книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

Так, пусть точечный источник волны находится в некоторой точ­ ке О однородной среды (рис. 152) и совершает гармонические коле­ бания частоты со в соответствии с законом

на величину, соответствующую времени распространения волны от источника О до точки А. Действительно, волна, распространяясь от источника О со скоростью v, достигнет точки А через отрезок вре­ мени t'~y/v. Поэтому фаза колебаний точки А в данный момент времени / будет такой же, какой она была у источника О в момент времени/—/', г д е / ' — время распространения волны на расстоя­ ние у. Таким образом, колебания точки А, находящейся от источни­ ка волны О на расстоянии у вдоль направления ее распространения,

Выражение (12.2) и представляет собой уравнение так называе­ мой монохроматической плоской бегущей волны, характеризующей процесс волнового движения в зависимости как от времени /, так и от расстояния у. Уравнению волны можно придать иной вид: учиты­

нию колеблющихся частиц от равновесия, называется амплитудой волны. Если амплитуда волны а не зависит ни от времени /, ни от расстояния у, то волна называется монохроматической.

Величина со(/—y/v) или 2TC(V/—у/К), являющаяся аргументом синуса в уравнении волны и определяющая величину отклонения х

частицы, удаленной от источника волны на расстояние у, от равнове­ сия в данный момент времени /, называется фазой волны. Геометри­ ческое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах, назы­ вают поверхностью равных фаз. Так, в случае распространения вол­ ны вдоль одного только направления у поверхность равных фаз определяется из условия со(ї—z//u)=const. Отсюда при фиксирован­ ном значении времени t с учетом, что v = const и и = const-:

Это значит, что поверхностью равных фаз в данном случае является плоскость, перпендикулярная направлению распространения вол­ ны у.

Волна, у которой поверхностью равных фаз является плоскость, перпендикулярная к направлению ее распространения, называется плоской волной. (Например, рассмотренная выше волна, распрост­

волны, называется фронтом волны. Иными словами, фронт волны — это геометрическое место точек, которых волна достигает к данному моменту времени.

Нередко волны распространяются от источника по всевозмож­ ным направлениям с одинаковой скоростью (например, волна, воз­ буждаемая пульсирующим шаром, помещенным в однородную жид­ кость или газ). В таких случаях поверхностью равных фаз волны бу­

времени от / = 0 до t. Такую же сферическую форму будет иметь и фронт волны. Обычно сферические (или почти сферические) волны распространяются в однородных изотропных средах, окружающих источник волны со всех сторон.

Уравнение сферической волны, распространяющейся от источни­ ка по всевозможным направлениям со скоростью v, имеет вид

(12.5)

Амплитуда сферической волны а(г) уже не может оставаться неизменной вдоль направления ее распространения. Даже в случае отсутствия поглощения энергии колебательного движения средой (см. ниже) она должна уменьшаться по мере распространения вол­ ны обратно пропорционально расстоянию г, проходимому волной,

а (г) = а,,/г,

где а0 — амплитуда колебаний источника волны.

Когда сферическая волна удаляется от источника на достаточно

верхности равных фаз можно описывать уравнением плоской волны. Отсюда видно, что детальное изучение плоских монохроматических

волн имеет весьма большое значение для исследования различных более сложных волновых процессов.

Скорость распространения волны называют фазовой скоростью, по­ скольку именно с этой скоростью распространяется в среде опреде­ ленная фаза колебаний (например, максимальное отклонение частиц от равновесия). Действительно, условие неизменности фазы волны при

т. е. быстрота изменения с течением времени координаты у , которой соответствует одна и та же фаза колебаний, равна и. Иными слова­ ми, скорость точки волны (но не точки среды), характеризующейся неизменной фазой колебаний, является скоростью распространения волны V.

Скорость распространения волны v и скорость колебаний частиц среды, участвующих в волновом процессе,— это разные величины, характеризующие различные процессы. Так, скорость колебаний,

ной и той же частицы среды, находящейся на заданном неизменном расстоянии у от источника волны и колеблющейся около своего по­ ложения равновесия. Скорость же распространения волны v опреде­ ляет собой скорость распространения состояния колебательного дви­ жения, в которое с течением времени вовлекаются все новые и новые частицы среды.

Уравнение волны показывает, что смещение частиц х из положе­ ния равновесия является периодической функцией как времени t, так и координаты у . Если следить за движением одной и той же ча­ стицы среды, т. е. если у = у о = const, то ее смещение х как функция времени выразится в виде

х = a sin со (t — — J = a sin (со/ — const).

V }

Отсюда видно, что каждая фиксированная частица среды, участвую­ щая в волновом процессе, совершает гармонические колебания око­ ло своего положения равновесия с периодом Г=2я/со. Если же за­ фиксировать момент времени t = t0, то из уравнения волны получим

х = a sin со 110 — j = — a sin ^со — — const j .

Отсюда следует, что распределение смещений х частиц среды в ка­ кой-либо определенный момент времени в зависимости от их коор­ динаты у является синусоидальным, т. е. периодическим в прост­ ранстве.

я . Такие частицы всегда имеют равные по величине, но противопо­ ложные по направлению отклонения от равновесия, т. е. они колеб­ лются в противоположных фазах (см. рис. 153).

§3. Интерференция волн

Вопределенном объеме среды могут одновременно распростра­ няться несколько волн, возбуждаемых различными источниками, причем каждая из них будет существовать и распространяться неза­ висимо от наличия других волн. Точки среды, где встречаются волны от различных источников, будут одновременно участвовать в не­ скольких колебательных движениях, вызываемых каждой из прихо­ дящих волн. При этом каждое из этих движений совершается неза­ висимо от движений, вызываемых другими волнами. Вследствие это­ го результирующее смещение частицы, где встречаются несколько волн, в любой момент времени представляет собой геометрическую сумму смещений, вызываемых каждой из волн в отдельности. Ины­ ми словами, в таких случаях происходит простое наложение не­ скольких независимых колебательных движений друг на друга или, как говорят, суперпозиция волн.

При определенных условиях в результате суперпозиции волн от различных источников амплитуды результирующих колебаний раз­ личных частиц среды оказываются неодинаковыми по величине, бу­ дучи при этом неизменными с течением времени. Явление суперпо­ зиции волн от нескольких источников, вследствие чего амплитуды результирующих колебаний различных участков среды, будучи не­ изменными во времени, оказываются неодинаковыми по величине и в общем случае не равными арифметической сумме амплитуд сла­ гаемых колебаний, называется интерференцией волн. Характерным признаком интерференции волн является существование чередую­

Для интерференции волн необходимо соблюдение ряда условий: направления колебаний частиц в интерферирующих волнах должны быть одинаковыми, а частоты их колебаний равны друг другу, сдвиг фаз колебаний источников волн должен оставаться неизменным с течением времени, а скорости распространения слагаемых волн одинаковыми. Перечисленные условия называются условиями коге­ рентности волн. Таким образом, интерферировать между собой мо­ гут только когерентные волны.

"Если хоть одно из условий когерентности не удовлетворяется, то интерференция волн невозможна. Так, если частоты колебаний, воз­ буждаемых в той или иной точке среды приходящими волнами, раз­ личны или если фазы колебаний источников волн изменяются в за­ висимости от времени неодинаково, то разность фаз слагаемых ко­ лебаний в точке встречи волн будет также изменяться с течением времени. Разность фаз изменяется и тогда, когда скорости распро-

где v — const — скорость распространения волн, ах и а2 — амплитуды колебаний, соответствующих этим волнам в точке их встречи А (ам­ плитуды ах и а2 вследствие затухания волн по мере их распростране­ ния не равны амплитудам колебаний источников ахо и аго).

Результирующее смещение х точки А из положения равновесия будет равно сумме смещений хх и х2, вызываемых каждой волной в отдельности: x = Xi + x2. Поскольку оба слагаемых движения являют­ ся гармоническими колебаниями одинакового направления и одина­ ковой частоты со, то и результирующее движение будет представлять собой гармонические колебания того же направления и той же ча­ стоты. Но амплитуда результирующего колебательного движения, определяемая соотношением

а = а\ + а%+2а1а2 cosco ^ ^ 2 ~ d l + срх — cp2 j, (12.10)

не будет равна арифметической сумме амплитуд слагаемых колеба­

ческой сумме амплитуд слагаемых колебаний, когда разность их фаз

движения равна какому-либо из значений, заключенных в пределах

ах—а2 ^Са^,а\ + а2.

Если разность начальных фаз колебаний источников волн фі—фг является фиксированной величиной, то амплитуда результирующих колебаний в точке А определится численным значением выражения co(ci2—dx)/v. В частности, она будет иметь одну и ту же величину в тех точках среды, разность расстояний которых до источников волн d2—d\ одинакова.

Значит, в рассматриваемом случае интерференция волн линии равных амплитуд представляет собой геометрические места точек, разность расстояний которых до двух фиксированных точек, где на­ ходятся источники волн, одинакова. Как известно, такими линиями являются гиперболы с фокусами в точках Ох и 02, где расположены источники волн. При этом между двумя соседними линиями макси­ мальных амплитуд (см. рис. 154, сплошные линии) должна нахо­ диться линия, которой соответствуют минимальные амплитуды ко­ лебаний (прерывистые линии).

Если амплитуды слагаемых колебаний одинаковы (а1 = а 2 = а 0 ) , то амплитуды результирующих колебаний будут изменяться в пре­

онная картина может наблюдаться лишь вблизи прямой, проходя­ щей через середину отрезка, соединяющего источники волн, и пер­ пендикулярной к этому отрезку. По мере удаления от данной прямой интерференционная картина становится все более размытой.

— пК, т. е. составляет целое число длин волн, то разность фаз слагае­ мых колебаний равна

рующих колебаний будет максимальной, равной сумме слагаемых амплитуд. Если же разность хода волн равна нечетному числу полу­

ослаблять друг друга, амплитуда результирующих колебаний будет минимальной и равной разности амплитуд слагаемых колебаний.

§ 4. Стоячие волны

Вторым характерным примером интерференции волн являются стоячие волны, образующиеся в результате интерференции двух ко­ герентных волн, распространяющихся по одному и тому же пути в противоположных направлениях. В частности, стоячие волны возни­ кают в результате интерференции волны, падающей на поверхность раздела двух сред, с волной, отраженной от этой поверхности и рас­ пространяющейся в обратном направлении.

При отражении волны ни направление колебаний, ни их частота не изменяются. В любой точке среды, где встречаются падающая и отраженная волны, разность фаз колебаний, соответствующих этим волнам, также не изменяется с течением времени. Так, волна, падая из более плотной среды на границу раздела с менее плотной средой и испытывая мгновенное отражение от этой границы, не изменяет фазы в процессе отражения. Например, свободный конец резинового шнура, граничащий с воздушной средой, будет, не испытывая пре­ пятствий, участвовать в колебаниях, возбуждаемых как волной, при­ ходящей к нему от противоположного конца, так и отраженной вол­ ной. Поэтому свободный конец шнура, участвуя в обоих колебаниях, фазы которых одинаковы, будет иметь амплитуду, вдвое большую амплитуды падающей волны. Когда же волна отражается от более плотной среды, то при этом фаза колебаний в ней скачком изменя-

Полученное выражение и представляет собой уравнение стоячей

колебаний. Из уравнения стоячей волны видно, что все частицы сре­ ды при наличии в ней стоячей волны совершают гармонические коле­ бания около положений равновесия с частотой со, равной частоте колебаний источника волны. При этом фазы колебаний различных частиц среды в стоячей волне не зависят от их координаты у, т. е. все частицы совершают колебания в одинаковой фазе, одновремен­ но проходя через положения равновесия. Но амплитуды колебаний различных частиц в стоячей волне неодинаковы. Они непрерывно и периодически, согласно закону косинуса, изменяются по мере изме­ нения координаты у, принимая всевозможные значения, заключен­ ные в пределах от величины 2а, равной удвоенной амплитуде падаю­ щей волны, до нуля, если только амплитуды падающей и отражен­ ной волн одинаковы. Этими свойствами — различием амплитуд колебаний у разных точек и одинаковостью фаз их колебаний — сто­ ячая волна отличается от бегущей монохроматической плоской вол­