3. Конденсаторы. Энергия электрического поля Основные формулы

Электроёмкость конденсатора

,

где Q– заряд конденсатора (т.е. заряд одной из его пластин); Δφ – разность потенциалов;U– напряжение на конденсаторе.

Электроёмкость плоского конденсатора

где ε₀=Ф/м – электрическая постоянная; ε– диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего конденсатор;S– площадь одной пластины конденсатора;d– расстояние между пластинами.

Электроёмкость сферического конденсатора

,

где R₁,R₂– радиусы внутренней и внешней концентрических сфер; м/Ф.

Электроёмкость цилиндрического конденсатора

,

где l– длина соосных цилиндров;R₁,R₂– радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.

Электроёмкость «С» последовательно соединённых конденсатором определяется из равенства

.

Общее напряжение Uи зарядQсистемы последовательно соединённых конденсаторов в количестве «n»:

U=U₁+U₂+…+U_n;

Q=Q₁=Q₂=…=Q_n.

Электроемкость «С», общее напряжениеUи зарядQсистемы «n» параллельно соединённых конденсаторов

С=С₁+С₂+…+С_n;

U=U₁=U₂=…=U_n;

Q=Q₁+Q₂+…+Q_n.

Энергия Wконденсатора (энергия его электрического поля)

.

Объёмная плотность энергии электрического поля

Примеры решения задач

Пример 1

Три конденсатора, имеющие электроёмкости С₁ = 1 мкФ,C₂= 3 мкФ,С₃= 6 мкФ, соединены последовательно и подключены к источнику с напряжениемU= 120B. Найти напряжение на третьем конденсаторе.

Дано: C1= 1 мкФ = 10-6Ф С2 = 3 мкФ = Ф С3 = 6 мкФ =Ф U = 120В

U3-?

Решение

Общую электроёмкость определим из формулы

Ф.

Общий заряд Q равен каждому из зарядовQ₁,Q₂иQ₃:

Кл.

Тогда Q₃ = Кл.

Напряжение на третьем конденсаторе U₃ = В.

Ответ: U₃ = 13,3 B.

Пример 2

К конденсатору электроемкостью С₁ = 200 пФ, заряженному до напряжения U₁ = 100 В и отключенному от источника, подключили параллельно незаряженный конденсатор электроемкостью С₂ = 300 пФ. Какое общее напряжение установится на обоих конденсаторах?

Дано: С1 = 200 пФ = Ф С2 = 300 пФ = Ф U1 = 100 В

U -?

Решение

По закону сохранения электрического заряда

Q_нач = Q_конеч или ,

где .

Тогда .

В.

Ответ: U = 40 В.

Пример 3

Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику напряжения U = 50 В. Какой заряд пройдёт по цепи, если пластины конденсатора сблизить до расстояния, втрое меньше первоначального, и заполнить конденсатор диэлектриком с ε = 4? Начальная электроемкость воздушного конденсатора 0,6 мкФ.

Дано: U = 50 В ε = 4 C = 0,6 мкФ = 0,6.10-6 Ф d2 = 1/3.d1

Δq -?

Решение

Заряд Δq, прошедший по цепи,

Δq = q_кон. – q_нач..

Начальный заряд q_нач. = С^.U, конечный заряд q_кон = С₁^.U.

Электроемкость плоского конденсатора:

а) начальная ,

б) конечная .

Сравнивая выражения «а» и «б», получим .

Тогда

Ответ: Δq = 3,3^.10^-4 Кл.

Пример 4

Два конденсатора электроемкостями С₁=3 нФ и С₂=6 нФ соединены параллельно, а последовательно к ним подключен конденсатор С₃=8 нФ. Заряд на конденсаторе С₁ равен q₁=12000 нКл. Найти заряды и напряжения на остальных конденсаторах.

Дано: С1 = 3 нФ = 3.10-9 Ф С2 = 6 нФ = 6.10-9 Ф С3 = 8 нФ = 8.10-9 Ф q1 = 12000 нКл = 12.10-7 Кл

q2, q3, U2, U3 - ?

Решение

Из определения электроемкости конденсатора напряжение U₁ на первом конденсаторе

В.

Поскольку 1-й и 2-й конденсаторы соединены параллельно, то U₁ = U₂. Следовательно, U₂ = 400 В. Общая электроемкость 2-х параллельно соединенных конденсаторов С₁ и С₂

Ф.

Общий заряд конденсаторов С₁ и С₂: q_1,2 = C_1,2^.U₁ = 2^.10^-9.400 = 8^.10^-7 Кл. При последовательном соединении q_1,2 = q₃, тогда q₃ = 8^.10^-7 Кл.

Напряжение В.

Заряд 2-го конденсатора q₂ = C₂^.U₂ = 6^.10^-9.400 = 2.4^.10^-6 Кл.

Ответ: q₂ = 2.4^.10^-6 Кл; q₃ = 8^.10^-7 Кл; U₂ = 400 В; U₃ = 100 В.