3. Тепловое излучение. Квантовые свойства света.

Поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности нагретого тела по всем направлениям в пределах телесного угла 2π (энергетическая светимость телаR_m), равен

,

где – испускательная способность тела,– циклическая частота.

Закон Стефана-Больцмана:

,

где Вт/м²К⁴ – постоянная Стефана – Больцмана;T – температура.

Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способностиесть универсальная функция частоты и температурыf(ω,T).Испускательная способность абсолютно черного тела, описывается формулой Планка:

где – постоянная Планка;с –скорость света;k– постоянная Больцмана. При переходе от частотык длине волныэта функция приобретает вид:

Испускательная способность абсолютно черного тела связана с равновесной плотностью энергии теплового излучения u(ω,T)соотношением

Закон Вина

где – некоторая функция отношения частоты к температуре.

Для функции закон Вина имеет вид

где некоторая функция произведения(λ;T).

Закон смещения Вина:

где – длина волны, на которую приходится максимум функции;b=2,898(м·К)– постоянная Вина.

Формула Рэлея-Джинса

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

где – частота света,– работа выхода электронов с поверхности жидкости или твердого тела,– кинетическая энергия вылетающих электронов.

Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободном электроне (эффект Комптона)

где – длина волны рентгеновского излучения после рассеяния;– длина волны падающего излучения;– масса покоя электрона;– угол, под которым рассеивается излучение;– комптоновская длина волны.

Энергия фотона

Масса фотона

Импульс фотона

Задача 1.Определить энергетическую светимость абсолютно черного тела в интервале длин волн=1нм, соответствующую максимуму его испускательной способности приT=1000 К.

Решение.Из закона смещения Вина определим длину волны излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум излучения.

м.

Интервал длин волн много меньше длины волны, поэтому энергетическую светимость можно определить как произведение испускательной способности на

Задача 2.На металлическую пластину падает свет с длиной волныλ=420 нм. Фототок прекращается при запирающем потенциалеU=0,95 В. Определить скорость выбиваемых электронов и работу выхода.

Решение.Скорость электронов найдем, воспользовавшись законом сохранения энергииmV²/2=eU, гдее – заряд электрона. Скорость электрона:

м/с.

Работа выхода фотоэлектронов равна

Задача 3.В опыте Комптона угол рассеивания рентгеновских фотонов равенφ=90. Энергия рассеянных фотоновЕ=0,4 МэВ. Какова энергия фотонов до рассеивания? Какова энергия, импульс и скорость электронов отдачи?

Решение.Изменение длины волны в результате рассеяния на свободном электроне определяется с помощью формулы Комптона:

Длины волн выразим через энергии Е₁ иЕ₀ соответствующих фотонов:

Отсюда следует, что энергия фотонов до рассеивания равна

Энергия покоя электрона m₀c²=0,51 МэВ. Энергию фотона выразим в мегаэлектронвольтах:

МэВ.

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния Е_е=E₀-E₁=1,85–0,4=1,4  МэВ.

Импульс электрона найдем из закона сохранения импульса:

, где и- импульс фотона до рассеяния и после рассеяния. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изображена на рис.2. Из диаграммы следует, что

Импульс фотонов представим через их энергию, выраженную в джоулях,

кг·м/с.

Скорость электронов отдачи найдем, воспользовавшись выражением для релятивистского импульса

Отсюда следует, что

м/с.

3.1. Участок поверхности нагретого тела площадью ∆Sза времяτизлучает в пределах телесного угла2πэнергию∆W. Какова энергетическая светимость этого участка?

3.2. Испускательная способность тела задана уравнением

0, ω < ω₁,

r= b, ω₁ <ω ≤ω₂,

0, ω > ω₂,

где b – постоянная, ω – частота излучения. Рассчитать энергетическую светимость тела.

3.3. Испускательная способность тела задана уравнением r_ω=r_oexp(αω), гдеr_o и α постоянные. Определить энергетическую светимость тела.

3

Рис.3.1

0

.4. На графике испускательной способности абсолютно черного тела выделены два узких участка, площади которых равны (рис. 3.1). Одинаковы ли на указанных частотах ω₁и ω₂: 1) испускательная способностьr_ω._т;2) энергетическая светимость∆R_ω.Τ?

3.5. С помощью формулы Вина показать, что наиболее вероятная частота теплового излучения пропорциональна температуре ω_вер~T.

3.6. С помощью формулы Вина показать, что максимальная испускательная способность теплового излучения (r_ω)_max~T⁵.T– абсолютная температура.

3.7. С помощью формулы Планка показать, что в области, где hω<<kT, для испускательной способности абсолютно черного тела справедлив закон Рэлея – Джинса.

3.8. С помощью формулы Планка показать, что в области, где hω>>kT, для испускательной способности абсолютно черного тела справедлива формула Вина.

3.9. Найти соотношение между величинами r_ω.T. иr_λ.T. Записать формулу Планка для величиныr_λ.T.

3.10. Вычислить с помощью формулы Планка энергетическую светимость абсолютно чёрного тела в интервале длин волн Δλ=1 нм, соответствующем максимуму испускательной способности приТ=3000 К.

3.11. С помощью формулы Планка показать, что максимальное значение испускательной способности абсолютно чёрного тела пропорционально абсолютной температуре в пятой степени: ~T⁵.

3.12. С помощью формулы Планка показать, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна температуре: λ₀=b/T, гдеb– постоянная Вина.

3.13. Температура поверхности Солнца равна T₀=5500 К. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, оценить массу, теряемую им за секунду в результате излучения.

3.14. Для абсолютно черного тела вблизи его максимума испускательной способности рассчитать с помощью формулы Планка мощность излучения с единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1нм. Температура тела равна4000 К.

3.15. Вблизи максимума испускательной способности Солнца рассчитать с помощью формулы Планка энергию, которую оно излучает с единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1 нм. Температура СолнцаT=5500 К. Считать, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела.

3.16. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ≤λ_max.

3.17. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ>λ_max.

3.18. На экране получен спектр излучения положительного кратера вольфрамовой дуги, имеющего температуру 4000 К. Определить отношение мощностей, излучаемых кратером в интервалах длин волн от695до705 нм(участок красного цвета) и от395до405 нм(участок фиолетового цвета). Принять, что кратер излучает как черное тело а поглощение в стекле и воздухе одинаково для красных и фиолетовых лучей.

3.19. Для абсолютно чёрного тела в области максимума испускательной способности определить мощность излучения с 1 см²его поверхности для интервала длин волнλ0,01λ_мах. Температура телаТ=2000 К.

3.20. Абсолютно чёрное тело имеет температуру t₁=200 С. Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток излучения увеличился в100раз?

3.21. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно чёрного тела, если его максимум испускательной способности переместится из красной части видимого спектра λ₁=700 нмв фиолетовуюλ₂=393,6 нм?

3.22. На 1 см²земной поверхности падает в среднем около8,4 Джсолнечной энергии в1 мин. Расстояние от Земли до Солнца 1,5·10¹¹м, диаметр Солнца1,39 10⁹ м, температура Солнца6000 К. Считая Солнце абсолютно чёрным телом, найти постоянную в законе Стефана-Больцмана.

3.23. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне является его корона. Определить поток радиоизлучения от Солнца на Земле в полосе шириной Δω=1 МГцвблизи длины волныλ=1 м, предполагая, что это излучение является тепловым. Эффективная температура короны равнаТ=10⁶ К, эффективный радиус короныr=6,95·10⁵ км, радиус земной орбитыR=1,5·10⁸ км.

3.24. Металлический шар радиусом R=1 сми теплоемкостьюC=14 Дж/Кпри температуреT=1200 Квыброшен в межпланетное пространство. Коэффициент поглощения шараA=0,4. Через какое время температура шара уменьшится вдвое?

3.25. По пластинке длиной l=4 сми ширинойb=0,5 смпроходит электрический токI=15 А. После установления теплового равновесия температура пластинки стала равнойT=2000 К. Определить напряжение, подводимое к пластинке, если коэффициент поглощения пластинкиА=0,6. Считать, что температура по всей площади пластинки постоянна, а все выделяющееся тепло теряется в результате излучения.

3.26. Удаленный от других тел медный шарик облучен электромагнитным излучением с длиной волны λ=140 нм. Определить его потенциал?

3.27. Небольшое идеальное отражающее зеркальце массой m=10 мгподвешено на нити длинойl=10 см. Найти угол, на который отклониться нить, если по нормали к зеркалу в горизонтальном направлении произвести "выстрел" импульсом лазерного излучения с энергиейE=13 Дж.

3.28. Найти среднее давление лазерного импульса на поверхности тела. Длительность импульса τ=0,13 мс, средняя энергия импульсаW=10 Дж, диаметр пятнаd=10 мкм. Свет падает по нормали к поверхности тела, коэффициент отражения которой =0,5.

3.29. Сколько фотонов попадает на 1 см²поверхности Земли, перпендикулярной к солнечным лучам, за1 мин? Солнечная постояннаяω≈1,4·10³ Дж/(м²·с), средняя длина волныλ_ср≈550 нм.

3.30. Точечный источник монохроматического света на длине волны λ=500 нмимеет мощностьP=10 Вт. На каком максимальном расстоянии этот источник будет замечен человеком? Глаз человека реагирует на световой потокW=60фотонов в секунду. Диаметр зрачка глаза человекаd=0,5 см.

3.31. Параллельный пучок света с интенсивностью I_o падает под угломφна плоское зеркало с коэффициентом отраженияρ. Определить давление света на зеркало.

3

Рис. 3.2

.32. В сферическом сосуде, из которого откачан воздух, помещены два электрода из цинка. К ним подсоединён конденсатор ёмкостьюc=3,5 мкФ(рис. 3.2.). Один из электродов освещается светом с длиной волныλ=0,25 мкм. Какой заряд будет находиться на конденсаторе при длительном освещении? Работа выхода электрона для цинкаА=3,74 эВ.

3.33. На пластинку площадью S=8 см²по нормали к ее поверхности падает излучение с плотностью энергииq=1 Вт/см². Частота светаν=4,6·10¹⁵ с^-1. Какой ток может быть снят с пластинки, если считать, что каждый фотон выбивает электрон?

3.34. Какой частоты нужно взять свет, чтобы выбитые из вольфрамового катода электроны задерживались на расстоянии 4 смв электрическом поле напряженностью1,7 В/см?

3.35. Опыт показал, что задерживающее напряжение для фотоэлектронов равно 2 В. Электрод облучили светом с длиной волныλ=200 нм. Найти красную границу фотоэффекта.

3.36. Частота падающего света в опыте Комптона равна 4·10¹⁸ Гц. Найти частоту света, отраженного под углом120к направлению его падения.

3.37. Длина волны падающего света в опыте Комптона равна λ. Найти длину волны отраженного света, если известно, что электрон отдачи полетел под угломα=60к первоначальному направлению распространения света и обладал импульсом.

3.38. На площадь S=6 см²по нормали падает монохроматический свет с плотностью потока энергииq=1,5 Вт/см². Снятый с этой площади фототок насыщения равен0,2 А. Считая, что каждый фотон выбивает электрон, найти частоту света и энергию фотона.

3.39. Фотоны с длиной волны 330 нмвыбивают электроны, которые могут быть задержаны на расстоянии2 смв электрическом поле напряженностью2 В/см. Какова работа выхода электронов из металла (в эВ)?

3.40. Фототок вызывается светом с длиной волны 400 нм. Красная граница фотоэффекта800 нм. Найти запирающее напряжение для электронов.

3.41. Частота падающего света в опыте Комптона ν₁=3·10²² 1/с. Под каким углом рассеивается свет, если частота рассеянного светаν₂=2,5·10²² 1/с?

3.42. Скорость фотоэлектронов равна 3·10⁶ м/с. Найти задерживающую разность потенциалов и частоту падающего света. Работа выхода равна4,5 эВ.

3.43. Найти красную границу фотоэффекта и построить график зависимости задерживающей разности потенциалов от частоты. При длине волны света 520 нмкинетическая энергия электронов равна2 эВ.

3.44. В опыте Комптона угол рассеяния фотонов равен 180. Длина волны падающих фотонов равнаλ=0,5 нм. Найти частоту рассеянных фотонов.

3.45. При облучении катода фотоэлемента ток насыщения равен 0,01 А. Длина волны света равна500 нм. Площадь катода2 см². Найти плотность потока энергии света.

3.46. Известно, что при освещении фотоэлемента светом с длиной волны λ₁=400 нмвылетают электроны, которые могут быть задержаны запирающим напряжениемU₁=6 В. Каково, запирающее напряжение для электрона, выбитого светом с длиной волныλ₂=650 нм?

3.47. Красная граница фотоэффекта для катода равна 900 нм. Построить график зависимости запирающего напряжения от частоты.

3.48. В эффекте Комптона найти изменение длины волны рентгеновского излучения. Угол рассеяния фотонов равен 120, а их длина волны0,5 нм.

3.49. Какая доля энергии фотона в эффекте Комптона приходится на электроны отдачи? Угол рассеяния для фотонов с энергией ε=0,6 МэВравенφ=π/2.

3.50. В опыте Комптона угол рассеяния света изменился от 90до180. Во сколько раз изменится сдвиг по длине волны в результате опыта?

3.51. Фотон с частотой ω₀испущен с поверхности звезды, масса которойМи радиусR₀. Вычислить гравитационное смещение частоты фотона∆ω/ω₀на очень большом расстоянии от звезды.

3.52. Два абсолютно черных шарика радиусамиr₁=4 смиr₂=2 см, имеющие постоянные температурыT₁=400 КиT₂=800 К, находятся в вакууме на расстоянииd₀=0,6 м. Между шариками помещена небольшая пластинка радиусомr₀ << d₀, плоскость которой перпендикулярна к прямой, соединяющей шарики (рис. 3.3). Пластинка обладает свойствами черного тела. На каком расстоянииХот первого шарика надо поместить пластинку, чтобы ее температура была наименьшей? Каково значение этой температуры? Фоном излучения от окружающих предметов пренебречь.

3.53. Распределение температуры по поверхности круглой пластинки радиусом R=0,2 мв некоторый момент времени задано уравнением, гдеT₀=1000 К,r– расстояние до центра пластинки. Найти поток теплового излучения с двух сторон пластинки. Считать, что она обладает свойствами абсолютно черного тела.

3.54. Тонкая круглая пластинка радиусом R=0,1 мв некоторый момент времени имеет температуру, распределенную по законуT(r)=T₀exp(-αr²), гдеα=25,0 1/м²,r– расстояние до центра пластинки,T₀=1000 К. Найти мощность излучения с двух сторон пластинки, считая, что она излучает как абсолютно черное тело.

3.55. Тонкая прямолинейная полоса шириной b=5,0 сми длинойl=1,0 мимеет в некоторый момент времени температуру, распределенную вдоль полосы по законуT=T₀(1+x/l), гдеT₀=500 К,х – расстояние от одного из концов полосы. Полоса излучает как серое тело, ее коэффициент поглощения равенα=0,4. Найти поток теплового излучения с двух сторон полосы.

3.56. Обладающий свойствами черного тела шарик с площадью поверхности S=0,4 см²нагрет до температурыT₀=1000 К. Его поместили в вакуумную камеру, температура стенок которойT₁=250 К. Теплоемкость шарикаС=5,67 Дж/К. Считая, что шарик обменивается энергией со стенками камеры только за счет излучения, найти, за какое время t он охладился до температурыT=500 К?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 5