z2ji = N.

j=1

Это обеспечивает максимальную точность определения коэффициентов уравнения, так как в вычислении каждого из коэффициентов используются ре- зультаты всех опытов.

3. Сумма почленных произведений любых вектор-столбцов равна нулю:

N

å zjizjk = 0.

j=1

114

Это условие называется ортогональностью или взаимной перпендикулярно-

стью. В этом случае оценки влияния каждого фактора не зависят от оценок влия- ния других факторов.

4.Матрица ПФЭ обладает рототабельностью, т.е. точность предсказания

значений функции отклика одинакова на равных расстояниях от центра

плана и не зависит от направления.

Определение последовательности проведения опытов.

Результаты измерения функции отклика содержат случайные погрешности,

поэтому в каждой точке плана опыты обычно дублируются. Допустим, что в каж- дой точке проводится m дублирующих опытов. Количество опытов при этом воз- растает и становится равным Nm. Для уменьшения влияния случайных факторов

производится рандомизация последовательности проведения опытов, т. е. Слу- чайный выбор последовательности проведения.

Рандомизация проводится для всех Nm опытов или отдельно для каждой се- рии N опытов. Для выбранной схемы рандомизации из таблицы случайных чисел

с любого места любого столбца выбираются по порядку все числа в диапазоне от

0 до Nm или N и записываются в отдельный столбец матрицы, при этом уже

встретившиеся ранее числа пропускаются. Эти числа означают порядковый номер проведения эксперимента в данной точке плана. Если планируется последова-

тельное проведение серий опытов, то рандомизация выполняется отдельно для

каждой серии.

Проведение рандомизации опытов является желательной, однако встречается много случаев где рандомизация затруднена, дорога и неудобна. Случайное че-

редование экспериментальных условий может существенно увеличить затраты времени на проведение экспериментов, если изучаемая система требует много времени для возврата в состояние равновесия после изменения какого-либо фак- тора. Например, при исследовании характеристик работы отдельных элементов

оборудования при различной нагрузке энергоблока опыты проводятся при после- довательном снижении или увеличении нагрузки, эксперименты со случайным

выбором нагрузки становятся слишком дорогими и продолжительными. Частично эффекта рандомизации можно достичь, проводя одну серию опытов с последова- тельным снижением нагрузки, а другую – с подъемом. Однако, в этом случае сле-

дует особо обратить внимание на возможность появления эффекта гистерезиса, при котором значение функции отклика зависит не только от уровней факторов, но и от направления их изменения. Точно также может оказаться неприемлемым

115

случайное изменение конструктивных параметров установки в дублирующих опы-

тах, если это изменение требует соответствующей реконструкции.

Проверка воспроизводимости результатов эксперимента.

После реализации всех запланированных опытов для каждой точки плана по-

лучаем m значений функций отклика: yi1, yi2,..., yim , которые затем усредняются

m

å yik yi = k =1 .

m

Далее для каждой точки вычисляются значения дисперсий по формуле

Проверку однородности дисперсий проводят по критерию Кохрена:

(S2 )

G = yi max .

N

å Syi2 i=1

В соответствующей таблице для уровня значимости α, числа степеней свобо- ды f1=m-1 и f2=N находится критическое значение Gкр.

Если G<Gкр, то можно считать, что точность воспроизведения опытов в каждой точке одинакова. В этом случае определяют дисперсию воспроизводимости экс-

перимента по формуле

Если G>Gкр, то это означает, что точность воспроизводимости опытов из-за

случайных колебаний каких-то факторов в разных точках различна, поэтому необ-

ходимо увеличить число дублирующих опытов для точек с большим значением дисперсии.

Получение математической модели.

Полный факторный эксперимент позволяет получить математическое описа-

ние функции отклика в виде

y = b0 + b1z1 + b2z2 + .. + bnzn + b12 z1z2 + b13 z1z3 + .. + bn−1,nzn−1zn + b12...nz1z2..zn

Количество коэффициентов в уравнении равно количеству опытов в одной серии опытов или количеству строк в матрице планирования эксперимента. В частности,

для трехфакторного эксперимента можно получить уравнение в виде

116