4. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля

Электромагнитный поток dФ через площадку dS

d Ф = ВdScos,

- вектор индукции магнитного поля, dS – элемент площади,  - угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции

_i = -NdФ/dt = -d/dt,

где _i – электродвижущая сила индукции, N – число витков контура (катушки),  - потокосцепление.

Потокосцепление контура

 = LI,

где L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.

Электродвижущая сила самоиндукции

_is = -LdI/dt,

где dI – изменение силы тока в контуре за время dt, L – индуктивность контура.

Индуктивность соленоида

L= ₀n²V,

где ₀ = 410^-7 - Гн/м – магнитная постоянная,  - магнитная проницаемость сердечника, n = N/l – число витков на единицу длины соленоида, V – объем соленоида.

Сила тока в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L в момент времени t после замыкания цепи:

,

где  - ЭДС источника тока, г – его внутреннее сопротивление, t – время, прошедшее с момента замыкания цепи.

Сила тока после размыкания цепи

,

где I₀ – сила тока в цепи при t = 0, t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля контура

W = LI²/2,

где L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.

Примеры решения задач

Задача 1. Стержень длиной L =0,5 м вращается с постоянной угловой скоростью в магнитном поле с индукцией В = 0,6 Тл вокруг оси, проходящей через край стержня перпендикулярно стержню. Вектор магнитной индукции параллелен оси вращения. На концах стержня возникла разность потенциалов  = 3 В. Найти угловую скорость вращения стержня .

Решение.

При движении проводника в магнитом поле на концах проводника возникает разность потенциалов , равная  = Ф/t, Ф – магнитный поток через площадь, описываемую проводником за время t.

Поскольку вращение стержня в задаче равномерное, то можно взять t =Т = 2/ , Ф = ВScos0⁰ = BL², где Т – период вращения стержня, S – площадь круга, которую описывает стержень при вращении.

Тогда  = ВL²/2, отсюда угловая скорость равна  = 2/(ВL²);

 = 23/(0,60,5²) = 40 рад/с.

Ответ: 40 рад/с.

Задача 2. Контур площадью S = 0,2 м² и сопротивлением R = 0,5 Ом находится в магнитном поле, линии индукции которого составляют угол  = 30⁰ с плоскостью контура. Определить индукционный ток при равномерном возрастании магнитной индукции со скоростью dB/dt = 0,1 Тл/с.

Решение.

По закону электромагнитной индукции

 = dФ/dt,

где Ф = ВScos - магнитный поток,  = 90⁰ - .

Тогда dФ/dt = Scos(90⁰ - )dВ/dt.

По закону Ома I = /R =  .

I = 0,10,2соs(90⁰ – 30⁰) = 0,08 А.

Ответ: I = 0,08 А.

Задача 3. Круговая рамка вращается с постоянной угловой скоростью  = 10 рад/с вокруг своего диаметра, равного d =0,4 м, в магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно оси вращения рамки. Найти максимальное значение ЭДС индукции _max, возникающей в рамке.

Решение.

По закону электромагнитной индукции

 = -dФ/dt, где Ф(t) = ВScos((t)).

При равномерном вращении (t) = t, тогда

 = -ВSdcos(t)/dt  или  = BSsin(t). Максимальное значение ЭДС индукции при sin(t) =1, площадь круговой рамки S = d²/4, тогда _max = Вd²/4.

_max = 3,140,50,4²10/4 = 0,63 В.

Ответ: _max = 0,63 В.

Задача 4. Квадратная проводящая рамка со стороной а = 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,8 Тл так, что линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости рамки. Найти электрический заряд q, который пройдет по рамке при ее повороте на угол  = 90⁰ вокруг оси, проходящей через одну из сторон рамки перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сопротивление рамки 0,2 Ом.

Решение.

По закону электромагнитной индукции

 = -dФ/dt.

По закону Ома

 = IR.

По определению силы тока

I= dq/dt.

Тогда Rdq/dt = - dФ/dt. Проинтегрируем и выразим прошедший по контуру заряд: q = Ф/R, где Ф = Ф₂ – Ф₁ = ВScos - BScos0⁰ – изменение магнитного потока через поверхность рамки, S = а² – площадь рамки. Тогда q = Ва²(1 – cos)/R.

q = 0,80,1²(1 – сos90⁰)/0,2 = 0,04 Кл.

Ответ: q = 0,04 Кл.

Задача 5. Катушка индуктивностью L = 0,2 Гн и сопротивлением R = 1,6 Ом подключили к источнику постоянной ЭДС. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 0,04 с, если источник ЭДС отключить и катушку замкнуть накоротко.

Решение.

Сила тока после отключения источника

I = I₀ , отсюда изменение силы тока равно .

.

Ответ: .

Задача 6. Соленоид индуктивностью L = 0,1 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление соленоида R, если за время t = 0,4 с сила тока в соленоиде достигает 80% предельного значения.

Решение.

Сила тока после замыкания цепи

I =  /r,

где /r = I_пред – предельная сила тока. Тогда .

Отсюда . Следовательно, .

=0,4 Ом.

Ответ: R = 0,4 Ом.

Задача 7. Длинный соленоид имеет N = 800 витков. При силе тока в соленоиде I = 20 А энергия его магнитного поля равна W = 0,5 Дж. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см². Найти длину соленоида l.

Решение.

Энергия магнитного поля соленоида

W =LI²/2.

Индуктивность воздушного соленоида

L = ₀n²V/2, где n = N/l, V = Sl. Тогда L = ₀N²S/l. После подстановки индуктивности в формулу энергии поля выразим длину соленоида l = ₀N²SI²/(2W).

l = 43,1410^-7800²0,00220²/(20,5)=6,4 м.

Ответ: l = 6,4 м.