книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

перемещение оси катящегося цилиндра вдоль наклонной плоскости за

чем больше момент инерции цилиндра / относительно своей оси при неизменной его массе. Если бы цилиндр не катился, а скользил по наклонной плоскости без трения, то его ускорение следовало бы на­ ходить из уравнения mg sin a = mw, так что оно оказалось бы рав­ ным w = g sin а.

Определим величину скорости центра масс цилиндра vc в мо­ мент времени, когда он достигнет основания наклонной плоскости. В этот момент кинетическая энергия катящегося цилиндра будет

равна сумме кинетических энергий его поступательного и враща­

коившегося над основанием наклонной плоскости на высоте h, т. е. должно выполняться условие mgh = v2c (m + I/r2)/2. Работа силы

трения ф здесь равна нулю и ее не нужно учитывать, так как сила

Скорость vc поступательного движения катящегося цилиндра будет тем меньшей, чем больше его момент инерции /, так как лишь часть его кинетической энергии соответствует поступательному дви­ жению. Вторая же ее часть и притом тем большая, чем больше мо­ мент инерции катящегося тела, соответствует его вращению около своей оси. Полная же кинетическая энергия тела определяется на­ чальным запасом его потенциальной энергии, т. е. является вполне определенной величиной. Поэтому чем большая доля кинетической энергии тела приходится на его вращательное движение, тем мень­ шая ее доля будет соответствовать поступательному движению, тем меньшей, следовательно, будет и величина скорости центра масс тела.

§ 14. Свободные оси вращения твердого тела

Часто положение оси вращения твердого тела сохраняется с те­ чением времени неизменным благодаря наличию подшипников, в которых она удерживается. Но в ряде случаев ориентировка оси вращения тела сохраняется неизменной сама по себе, без укрепле­ ния ее концов в подшипниках. Такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентировки в пространстве без действия пред­ назначенных для этого внешних сил, называют свободными.

Так, опыт показывает, что ось цилиндра, скатившегося с на­ клонной плоскости и продолжающего движение в воздухе, остается горизонтальной, т. е. является свободной.

Ось вращения тела будет свободной, если она проходит через его центр масс и если сумма моментов сил, действующих на все

частицы вращающегося тела, относительно его центра масс будет

т2, помимо сил тяжести mxg и m2g, действуют центростремительные силы со стороны стержня, направленные к оси вращения и по вели­ чине соответственно равные / ] = / П і с о 2 Г і и f2=m2a>2r2, где п и г 2 —

ом

масс mi и т2 будет находиться на оси вращения. Но при вертикаль­ ном положении оси равнодействующая этих сил тяжести уравнове­ сится силой давления нижнего подшипника, направленной вдоль оси вверх. Таким образом, если ось вращения проходит через центр масс тх и т2, то сумма всех сил, действующих на ось, будет равна нулю.

Это условие является необходимым, но еще недостаточным для того, чтобы рассматриваемая ось вращения была свободной. При его выполнении ось не будет двигаться поступательно. Но чтобы она и не вращалась около центра масс, еще необходимо, чтобы сумма мо­ ментов всех действующих на нее сил относительно центра масс бы­ ла равной нулю.

Момент результирующей силы тяжести относительно центра масс в данном случае равен нулю, так как эта сила приложена к центру масс. Моменты же центробежных сил f'2 и f,' относительно центра масс С будут равны нулю лишь тогда, когда обе эти силы действуют в противоположные стороны по одной и той же прямой, перпендикулярной оси вращения. Если линии действия центробеж­ ных сил параллельны, но не совпадают, т. е. силы f \ и i'2 образуют пару сил, то их момент относительно точки С будет отличным от нуля и ось не будет свободной.

При выполнении же обоих указанных условий ось вращения раст сматриваемой системы будет оставаться неподвижной, не испыты­ вая действия ни результирующей силы, ни ее момента относитель­ но центра масс системы. А в таком случае нет никакой необходи­ мости в наличии верхнего подшипника, силы реакции которого должны были бы компенсировать действие на ось несуществующих остальных сил. Ось вращения в'данном случае будет свободной осью.

Теория показывает, что у любого твердого тела имеются три взаимные перпендикулярные свободные оси вращения, пересека­ ющиеся в центре масс тела. Положение свободных осей для одно­ родных симметричных тел совпадает с положением их геометриче­ ских осей симметрии. Так, свободными осями прямоугольного па­ раллелепипеда являются три взаимно перпендикулярные оси, про­ веденные через центры его противоположных граней; свободными осями цилиндра являются его геометрическая ось и две взаимно перпендикулярные оси, проведенные через его центр масс в плос­ кости, перпендикулярной к геометрической оси цилиндра; свобод­ ные оси шара — это любые три его взаимно перпендикулярных диа­ метра.

Если твердое тело вращается вокруг одной из своих свободных осей и при этом отсутствует момент внешних сил, который мог бы повернуть эту ось, то ее ориентировка в пространстве не будет изме­ няться с течением времени. Но, как и всякое движение, вращение твердого тела вокруг той или иной свободной Оси неизбежно нару­ шается случайными воздействиями. Устойчивым оно будет тогда, когда при случайных небольших отклонениях оси от данного поло­ жения на нее со стороны вращающегося тела начинают действовать силы, возвращающие ее в прежнее положение. Опыт и теория по­ казывают, что наиболее устойчивым является вращение тела во­ круг той свободной оси, относительно которой момент инерции тела максимален.

Свойство свободных осей сохранять свою ориентировку в про­ странстве при указанных условиях широко применяется в технике. В частях машин, вращающихся с большой угловой скоростью, оси вращения выбирают такими, чтобы их положение совпадало с по­ ложением свободных осей вращения. Тогда на них практически не будут действовать ни центробежные силы, ни их моменты. Сами же вращающиеся части машин изготавливают в виде тел вращения, тогда их геометрическая ось совпадает со свободной.

§ 15. Гироскопы

Гироскоп представляет собой однородное массивное тело вра­ щения, совершающее быстрое вращательное движение около своей оси симметрии, являющейся свободной осью. Так, гироскопами яв­ ляются маховые колеса, шкивы различных машин, колесо в опыте со скамьей Жуковского, волчок и т. д.

Часто в практике применяется свободный уравновешенный ги­ роскоп, ось вращения которого, проходя через закрепленный непо­ движно его центр масс, может принимать любое направление в пространстве.

а,

Рис. 93 Рис. 94

Одной из разновидностей свободного уравновешенного гироско­ па является гироскоп на кардановом подвесе (рис. 93). Ось враще­ ния его колеса Ох02 может вращаться вокруг перпендикулярной к ней горизонтальной оси й\а2, которая в свою очередь может пово­ рачиваться вокруг вертикальной оси Ь\Ъ2. Так обеспечивается воз­ можность поворота оси колеса гироскопа в любом направлении. При этом все три оси карданова подвеса пересекаются в одной точке С,

на втором конце оси (рис. 94). И здесь ось гироскопа может пово­ рачиваться в любом направлении, а центр масс всей данной систе­ мы будет находиться в точке закрепления оси независимо от ее на­ правления в пространстве.

Одной из характерных особенностей гироскопа является устой­ чивость направления в пространстве его оси вращения. Для свобод­ ного уравновешенного гироскопа момент действующей на него силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю, так как сила эта приложена к центру масс. Поэтому сила тяжести не может изменить ориентировки оси вращения гироскопа, как и лю­ бые другие внешние силы, если их момент относительно центра масс гироскопа равен нулю.

Так, если противовес вращающегося свободного уравновешенного гироскопа передвинуть ближе к точке его закрепления С (рис. 96),

С" переместится из положения С на расстояние г к колесу гироско­ па. В результате вектор изменения момента количества движения гироскопа относительно точки С dN = Mdt также окажется отлич­ ным от нуля и будет находиться в горизонтальной плоскости, пер­ пендикулярной направлению действия силы тяжести. Поэтому ось

Определим угловую скорость прецессии гироскопа Q (рис. 96).

гироскопа N относительно его точки закрепления.

Несколько иначе будет прецессировать ось вращающегося волч­ ка под действием момента силы тяжести, неизменного по величине, но направленного в горизонтальной плоскости и непрерывно повора­ чивающегося в ней. Если ось волчка строго вертикальна, то при его

будут равны нулю. Если же ось волчка отклонить от вертикали на угол а, то она будет описывать конус около вертикали, проходящей через точку опоры, оставаясь отклоненной от нее на угол а (рис.97).

Пусть О — неизменная точка опоры волчка, ось которого откло­ нена от вертикали на угол а, С — его центр масс, г —ОС — рассто­ яние от точки опоры О до центра масс С. Волчок вращается по ча-

совой стрелке, если смотреть из точки опоры О, так что его момент количества движения относительно точки О будет направлен вдоль оси вращения вверх. Момент силы тяжести М, приложенной к цент­

мента количества движения волчка dN также будет направлен за чертеж. В результате за отрезок времени dt плоскость, проходящая через ось волчка и вертикаль в точке опоры, повернется на угол dcp, т. е. начнет прецессировать.

Угловая скорость прецессии в данном случае будет тем боль­ шей, чем больше расстояние г от центра масс волчка до точки опо­

этом и вращение волчка около своей оси, и прецессионное движение самой оси совершаются в одинаковом направлении (по часовой стрелке, если смотреть из точки опоры).

В обоих рассмотренных случаях угловая скорость прецессии ги­ роскопа пропорциональна моменту М внешней силы, которая ее вызывает. В частности, если момент внешней силы М равен нулю,