СЕМИНАР 4

СЕМИНАР 4

Комплексные числа, геометрическое изображение комплексных чисел, формы записи комплексных чисел, действия над комплексными числами.

Вводная информация

Определение комплексного числа.

Рассмотрим множество пар . Введем на этом множестве две бинарные операции:

1. Сложение: . Относительно этой бинарной операции множество является абелевой группой с единичным элементом и обратным элементом .

2. Умножение: . Относительно этой бинарной операции множество также является абелевой группой с единичным элементом и обратным элементом .

Можно проверить, что веденная операция умножения является дистрибутивной относительно операции сложения. Следовательно, множество является полем. Поскольку новые числа задаются двумя действительными числами, их иногда называют двумерными числами. Традиционное название этих чисел – комплексные числа. Поле комплексных чисел обозначается символом .

Введем более удобную форму записи этих чисел, позволяющую более наглядно проводить вычисления с этими числами. Образуем формальную сумму , где символ удовлетворяет свойству . Этот символ называют мнимой единицей. Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Если , то комплексное число отождествляется с действительным числом, если же , то - чисто мнимое число. Действительное число называют реальной частью комплексного числа и обозначают , соответственно действительное число называют мнимой частью комплексного числа и обозначают .

В новой форме операции сложения и умножения комплексных чисел выглядят более естественным образом: и . (Сравните с введенными ранее этими операциями над комплексными числами). Чтобы найти обратное число запишем его в виде . Однако, такая дробь не подходит под нашу запись комплексного числа. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же комплексное число . Получим . Легко проверить, что . Комплексное число называется комплексно сопряженным числом к числу . При нахождении обратного комплексного числа мы, фактически, научились делить комплексные числа.

Пример 1. .

Комплексное число или можно изобразить на плоскости точкой с координатами и . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось называется действительной осью (на ней изображаются действительные числа ), а ось - мнимой осью (на ней изображаются чисто мнимые числа ). Комплексное число можно также изобразить с помощью радиус-вектора точки с координатами . Длина вектора , изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа и обозначается или . Очевидно, что . Величина угла между вектором и осью называется аргументом комплексного числа и обозначается или . Аргумент комплексного числа не определен. Аргумент же комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого . Можно записать , где - главное значение аргумента заключенное (например) в полуинтервале , т.е. . Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записи комплексного числа. Так как и , то можно записать . Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Поскольку и , то при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать . Если принять, что лежит в пределах , формула приводит к результату

Для чисел, лежащих на осях, следует помнить, что:

1. для положительной ветви оси ;

2. для отрицательной ветви оси ;

3. для положительной ветви оси ;

4. для отрицательной ветви оси .

Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме

и , то формулы умножения и деления комплексных чисел имеют вид

,

.

Очень часто при вычислениях удобно использовать показательную форму комплексного числа , где - основание натуральных логарифмов. Число - комплексное число, имеющее в алгебраической форме вид (формула Эйлера). Заметим, что . Законы умножения и деления комплексных чисел в показательной форме имеют самый простой вид

и .

Пусть , тогда или

Последняя формула называется формулой Муавра и используется при возведении комплексных чисел в большие степени. С помощью этой формулы легко получить формулу извлечения корня какой-либо степени из комплексного числа. Если , то

или .

Для числа следует взять значения .

Пример 2. Вычислим . Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме , так как и . Следовательно, , где . Находим три корня:

;

;

.

Замечание. Попытка ввести «трехмерные числа » по аналогии с двумерными числами потерпела неудачу. Однако, У. Гамильтону удалось определить «четырехмерные числа» - кватернионы, в которых имеются три мнимых единицы . При введении этих гиперкомплексных чисел пришлось отказаться от свойства коммутативности . Доказано, что в пространствах большей размерности построение таких систем - «чисел» невозможно.

ЗАДАЧИ

1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.

Построить на комплексной плоскости точки.

4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. 1. 4.6. -1. 4.7. . 4.8. .

Для данных комплексных чисел найти .

4.9. 5. 4.10. . 4.11. . 4.12 . 4.13 . 4.14 . 4.15. .

4.16. . 4.17..

Построить на комплексной плоскости векторы, соответствующие комплексным числам . Найти и .

4.18. . 4.19. . 4.20. . 4.21. . 4.22. .

4.23. .

Записать в алгебраической форме числа.

4.24. . 4.25. . 4.26 .

Записать в тригонометрической форме комплексные числа.

4.27. . 4.28. . 4.29. . 4.30. .

4.31. . 4.32. . 4.33. .

4.34. . 4.35 . 4.36. .

4.37. , где .

Записать в показательной форме комплексные числа.

4.38. . 4.39. . 4.40. . 4.41. . 4.42..

4.43. . 4.44. .

Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих условиям.

4.45. . 4.46. . 4.47. . 4.48. .

4.49. 4.50. .

4.51. .

4.52. Найти наибольшее и наименьшее значения , если .

4.53. Могут ли быть комплексно сопряженными: два действительных числа? два чисто мнимых числа? действительное и мнимое число?

4.54. Пусть . Чему равен ?

4.55. Как выглядят условия равенства двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме?

4.56. Какое из чисел больше: или ?

4.57. Найти , если .

Вычислить комплексные числа.

4.58. . 4.59. . 4.60. .

4.61. . 4.62. . 4.63. . 4.64. .

4.65. . 4.66. . 4.67. . 4.68. .

4.69. . 4.70. . 4.71. .

4.72. . 4.73. . 4.74. . 4.75. ;

4.76. . 4.77. .

Найти все значения корней.

4.78. . 4.79. . 4.80. . 4.81. . 4.82. . 4.83. .

4.84. . 4.85. . 4.86 . 4.87. . 4.88. .

4.89. Сколько и каких значений имеет произведение ?

Решить уравнения .

4.90. . 4.91. .

Данные числа и записать в показательной форме и выполнить над ними указанные действия.

4.92. , где .

4.93. ,где .

Доказать равенства.

4.94. . 4.95. .

Используя формулу Эйлера, получить соотношения.

4.96. . 4.97. .

4.98. . 4.99. .

Используя формулу Эйлера, выразить через косинусы и синусы кратных дуг функции.

4.100. . 4.101. . 4.102. .

Используя формулу Муавра, доказать справедливость тождеств.

4.103. . 4.104. .

Найти действительные решения уравнений.

4.105. . 4.106. .

Вычислить модули комплексных чисел.

4.107. . 4.108. .

4.109. Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть отрицательной?

4.110. Как изменится модуль и аргумент комплексного числа в

результате умножения этого числа на комплексные числа: а) 2;

б) ; в) ?

2. Задачи повышенного уровня сложности.

Используя формулу Муавра, записать комплексные числа в алгебраической форме.

4.111. . 4.112. . 4.113 .

4.114..

Найти все значения корней.

4.115. . 4.116. . 4.117. .

4.118. Выразить через синус и косинус кратных дуг: а) , б) .

4.119. Составить таблицу умножения группы, элементами которой являются корни пятой степени из единицы.

4.120. Показать, что комплексные числа, обладающие свойством , образуют группу с групповой операцией – умножение.

4.121. Найти действительные и комплексные решения системы уравнений:

Решить уравнения.

4.122. . 4.123. . 4.124. .

4.125. .

4.126. Дано комплексное число . Найти: и .

4.127. Найти комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.

4.128. Найти .

4.129. При каком условии квадрат комплексного числа является чисто мнимым числом?

4.130. Указать на комплексной плоскости точки , для которых:

а) ; б) .