2. Взаимодействие магнитного поля с электрическим током

Сила Ампера – это сила, с которой магнитное поле действует на элемент тока :

dF = IBdlsin,

где I– сила тока в проводнике,dl– длина проводника, В – индукция магнитного поля.

Направление силы Ампера определяется правилом левой руки: ладонь руки располагается так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление элемента тока, а вектор магнитной индукции входил в ладонь, тогда отогнутый на 90⁰большой палец укажет направление силы Ампера.

Момент силы, действующий на контур с током в магнитном поле

,

где- магнитный момент контура (SиI- площадь контура и сила тока в нем,- единичный вектор нормали к плоскости контура).

В векторном виде:

М = p_mВsin, где- угол между векторамии.

Работа силы Ампера по перемещению контура с током в магнитном поле:

А = I(Ф₂- Ф₁), где Ф₂и Ф₁– магнитные потоки через контур в начальном и конечном состоянии.

Магнитный поток через плоскость контура: ,

где ,dS– площадь контура,- угол между векторомнормали к контуру и вектороммагнитной индукции.

В задачах этого раздела сделаны следующие допущения:

вспомогательные проводники расположены вне магнитного поля или направлены так, что сила Ампера на них не действует;

при движении проводников вспомогательные провода не оказывают сопротивления этому движению;

при движении проводников в магнитном поле явления, связанные с электромагнитной индукцией, считаются несущественными.

Примеры решения задач

Задача 1.По проводнику в форме полуокружности радиусомR = 0,2 м протекает токI= 10 А. Перпендикулярно плоскости проводника создано магнитное поле с индукцией В = 0,4 Тл. На сколько увеличится сила, действующая на проводник, если его распрямить в плоскости полуокружности?

Решение.

Найдем силуF₁, действующую на проводник в форме полуокружности. Мысленно разобьем полуокружность на малые элементарные дугиdl. Равнодействующая всех сил, действующих на элементы :.

Разложим вектор на две составляющие:. Тогда

.

Поскольку вклады в F_хэлементовdlиdl, симметричных относительно оси оу, взаимно компенсируются, следовательно,. Так как, тогда, гдеdF_y = dFcos. По закону АмпераdF = IBdlsin, где- угол между вектороми направлением тока равен 90⁰,dl = Rd.

Окончательно получаем .

Сила Ампера F₂, действующая на прямой проводник

F₂ = IBL,

где L = R– длина проводника. СледовательноF₂ = IBR.

Разность сил равна: F₂ – F₁ = ( - 2)IBR.

F₂ – F₁ = (3,14 – 2)100,40,2 = 0,9 Н.

Ответ: F₂ – F₁ = 0,9 Н.

Задача 2.Прямолинейный проводник длинойL= 0,5 м массойm = 20 г висит горизонтально на двух параллельных нитях равной длины. Магнитное поле с индукцией В = 0,4 Тл создано в вертикальном направлении. На какой угол отклонятся нити с проводником от вертикали, если по проводнику пропустить токI= 1 А?

Решение.

Условие равновесия проводника:

,

где  натяжение нити, F_A = IBLsin90⁰– сила Ампера.

В проекциях на оси координат:

ох: F_A – 2Tsin = 0,

oy: 2Tcos - mg =0.

или

Решая систему данных уравнений, получаем: , следовательно, = 45⁰.

Ответ:  = 45⁰.

Задача 3.Квадратная рамка со стороной а = 0,1 см, по которой протекает ток силойI=20 А, помещена в магнитное поле с индукцией В =0,5 Тл так, что угол между нормалью к рамке и вектором индукции магнитного поля равен= 30⁰. Найти вращающий момент М, действующий на рамку со стороны магнитного поля.

Решение.

Магнитный момент М, действующий на рамку с током равен

М = р_mВsin,

где р_m=IS– модуль магнитного момента рамки,S= а²– площадь рамки.

Следовательно, М = Iа²Bsin

М = 200,1²0,50,87 = 0,087 Нм.

Ответ: М = 0,087 Нм.

Задача 4.Тонкий равномерно заряженный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Линейная плотность заряда стержня= 2 мкКл/м, линейная плотность стержня= 0,4 кг/м. Найти отношение магнитного момента стержня к его моменту импульса.

Решение.

Пустьl– длина стержня,- его угловая скорость, ось ох проходит вдоль стержня перпендикулярно оси вращения ОО. Мысленно разобьем стержень на бесконечно малые элементыdx. Элементdх имеет элементарный зарядdQ = dх. Сила эквивалентного тока при вращении зарядаdQравна

,

где - период вращения.

Модуль магнитного момента эквивалентного тока равен

dp_m = SdI,

где S = x²– площадь круга.

С учетом вышесказанного .

Проинтегрируем dр_mпо х в пределах от 0 доl:

.

Модуль момента импульса стержня:

L = J,

где J– момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня. По теореме Штейнера ,

где m = l– масса стержня. Следовательно,.

Отношение магнитного момента к моменту импульса равно

Кл/кг;

Кл/кг.

Ответ: Кл/кг.

Задача 5.Контур, имеющий форму окружности радиусаR= 0,1 м, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,8 Тл так, что плоскость контура параллельна вектору магнитной индукции. Найти работу сил магнитного поля А по повороту контура на 90⁰вокруг диаметра окружности, перпендикулярного вектору магнитной индукции. Сила тока в контуреI= 10 А.

Решение.

Работа по повороту контура:

А = I(Ф₂– Ф₁),

где Ф₁=BScos90⁰– начальный магнитный поток вектора магнитной индукции через контур, Ф₂=BScos0⁰– конечный магнитный поток,S=R²– площадь контура.

Следовательно, А = IBR².

А = 3,14100,80,1² = 0,25 Дж.

Ответ: А = 0,25 Дж.