V. Инвариантные подгруппы. Факторгруппа.

Определение. Говорят, что элемент группысопряжен элементу , если в группеможно найти элементтакой, что.

Поскольку понятие сопряжения является отношением эквивалентности, группа разбивается на классы эквивалентности.

Пример 10. Симметрическая группа разбивается на три класса эквивалентности.

Пусть - подгруппа группы. Заметим, что для любого элементагруппымножество видатакже является группой, называемойсопряженной подгруппой подгруппе в группе.

Определение. Если для всех элементов выполняется равенство, то подгруппаназываетсяинвариантной подгруппой (самосопряженной подгруппой или нормальным делителем) группы .

Для такой подгруппы , т.е. левые и правые смежные классы совпадают.

Пример 11. Инвариантной подгруппой симметрической группы является подгруппа .

Определение. Единичный элемент и вся группа называютсятривиальными инвариантными подгруппами группы .

Определение. Группа, которая не имеет инвариантных собственных подгрупп, называется простой группой.

Определение. Группа называется полупростой, если ни одна из ее инвариантных подгрупп не является абелевой.

Определение. Группа смежных классов инвариантной подгруппы называетсяфакторгруппой и обозначается . Закон композиции в такой группе вводится правилом.

Пример 12. Факторгруппа состоит из двух элементовс таблицей умножения

.

Можно задать гомоморфное отображение группы на факторгруппуправилом: каждому элементуставится в соответствие смежный класс, его содержащий.

Поля.

Определение. Множество называетсяполем, если на нем определены две бинарные операции (сложение и умножение) и выполняются следующие условия:

1. - абелева группа относительно сложения. Единичный элемент этой группы будем обозначать через «0», а элемент, обратный к элементу- через «».

2. Множество - абелева группа относительно умножения. Единичный элемент этой группы будем обозначать через «1», а элемент, обратный к элементу- через «». Заметим, что.

3. Операция умножения является дистрибутивной относительно операции сложения: для любых,и, принадлежащих.

Приведем примеры полей.

1. Множество рациональных чисел .

2. Множество действительных чисел .

3. . Таблицу сложения по модулю 5 мы ввели ранее, дополним ее таблицей умножения по модулю 5.

.

Получим поле Галуа . В общем случае поле Галуа обозначают, где- простое число.

ЗАДАЧИ

1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.

Записать обыкновенные дроби в виде десятичных дробей.

3.1. . 3.2.. 3.3..

Записать десятичные дроби в виде обыкновенных дробей.

3.4. . 3.5.. 3.6.. 3.7.. 3.8..

3.9. . 3.10..

Сравнить указанные числа.

3.11. . 3.12.. 3.13..

3.14. . 3.15..

Найти и, если они существуют.

3.16. . 3.17.. 3.18..

3.19. . 3.20..

3.21. .

3.22. Дана таблица умножения группы

e	a	b	c
a	b	c	e
b	c	e	a
c	e	a	b

Показать, что эта таблица – таблица умножения циклической группы . Найти собственные подгруппы этой группы.

3.23. Является ли циклической группой четверная группа Клейна , заданная таблицей умножения

e	a	b	c
a	e	c	b
b	c	e	a
c	b	a	e

Перечислить все подгруппы данной группы. Изоморфны ли группы и? Построить левые смежные классы подгруппыв группе. Какие из этих классов являются группами? Является ли подгруппаинвариантной подгруппой? В случае положительного ответа построить факторгруппу, задав ее таблицей умножения, и найти ее порядок. Определить гомоморфное отображение группына факторгруппу.

3.24. Рассмотрим подмножество множества рациональных чисел вида, где. Образует ли это подмножество подгруппу группыс групповой операцией – умножение? В случае положительного ответа найти смежные классы. Какие из этих смежных классов являются подгруппами группы?

3.25. Построить таблицу умножения симметрической группы . Найти все сопряженные подгруппы подгруппегруппы, образованной циклическими перестановками,и. Является ли подгруппасамосопряженной?

3.26. Докажите, что совокупность элементов , где- подгруппа группыи.

3.27. Построить таблицу умножения группы диэдра . Эту группу

можно рассматривать как группу симметрии равностороннего треугольника относительно его поворотов на углы вокруг оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр, а также поворота треугольника на уголотносительно одной из его высот. Найти подгруппы этой группы. Найти левые и правые смежные классы по этим подгруппам. Построить факторгруппу, доказав инвариантность, где- подгруппа третьего порядка. Изоморфна ли группа диэдрасимметрической группе?

3.28. Доказать, что отношение сопряжения элементов в группе является отношением эквивалентности.

3.29. Образует ли поле множество , если наряду со сложением поввести на множествеоперацию умножения по?

3.30. Составить таблицы сложения и умножения поля Галуа .