Конспект_2часть

y)€= b0 x1b1 x2b2 ...xpbp .

Ее можно перевести в линейную форму логарифмированием ln(y ) = ln(b0 )+ b1 ln(x1)+ b2 ln(x2 )+ ... + bp ln(xp ).

Переходя к новым переменным y*=ln(y), x*=ln(x), можно построить линейную

зависимость

y)1 = b0* + b1x1* + b2x2* + ... + bp xp* .

Условием допустимости такого преобразования являются yi>0, xij>0 для всех результатов эксперимента.

Решая рассмотренным выше способом систему уравнений и определив ко-

Возможны и другие преобразования функций и факторов. В частности, можно

Величины остатков ei = yi - yi представляют собой разницу между наблюдае-

мым значением функции отклика yi и предсказываемым значением функции yi в

тех же точках. Эти остатки используются для вычисления остаточной дисперсии, но в них содержится и другая информация.

Остатки – это то, что нельзя объяснить уравнением регрессии, их можно счи- тать, как «шум», помехи или погрешности, если уравнение регрессии правильно.

Если эти остатки являются полностью случайными, то они должны быть неза- висимыми, их средняя величина должна быть равна нулю, и они должны быть распределены по нормальному закону.

Исследование остатков проводится в следующей последовательности:

97

1. Вычисляется сумма остатков

n ( ) )

åei = å yi − yi .

i=1

Если эта величина заметно отличается от нуля, необходимо проверить пре-

дыдущие вычисления.

2. Строятся графики ei = f(yi ), ei = f(xij ), ei = f(время ).

98

99

Лекция 21. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Инженерный эксперимент в общем случае состоит из следующих основных

операций:

1.Определение задачи исследования.

2.Планирование эксперимента.

3.Проведение эксперимента на объекте.

4.Обработка и анализ результатов эксперимента.

Наиболее распространены следующие типы задач:

1.Поиск оптимального режима сложного агрегата.

2.Изучение механизма процесса.

3.Математическое описание свойств системы.

4.Построение математической модели для использования в автоматизиро- ванных системах управления.

Необходимая для планирования эксперимента информация зависит от цели

исследования. Так, для решения первой задачи необходимо указать параметр оп-

тимизации (производительность установки, ее КПД, себестоимость продукции,

расход энергоносителей и т.д.), который определяет качество системы, управ- ляющие параметры и их диапазоны допустимого изменения. Для второй задачи необходимо выдвинуть одну или несколько гипотез о механизме процесса. Свои особенности имеют и другие типы задач.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий прове- дения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с

требуемой точностью. Операция планирования сводится к последовательному

выполнению следующих этапов:

1.Выбор факторов, влияющих существенным образом на протекание про- цесса.

2.Выбор модели для описания процесса.

3.Выбор основного уровня определяющих факторов и интервала их варьи- рования.

4.Составление матрицы планирования эксперимента, содержащей описания количества опытов и условий их проведения.

5.Определение последовательности проведения опытов.

После проведения исследований на объекте выполняются следующие этапы: 1. Проверка воспроизводимости результатов эксперимента.

100

2.Получение математической модели объекта.

3.Проверка адекватности математического описания.

Рассмотрим более подробно этапы планирования эксперимента и обработки

полученных результатов.

Состояние любой системы зависит от внешних условий, в которых она нахо- дится. При изменении условий происходит соответствующее изменение состоя-

ния системы, причем направление и интенсивность изменения определяются как свойствами самой системы, так и интенсивностью внешних воздействий. Фор-

мально эксперимент представляет собой операцию, в которой исследователь на- блюдает за состоянием внешних условий и состоянием исследуемого объекта, а затем по результатам наблюдений определяет внутренние связи и свойства объ-

екта.

Различают пассивные и активные эксперименты. В пассивном эксперименте наблюдатель лишен возможности управлять внешними воздействиями, он может только регистрировать происходящие изменения внешних условий и исследуемо- го объекта. Такие условия возникают при удаленности объекта исследования от

наблюдателя (типичный пример –исследования в астрономии) или в том случае,

когда вмешательство в функционирование исследуемого объекта недопустимо, например, при социологических исследованиях.

Более широкие возможности предоставляет активный эксперимент, в котором

исследователь сам формирует внешние условия. Следует отметить, что в некото- рых случаях возможности изменения внешних условий могут быть также ограни- чены. Если в эксперименте, проводящемся в лабораторных условиях, могут быть проведены исследования в режимах, приводящих к нарушению функционирова- ния или даже к разрушению исследуемого объекта, то в промышленных экспери- ментах такие режимы недопустимы. В дальнейшем будем рассматривать вопро- сы, относящиеся к планированию активных экспериментов.

Внешние условия, в которых находится исследуемый объект, количественно

можно охарактеризовать с помощью численных значений некоторых параметров

внешней среды. Параметры, отражающие влияние внешней среды на исследуе- мый объект, будем называть факторами.

Внутреннее состояние исследуемого объекта также можно количественно

охарактеризовать численными значениями параметров, отражающих внутренние свойства объекта. Эти параметры будем называть функциями отклика.

101

В конечном итоге одной из основных задач исследования является нахожде-

ние зависимости состояния исследуемого объекта от состояния внешней среды. Математические модели, которые количественно отображают эту зависимость,

представляются в виде функциональных или стохастических связей между фак- торами и функциями отклика.

Влияние внешней среды на объект проявляется через множество факторов.

Однако, одни факторы в большей степени влияют на состояние объекта, измене- нием других факторов можно пренебречь. В эксперименте и затем в математиче-

ской модели объекта должны учитываться только существенные факторы, второ- степенные факторы должны быть отброшены. Первой задачей планирования экс-

перимента является определение всех существенных для данного объекта или

процесса факторов.

Состояние объекта также отображается множеством функций отклика. Одна- ко, как правило, эксперименты проводятся для исследования только отдельных свойств объекта, характеризуемых соответствующей функцией отклика. Поэтому в дальнейшем будем считать, что эксперимент проводится для изучения влияния

нескольких факторов х1, х2, …, хn на функцию отклика у.

Каждый фактор имеет свою область определения, т. е. границы, внутри кото- рых он может изменяться. Множество значений внутри интервала может быть

дискретным или непрерывным, которые может принимать фактор, однако при ог-

раниченном количестве опытов каждый фактор принимает только несколько кон- кретных значений. В задачах планирования эксперимента всегда принимается,

что фактор в каждом опыте может принимать одно из нескольких первоначально фиксированных значений. Такие значения факторов называются уровнями.

Фиксированный набор уровней факторов, т.е. установление каждого фактора на некотором уровне, определяет одно из возможных состояний объекта. Если перебрать все возможные наборы состояний данного объекта, то получим полное

множество его состояний и всю информацию о его поведении. Одновременно ко- личество состояний определит количество возможных различных опытов.

При определении числа действующих факторов следует учесть, что факторы могут быть как количественными, так и качественными. Например, при исследо- вании экономичности работы парового котла в качестве количественных опреде-

ляющих факторов могут рассматриваться:

Øпроизводительность котла по пару;

Øтемпература питательной воды;

102

Øвлажность топлива.

Качественными факторами могут быть:

Øработа котла с различной комбинацией мельниц;

Øработа котла на различных видах топлива;

Øуправление котлом различными машинистами.

Уровни факторов второй группы нельзя расставить в порядке возрастания или

убывания какой-то физической величины, однако можно построить условную шка- лу, где одному уровню соответствует значение 1, второму– 2 и т.д.

При планировании эксперимента к факторам предъявляются следующие тре- бования:

1.Факторы должны быть управляемыми. Это означает, что экспериментатор,

выбрав нужное значение фактора, может поддерживать его постоянным в течение всего опыта, т.е. может управлять фактором. В этом состоит смысл активного экс- перимента: значения факторов могут быть установлены на любом из уровней. Планировать эксперимент можно только в том случае, если можно управлять факторами.

2.Факторы должны непосредственно воздействовать на объект. Трудно

управлять фактором, если он является функцией других факторов. Однако в пла- нировании могут участвовать факторы, такие, как градиенты, логарифмы, отно-

шения.

3.Факторы должны быть совместимыми. При планировании эксперимента обычно одновременно несколько факторов. Совместимость факторов означает, что все их комбинации выполнимы и безопасны. Несовместимость факторов мо- жет наблюдаться на границах областей их определения. Тогда избавиться от это- го можно сокращением размеров областей.

4.Факторы должны быть независимыми. Должна быть возможность любой уровень фактора, независимо от того, на каком уровне находятся другие факторы.

Если этого условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент. Для выполнения этого требования необходимо, чтобы факторы были некоррелирова-

ны, т.е. чтобы между ними не было линейной связи.

5.Все факторы должны быть учтены. Выбранное множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо фактор будет пропущен, то это может

привести к большой ошибке и неверным выводам. Но с другой стороны, нельзя включать в факторы зависящие друг от друга величины.

103

104

можные состояния объекта с помощью подобных таблиц. В этом случае единст-

венным выходом является создание математической модели, по которой можно предсказывать значения функции отклика в тех точках, где эксперимент не прово-

дился.

Но за отказ от полного перебора всех возможных значений факторов мы должны пойти на компромисс и предположить, что исследуемая функция облада-

ет определенными свойствами, которые мы не сможем проверить.

При планировании эксперимента исследуемый объект представляется в виде

«черного ящика», на который оказы-

торы являются входами «черного ящика», функции отклика – его выходами. Одновременно может быть несколько входов и несколько выходов. Поскольку каждая функция отклика обычно исследу- ется отдельно от остальных, то, как уже отмечали выше, будем считать, что «чер-

ный ящик» имеет несколько входов и один выход.

Наиболее вероятно, что функция отклика будет гладкой, без изломов. Тогда в

окрестности любой точки поведение функции можно описать степенным рядом

y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b11x12 + b22 x22 + b12 x1x2 + b111x13 + ...

Главное требование к модели – способность предсказывать поведение функ-

ции. В некоторой области, в которую входят и координаты проведенных опытов,

предсказанные с помощью модели значения функции не должны отличаться от

фактических больше, чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, ко-

торая отвечает этому требованию, называется адекватной. Проверка выполнимо- сти этого условия называется проверкой адекватности модели. Если несколько различных моделей отвечают этим требованиям, то следует предпочесть ту из

них, которая является самой простой.

Будем считать, что наиболее простыми являются алгебраические степенные

ряды. Если есть предположение, что механизм протекания процесса описывается уравнением другого вида, то изменением переменных можно свести задачу к сте-

пенным рядам.

При двух факторах полином нулевой степени y = b0 ,

105

первой степени

y = b0 + b1x1 + b2 x2 ,

второй степени

y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b11x12 + b22 x22 + b12 x1x2 ,

третьей степени

y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b11x12 + b22 x22 + b12 x1x2 +

+ b111x13 + b222 x23 + b112 x12 x2 + b122 x1x22 .

Переход к полиному более высокой степени увеличивает количество членов в

уравнении и количество коэффициентов, которые надо определить. А это означа- ет, что увеличивается число необходимых опытов.

Полином более высокой степени получается из полинома меньшей степени добавлением новых членов. Поэтому, если область определения факторов зада-

ется заранее, то целесообразно искать описание более простой моделью и повы- шать степень полинома до тех пор, пока не будет получена адекватная модель.

106