книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

Координата y0i первого узла стоячей волны, соответствующая значению п—\, будет равна уо\ = 1—Я/4. Второй, третий и т. д. узлы будут определяться координатами, соответствующими значениям

одинаковых расстояниях друг от друга, равных половине длины волны, причем в случае, когда падающая волна отражается от ме­ нее плотной среды, первый узел стоячей волны удален от границы

Координата первой пучности находится из условия п—\ и ока­ зывается равной у\т = 1- Вторая, третья и т. д. пучности, соответству­ ют значениям числа я, равным 2, 3 и т. д., и будут определяться координатами ут% = 1—Я/2, утз = 1—2Я/2 и т. д. Таким образом, и со­ седние пучности стоячих волн располагаются друг от друга на рас­ стояниях, равных половине длины волны, причем в случае отраже­ ния волны от менее плотной среды первая пучность находится на границе раздела сред. Каждая из пучностей стоячей волны находит­ ся посредине между двумя соседними ее узлами. В случае отраже­ ния падающей волны от более плотной среды и образования стрячей волны получается результат, подобный рассмотренному. Только по­ ложения узлов и пучностей стоячей волны поменяются местами: на границе раздела сред образуется узел, а первая пучность будет уда­ лена от границы раздела на расстояние, равное четверти длины вол­ ны.

В теле, имеющем ограниченные размеры, могут существовать стоячие волны не всякой длины. Длины • их определенным образом связаны с линейными размерами тела.

Так, вдоль струны, оба конца которой закреплены неподвижно, могут образовываться только такие стойчие волны, чтобы на непод­ вижных концах струны находились их узлы. Отсюда следует, что длины стоячих волн должны быть такими, чтобы вдоль длины стру­ ны / укладывалось целое число полуволн, т. е. чтобы

Несколько таких волн показано на рис. 156, а. Если скорость рас­ пространения волн в струне равна v, то возможным в ней стоячим

волнам будет соответствовать дискретный ряд частот колебаний

называемых собственными частотами колебаний струны. Значению п = 1, когда вдоль длины струны / укладывается лишь одна полувол­ на, соответствует частота колебаний vi = v/2l, называемая основным тоном струны. Все остальные частоты возможных колебаний стру­ ны, кратные ее основному тону, называют обертонами.

Таким же соотношениям должны удовлетворять длины стоячих волн воздуха, образующихся вдоль трубы длины /, оба конца кото­ рой открыты и не препятствуют движению частиц воздуха. Только на концах трубы будут распола­ гаться пучности стоячих волн (рис. 156, б). Если труба открыта с одного конца, а второй закрыт, то вдоль нее могут образовывать­ ся лишь такие стоячие волны, что­ бы на длине трубы / укладыва­ лось нечетное число четвертей длин волн, т. е. чтобы (рис. 156, б)

/ = ( 2 п — 1 ) — . (12.18) 4

Тогда на закрытом конце трубы будет находиться узел, а на от­ крытом конце — пучность стоячей волны. Этим длинам волн будут

соответствовать собственные частоты колебаний, равные

Известно, что при изменении натяжения струны неизменной дли­ ны изменяется и высота издаваемого ею звука. Это происходит по­ тому, что, например, при возрастании натяжения струны возрастает скорость распространяющихся вдоль нее волн. В результате возрас­ тают и собственные частоты колебаний струны, соответствующие, как ее основному тону, так и обертонам, хотя длина струны остает­ ся неизменной.

Стоячие волны отличаются от бегущих еще в одном отношении. Если вместе с бегущей волной вдоль направления ее распростране­ ния переносится энергия колебательного движения, то вдоль стоя­ чей волны она не переносится.

Так, узловые точки стоячих волн неподвижны, их кинетическая энергия в любой момент времени равна нулю. Следовательно, че-

волн, так что движения энергии вдоль стоячей волны не наблюдается. В стоячей волне происходят лишь взаимные превращения кинетичес­

отраженная от этой поверхности, распространяясь во взаимно про­ тивоположных направлениях, переносят при отсутствии их затуха­ ния одинаковую энергию колебательного движения. В итоге резуль­ тирующий поток энергии в каком-либо из направлений, представля­ ющий собой сумму двух одинаковых по величине и противоположно направленных потоков, равен нулю.

Если амплитуда падающей волны at не равна амплитуде отра­

Полученное соотношение и представляет собой так называемое волновое уравнение, являющееся дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, связывающим искомую функцию х с переменными t к у. Решением данного волнового урав­ нения, очевидно, является полученное ранее уравнение волны x—asin со (t—y/v).

§ 6. Зависимость скорости распространения волн

от свойств среды

Скорость распространения волн v, являясь скоростью передачи состояния колебательного движения от одной частицы среды к дру­

правлению (рис. 157). Пусть при отсутствии волны, когда все точки

объема. Действительно, выделенный объем среды, придя в движе­ ние в направлении распространения волны, увлекает за собой по­ следующий слой, воздействуя на него с силой в направлении своего движения (т. е. вправо). Но, согласно третьему закону Ньютона, последующий слой будет действовать на данный элементарный объ­ ем с силой, направленной в противоположную сторону (влево).

Результирующая сила, действующая на рассматриваемый эле­ ментарный объем, равна арифметической разности сил f и f, по­ скольку они направлены в противоположные стороны, т. е.

Полученному выражению результирующей силы Af можно при­ дать несколько иной вид. Так, согласно определению, вторая произ­ водная от смещения х по координате у есть

Отсюда, считая величину dy бесконечно малой:

аду2

Согласно второму закону Ньютона, ускорение w рассматривае­ мого элементарного объема среды должно быть равно действующей на него результирующей силе Af, деленной на его массу dm:

По условию, рассматриваемый объем среды Sdy должен быть на­ столько мал, .чтобы ускорение всех находящихся в нем частиц можно было считать одинаковым и равным w. Масса же объема dm равна его величине Sdy, умноженной на плотность среды р: dm = pSdy. Учитывая значения ускорения w, массы dm и силы Af, равенство (12.31), выражающее второй закон Ньютона, можно представить в виде

В соответствии с волновым уравнением, полученным выше, уско­ рение частиц, участвующих в волновом движении, равно

Поскольку же коэффициент упругости среды а связан с характери­

Рассуждая таким же образом, можно получить, что скорость распространения поперечных волн в среде, где волновым процес­ сом вызываются деформации сдвига, будет равна

где N — модуль сдвига для данной среды, а р — плотность среды. Поскольку модуль Юнга и модуль сдвига для одной и той же сре­ ды имеют различную величину (как правило, модуль сдвига по величине меньше модуля Юнга), то скорости распространения продольных и поперечных волн в одной и той же среде различны.

колебаний частиц среды от 16 до 20 000 герц. Волны с частотами колебаний, меньшими 16 герц (инфразвуковые), а также с часто­

Источником звука является всякое тело, колеблющееся 3 упругой среде с частотой, находящейся в указанных пределах, и с

жения последовательно передается от одних частиц среды к дру­ гим, все более удаленным от тела, поскольку они связаны между собой упругими силами взаимодействия. Таким образом, в среде возникает и распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств данной среды.

Достигнув человеческого уха, звуковая волна воздействует на его барабанную перепонку с периодической силой и вызывает ее вынужденные колебания такой же периодичности. Колебания ба­ рабанной перепонки воздействуют на внутренний слуховой аппа­

Для обеспечения возможности звукового восприятия необходи­

понки, превышало определенную минимальную величину, называ­

ная звуковая волна. Воздействуя на слуховой аппарат, она вызы­ вает ощущение простого ровного звука определенной высоты. Но камертон, колеблющийся в вакууме, звука не издает, так как при высоком вакууме междучастичные расстояния в среднем на­

звука определяется частотой основного тона, т. е. наиболее низко­ частотного из слагаемых колебаний. Сила звука монотонно зави­ сит от величины энергии, приносимой звуковой волной к органу слуха в единицу времени. Тембр или окраска, оттенок звука, по­ зволяющие установить, какой инструмент является его источни­ ком, определяются составом гармонических составляющих в сложном колебательном процессе, вызывающем звуковое ощуще­ ние. Так называемым музыкальным звукам соответствует дискрет­ ный спектр частот составляющих их колебаний. Звуки же, называемые шумами, характеризуются непрерывным, сплошным спектром частот бесчисленного множества составляющих их ко­ лебаний.

Как уже указывалось, звуковые волны в газовой или жидкой среде могут быть только продольными, так как жидкости и газы

обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжа­ тия, но неупруги по отношению к деформациям сдвига. В твердых же телах, обладающих упругостью по отношению как к деформа­ циям сжатия, так и к деформациям сдвига, могут распространять­ ся как продольные, так и поперечные звуковые волны.

§ 8. Скорость звука

Скорость распространения продольных механических волн, каковы­ ми являются звуковые волны в воздухе, равна v = V&/p, где ё — модуль Юнга для данной среды, а р — плотность среды. При распро­ странении в газе плоской звуковой волны модуль Юнга равен

чае представляет собой разность внешних давлений на основания ука­ занного элементарного объема, вызывающую его деформации.

Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на пло­

по знаку: при увеличении давления объем газа уменьшается, а с уменьшением давления—возрастает. Поэтому при Ap/AV<0 ве­ личина модуля Юнга будет положительной.

Далее, процесс распространения звуковой волны в газе совер­ шается настолько быстро, что вызываемые им локальные перио­ дические изменения объема и давления в элементарно малых участках газовой среды происходят без теплового обмена с дру­ гими ее участками. Такие процессы, которые происходят в какой-