4. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля

Электромагнитный поток dФ через площадкуdS

dФ = ВdScos,

- вектор индукции магнитного поля,dS– элемент площади,- угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции

_i= -NdФ/dt= -d/dt,

где _i – электродвижущая сила индукции,N– число витков контура (катушки),- потокосцепление.

Потокосцепление контура

 = LI,

где L– индуктивность контура,I– сила тока в контуре.

Электродвижущая сила самоиндукции

_is= -LdI/dt,

где dI– изменение силы тока в контуре за времяdt,L– индуктивность контура.

Индуктивность соленоида

L= ₀n²V,

где ₀= 410^-7- Гн/м – магнитная постоянная,- магнитная проницаемость сердечника,n = N/l– число витков на единицу длины соленоида,V– объем соленоида.

Сила тока в цепи, обладающей активным сопротивлением Rи индуктивностьюLв момент времениtпосле замыкания цепи:

,

где - ЭДС источника тока, г – его внутреннее сопротивление,t– время, прошедшее с момента замыкания цепи.

Сила тока после размыкания цепи

,

где I₀– сила тока в цепи приt= 0,t– время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля контура

W = LI²/2,

где L– индуктивность контура,I– сила тока в контуре.

Примеры решения задач

Задача 1.Стержень длинойL=0,5 м вращается с постоянной угловой скоростью в магнитном поле с индукцией В = 0,6 Тл вокруг оси, проходящей через край стержня перпендикулярно стержню. Вектор магнитной индукции параллелен оси вращения. На концах стержня возникла разность потенциалов= 3 В. Найти угловую скорость вращения стержня.

Решение.

При движении проводника в магнитом поле на концах проводника возникает разность потенциалов, равная=Ф/t,Ф – магнитный поток через площадь, описываемую проводником за времяt.

Поскольку вращение стержня в задаче равномерное, то можно взять t=Т = 2/,Ф = ВScos0⁰ = BL², где Т – период вращения стержня,S– площадь круга, которую описывает стержень при вращении.

Тогда = ВL²/2, отсюда угловая скорость равна= 2/(ВL²);

 = 23/(0,60,5²) = 40 рад/с.

Ответ: 40 рад/с.

Задача 2.Контур площадьюS= 0,2 м²и сопротивлениемR= 0,5 Ом находится в магнитном поле, линии индукции которого составляют угол= 30⁰с плоскостью контура. Определить индукционный ток при равномерном возрастании магнитной индукции со скоростьюdB/dt= 0,1 Тл/с.

Решение.

По закону электромагнитной индукции

 = dФ/dt,

где Ф = ВScos- магнитный поток,= 90⁰-.

Тогда dФ/dt = Scos(90⁰ - )dВ/dt.

По закону Ома I = /R = .

I = 0,10,2соs(90⁰– 30⁰) = 0,08 А.

Ответ: I = 0,08 А.

Задача 3.Круговая рамка вращается с постоянной угловой скоростью= 10 рад/с вокруг своего диаметра, равногоd=0,4 м, в магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно оси вращения рамки. Найти максимальное значение ЭДС индукции_max, возникающей в рамке.

Решение.

По закону электромагнитной индукции

 = -dФ/dt, где Ф(t) = ВScos((t)).

При равномерном вращении (t) =t, тогда

 = -ВSdcos(t)/dt  или  = BSsin(t). Максимальное значение ЭДС индукции приsin(t) =1, площадь круговой рамкиS=d²/4, тогда_max = Вd²/4.

_max = 3,140,50,4²10/4 = 0,63 В.

Ответ: _max = 0,63 В.

Задача 4.Квадратная проводящая рамка со стороной а = 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,8 Тл так, что линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости рамки. Найти электрический зарядq, который пройдет по рамке при ее повороте на угол= 90⁰вокруг оси, проходящей через одну из сторон рамки перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сопротивление рамки 0,2 Ом.

Решение.

По закону электромагнитной индукции

 = -dФ/dt.

По закону Ома

 = IR.

По определению силы тока

I= dq/dt.

Тогда Rdq/dt = -dФ/dt. Проинтегрируем и выразим прошедший по контуру заряд:q = Ф/R, гдеФ = Ф₂– Ф₁= ВScos-BScos0⁰– изменение магнитного потока через поверхность рамки,S= а²– площадь рамки. Тогдаq = Ва²(1 –cos)/R.

q = 0,80,1²(1 – сos90⁰)/0,2 = 0,04 Кл.

Ответ: q = 0,04 Кл.

Задача 5.Катушка индуктивностьюL= 0,2 Гн и сопротивлениемR= 1,6 Ом подключили к источнику постоянной ЭДС. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке черезt= 0,04 с, если источник ЭДС отключить и катушку замкнуть накоротко.

Решение.

Сила тока после отключения источника

I = I₀, отсюда изменение силы тока равно.

.

Ответ: .

Задача 6.Соленоид индуктивностьюL= 0,1 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление соленоидаR, если за времяt= 0,4 с сила тока в соленоиде достигает 80% предельного значения.

Решение.

Сила тока после замыкания цепи

I = /r,

где /r=I_пред– предельная сила тока. Тогда.

Отсюда . Следовательно,.

=0,4 Ом.

Ответ: R= 0,4 Ом.

Задача 7.Длинный соленоид имеетN= 800 витков. При силе тока в соленоидеI= 20 А энергия его магнитного поля равнаW= 0,5 Дж. Площадь поперечного сечения соленоидаS= 20 см². Найти длину соленоидаl.

Решение.

Энергия магнитного поля соленоида

W =LI²/2.

Индуктивность воздушного соленоида

L = ₀n²V/2, гдеn = N/l,V = Sl. ТогдаL = ₀N²S/l. После подстановки индуктивности в формулу энергии поля выразим длину соленоидаl = ₀N²SI²/(2W).

l= 43,1410^-7800²0,00220²/(20,5)=6,4 м.

Ответ: l= 6,4 м.