Конспект часть 1 (1)

Лекция 1. ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Одной из основных операций в экспериментах является проведение измере-

ний. Измерения разделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях

определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно

или с помощью измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К этим измерениям относятся измерения длины линейкой, температуры с помощью термометра, времени с помощью секундомера, скорости с помощью

спидометра.

При косвенных измерениях измеряемая величина вычисляется по результа-

там прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Примером косвенных измерений

являются определение скорости движения с помощью измерения длины пути и времени, определение плотности тела по измерению массы и объема и т.д.

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат всегда содержит некоторую ошибку, то есть дает лишь приближенную оценку ис-

тинной величины. Обычно стараются произвести измерения с наибольшей дости-

жимой точностью, то есть сделать погрешность измерения по возможности мини- мальной. Но достижение высокой точности измерения требует применения более сложных и дорогих приборов, обеспечения более строгих условий к окружающей среде (поддержание заданной температуры с помощью термостатов, устранение вибраций с помощью специальных фундаментов и т.д.). Такие меры связаны с увеличением затрат на организацию измерений, поэтому не следует требовать

более высокой точности, чем действительно необходимо по существу задачи. При

изготовлении участка врезки трубы в системе водоснабжения достаточна точ- ность в 1-2 мм, при изготовлении сверхзвукового сопла газового эжектора диа- метр критического сечения должен быть выполнен с точностью ± 0,1 мм.

Ошибки эксперимента можно разделить на три класса: систематические

ошибки, случайные ошибки и грубые промахи. Суммарная ошибка любого изме- рения состоит из ошибок этих классов. Относительный вес каждой из этих ошибок зависит от используемого прибора, условий проведения эксперимента, способно- сти и внимательности экспериментатора.

Систематические ошибки вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они связаны с

ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора), непра-

3

вильным выбором метода измерения, неправильной установкой прибора. Приме-

ры: измерительная диафрагма имеет другой диаметр, чем тот, на который рас- считывается коэффициент расхода; линейка начинается не с нуля. Систематиче-

ские погрешности вызываются вполне определенными причинами, величина их либо при всех повторных измерениях остается постоянной, либо изменяется по определенному закону.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных величин, действие которых в каждом измерении различно и не может быть заранее учтено.

Типичный пример – ошибка параллакса. Для отсчета делений шкалы необходимо расположить глаз на перпендикуляре к шкале, проходящем через конец стрелки прибора или край измеряемого предмета. На рис.1.1 показано, что при нарушении

возможно, математическая теория случайных явлений позволяет уменьшить вли- яние этих погрешностей на результат измерений.

Промахи появляются при ошибках экспериментатора, нарушениях режима ра- боты установки или неисправности измерительной системы.

При проведении измерений необходимо пытаться исключить из результатов эксперимента систематические ошибки и промахи, чтобы избежать существенного искажения результатов. Когда существует возможность определить величину си-

стематической ошибки, необходимо в окончательный результат вводить соответ- ствующие поправки. Если такой возможности нет, то надо попытаться системати- ческую погрешность перевести в случайную.

4

По своему определению случайная величина равновероятно может иметь по-

ложительную или отрицательную ошибку. Поэтому увеличение количества изме- рений при определении среднего может уменьшить величину ошибки. Системати-

ческая ошибка дает ошибку одного знака и поэтому увеличение количества изме- рений не влияет на окончательную величину систематической ошибки.

Таким образом, если провести ряд измерений и взять среднее арифметиче-

ское из этого ряда, то случайная ошибка этого среднего будет меньше, чем ошиб- ка единичного измерения. Систематическая ошибка при этом останется неизмен-

ной.

Обычно руководствуются правилом: если систематическая ошибка является определяющей, то есть ее величина существенно больше случайной ошибки, то

измерения достаточно выполнить один раз. Если систематическая ошибка много меньше случайной, измерения следует проводить несколько раз, причем столько,

Здесь х - среднее арифметическое измеренных значений. Иногда используют по-

нятие приведенной погрешности

где хмах – максимально возможное значение или максимальное значение шкалы

прибора.

Иногда измерения проводятся для оценки качества изделия. Например, необ- ходимо установить на турбину набор сопел, диаметр которых должен находиться

в пределах 30±0,013 мм. При измерении оказалось, что диаметр равен 30,012 мм.

Ошибка измерительного устройства 0,002 мм. Если считаем, что размер сопла находится в пределах допуска, то можем совершить ошибку, так как его диаметр

может быть равным 30,014 мм, что выше допуска. Если при измерении получим

=30,014 мм и бракуем сопло, то также можем совершить ошибку, так как на самом

деле диаметр может оказаться равным 30,012 мм, что в пределах допуска. С дру- гой стороны, он может быть также равным 30,016 мм.

5

Различают ошибки первого рода и второго рода. Ошибкой первого рода назы-

вается признание бракованным фактически годного изделия. Ошибкой второго рода называется признание годным фактически негодного изделия. Очевидно, что

когда размеры изделия или характеристики оборудования находятся вблизи гра- ницы допуска, имеется возможность появления ошибок первого или второго рода.

Если имеем дело с дорогим и сложным устройством, то целесообразно забра-

ковать сомнительный, но возможно годный элемент, чем пропустить брак. При дешевом производстве чересчур жесткий контроль ведет к неоправданным поте-

рям. Например, при приемке в эксплуатацию сварных швов паропроводов сомни- тельный шов лучше переварить, чем допустить разрыв паропровода. С другой стороны, по техническим условиям на мельницы котлов должны поступать куски

угля размером не более 25 мм. Если в тракте топливоподачи установить жесткий контроль по этому размеру, то из-за неправильной формы кусков угля и взаимо- действия кусков друг с другом может возникнуть неоправданно большой массопо- ток угля, направляемого на повторное дробление. Поэтому на тракте топливопо- дачи после дробилок обычно устанавливают сетки с ячейками 40-50 мм.

6

Лекция 2. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

В природе нет ни одного физического явления, в котором бы ни присутствова-

ли бы элементы случайности. Как бы точно ни фиксировались условия проведе- ния опытов, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты

полностью и точно совпадали. Это связано с тем, что на протекание процессов влияет большое количество разнообразных факторов. Случайные отклонения вы- зываются наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на исход опы-

та, но не заданных в числе основных условий. Основные условия опыта сохраня- ются неизменными; второстепенные – меняются от опыта к опыту и вносят слу-

чайные различия в результаты.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют каждому закономерному явле- нию. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную

схему и предполагая, что действуют только основные факторы и процесс проте- кает определенным образом. По мере развития науки число учитываемых факто-

ров становится все больше, явления исследуются подробнее, прогноз становится

точнее. Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов, от которых зависит явле- ние. Однако, на практике такая попытка приводит к тому, что из-за непомерной сложности решение оказывается невозможным.

Очевидно, что должна существовать принципиальная разница в методах уче- та основных решающих факторов, определяющих в главных чертах течение явле-

ния, и вторичных второстепенных факторов, влияющих на протекание процесса в

качестве «погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, прису- щий случайным явлениям, требует создания специальных методов анализа. Та- кие методы разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Практика показывает, что наблюдая массы однородных случайных явлений, мы обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, свойственные

именно массовым случайным явлениям. Например, если много раз подряд бро- сать монету, то частота появления герба постепенно стабилизируется, приближа-

ясь к 0,5. Такое же свойство устойчивости частот обнаруживается и при много-

кратном повторении любого другого опыта, исход которого заранее неопределен, то есть случаен.

7

Подобные специфические, так называемые статистические закономерности

наблюдаются всегда, когда имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически незави-

симыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений. Эти особенности в массе как бы взаимно погашаются, и средний результат в массе оказывается практически уже не случайным. Именно эта устойчивость массовых

случайных явлений и служит основанием для применения вероятностных (стати- стических) методов.

Методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предска- зать исход отдельного случайного явления, но могут определить средний суммар-

ный результат массы однородных случайных явлений, конкретный исход которого является случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в экспе- рименте, тем отчетливее проявляются основные закономерности массовых явле- ний и тем с большей точностью можно определить средний результат.

Рассматривая случайные события, видим, что каждое из событий обладает

какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Чтобы коли- чественно сравнивать события по степени возможности, с каждым событием свя-

зывается определенное число, которое тем больше, чем более возможно собы-

тие. Такое число называется вероятностью события.

Все события в природе могут быть разделены на достоверные, которые обя- зательно произойдут, невозможные, которые не могут произойти и случайные, ко- торые могут произойти или не произойти. Вероятность имеет практический смысл: на основании опыта считаем более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными –которые почти не происходят.

В качестве единицы измерения вероятности принимается вероятность досто-

верного события. Условились принимать вероятность достоверного события рав-

ной единице. Pдост = 1. Все другие события, возможные, но не достоверные, бу-

дут иметь вероятность меньше единицы. Невозможному событию соответствует

вероятность, равная нулю. Рневоз = 0 . Таким образом, диапазон вероятностей

случайного события

Вероятность – чисто математическое понятие. Это число, тем большее, чем более возможно событие. С понятием вероятности связано понятие частоты со-

8

бытия, называемое также статистической вероятностью. Частота события равна

отношению числа опытов m, в которых произошло данное событие, к общему чис-

лу проведенных опытов n.

При небольшом числе опытов частота событий в значительной степени слу-

чайна и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота событий все более теряет свой случайный ха- рактер. Случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту,

взаимно погашаются и частота стабилизируется, приближаясь с некоторыми ко- лебаниями к некоторой средней величине. Естественно предположить, что эта

величина и есть вероятность события.

Характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа опытов

несколько отличается от стремления к пределу в математическом смысле. Когда в

теории пределов говорим, что переменная xn с возрастанием n стремится к неко-

торому пределу а,

lim xn = a ,

n→∞

то это означает, выполняется неравенство xn − a < ε

для всех значений n, начиная с некоторого достаточно большого числа. Здесь ε - любое наперед заданное положительное число.

Относительно частоты события и его вероятности такого категоричного утвер-

ждения сделать нельзя. Нет ничего физически невозможного в том, что при боль-

шом числе опытов частота события будет значительно уклоняться от его вероят- ности. Но такое значительное уклонение является маловероятным, тем менее ве-

роятным, чем больше опытов будет проведено.

Например, при бросании монеты 5 раз физически возможно, что все 5 раз вы- падет герб и частота его появления будет равна 1. При 1000 бросаний такое со- бытие все еще остается физически возможным, но приобретает настолько малую

вероятность, что его можно считать практически неосуществимым.

Таким образом, при увеличении числа опытов частота событий приближается к вероятности не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, которая при большом числе опытов может рассматриваться как практическая достовер- ность.

9

Говорят, что величина xn сходится по вероятности к величине а, если при

сколь угодно малом e вероятность неравенства

xn - a < ε

сувеличением n неограниченно приближается к единице. При увеличении числа опытов частота события не стремится к вероятности, а сходится к вероятности события по вероятности:

Следует заметить, что это справедливо только для массовых явлений, в которых вероятность событий можно оценивать по их частоте.

Вероятность невозможного события, равная нулю, и вероятность достоверно- го события, равная единице, занимают крайние положения на шкале вероятно-

стей. На практике часто приходится иметь дело не с невозможными и достовер- ными событиями, а с так называемыми практически невозможными и практически достоверными. Практически невозможным событием называется событие, веро- ятность которого не точно равна нулю, но весьма близка к нулю. Практически до- стоверным называется событие, вероятность которого не в точности равна еди- нице, но весьма близка к единице.

Если какое-то событие А в данном опыте практически невозможно, то проти-

воположное ему событие А , состоящее в невыполнении события А, будет прак-

тически достоверным. Таким образом, все равно, о каких событиях говорить: прак-

тически невозможных или практически достоверных, так как они всегда сопут- ствуют друг другу.

Если известно, что вероятность некоторого события в опыте равна 0,3 , то мы не можем предсказать результат опыта, произойдет данное событие или нет при однократном испытании. Но если вероятность события в опыте близка к единице или ничтожно мала, то в первом случае будем считать, что событие появится, а во втором не будем его ожидать. Здесь действует принцип практической уверенно- сти: если вероятность некоторого события А в данном опыте весьма мала, то

можно быть практически уверенным, что при однократном выполнении опыта со- бытие А не произойдет.

Принцип практической уверенности не может быть доказан математическими средствами. Он подтверждается всем опытом человечества. Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать

10

практически невозможным, выходит за рамки математической теории и в каждом

конкретном случае решается из практических соображений в соответствии с той важностью, которую имеет для нас результат опыта.

Например, вероятность поломки ножек стула равна 0,001. В целом стул дол- жен поломаться, если в среднем на него сядут 1000 раз. Эта вероятность нас устраивает, мы считаем вероятность поломки практически равной нулю и без

предварительного испытания садимся на стул. С другой стороны, если вероят- ность отказа парашюта равна 0,001, то это означает, что в среднем у одного из

1000 человек парашют не раскроется и парашютист погибнет. Такой исход не мо- жет устраивать. В этом случае уже не считают, что выход из строя парашюта яв- ляется практически невозможным, и принимают соответствующие меры: парашю-

тист берет запасной парашют, перед каждым прыжком сами парашютисты прове- ряют и укладывают свои парашюты.

При многократном повторении опытов частота событий приближается к их ве- роятности. Если вероятность строго не равна нулю, то при неизменных условиях

при многократном повторении опытов маловероятное событие должно все же

произойти, то есть не раскроется парашют, произойдет авария или пожар. Для

уменьшения частоты появления неблагоприятных случаев надо уменьшить коли- чество повторяемых опытов или изменить вероятность появления событий, изме-

нив условия.

Например, вероятность разрыва трубопровода возрастает с увеличением продолжительности эксплуатации оборудования. Поэтому частоту разрывов мож- но уменьшить, снизив срок эксплуатации. Для некоторых элементов оборудования существуют регламентные ремонты (планово-предупредительные ремонты), при которых производится замена элементов независимо от того, исправны они или нет. Таким образом заменяется военная техника, авиация, радиооборудование.

Разрывы трубопроводов тем вероятнее, чем выше температура металла. Не-

которое время назад паровые котлы сверхкритического давления вырабатывали

пар с температурой 565-570°С. После нескольких аварий температура перегрето-

го пара нормативным путем была уменьшенна до 545°С. Это мероприятие снизи-

ло экономичность работы тепловых электростанций, но повысило надежность ра-

боты оборудования.

11

Лекция 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта мо-

жет принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины могут быть дискретными, то есть принимать строго фик-

сированные значения, или непрерывными, принимать любые значения внутри ограниченного или неограниченного интервала. Будем обозначать случайные ве-

личины большими буквами X, Y, Z, а их возможные значения – малыми.

Пример: стрельба в мишень. Здесь случайная величина X – число попаданий

в мишень, возможные значения х1=0, х2=1, х3=2, …. Каждое из этих значений воз- можно, но не достоверно. Величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений.

Обозначим вероятности этих событий

P(X = x1) = p1 , P(X = x2 ) = p2 , K P(X = xn ) = pn .

Так как одновременно может произойти только одно событие, причем какое-то из событий произойдет обязательно, то

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна

единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между от- дельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероят- ностной точки зрения, если зададим ее распределение, то есть укажем, какой ве- роятностью обладает каждое из событий.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотноше-

ние, устанавливающее связь между возможными значениями и соответствующи- ми вероятностями их появления. Простейшей формой задания закона распреде-

ления является таблица, в которой перечисляются возможные значения случай-

ной величины и соответствующие им вероятности.

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, используют графическое представление. По оси абсцисс откладывают возможные значения случайной ве- личины, по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности получен-

12