2. Задачи повышенного уровня сложности.

3.31. Доказать, что любое рациональное число можно записать в виде десятичной периодической дроби.

Доказать, что следующие числа иррациональны.

3.32. . 3.33.. 3.34..

3.35. Доказать, что для любых вещественных чисел найдется рациональное числотакое, что.

3.36. Доказать, что для любых вещественных чисел найдется иррациональное числотакое, что.

3.37. Каков порядок подгрупп групп 7-го и 10-го порядков? Построить таблицу умножения группы седьмого порядка.

3.38. Построить таблицу умножения группы диэдра . Эту группу можно рассматривать как группу симметрии квадрата относительно его поворотов на углывокруг оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр, а также поворота квадрата на уголотносительно оси, лежащей в плоскости квадрата, проходящей через его центр и параллельной стороне квадрата. Найти подгруппы этой группы. Построить факторгруппу, доказав предварительно инвариантность, где- подгруппа четвертого порядка. Построить гомоморфизмна. Какой подгруппе симметрической группыизоморфна группа диэдра?

3.39. Построить таблицу умножения группы кватернионов , содержащей элементы. Учесть, что. Найти левые и правые смежные классы подгруппыв группе кватернионов. Является ли эта подгруппа инвариантной? В случае положительного ответа построить факторгруппу, задав ее таблицей умножения. Какие еще подгруппы имеет группа кватернионов?

3.40. Найти все собственные подгруппы группы кватернионов . Описать все сопряженные подгруппы подгруппев группе. Доказать, что подгруппаявляется нормальным делителем и найти факторгруппус ее таблицей умножения.