книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

дет изменяться с течением времени с циклической частотой со2—СОь

Рис. 147

периодичностью в пределах от суммы до разности амплитуд сла­

тать, что и второе из слагаемых колебаний совершается с той же

Следовательно, результирующее движение тела можно считать про­

т. е. также представляющим собой колебательный процесс часто­ ты соь Но этот процесс уже не будет относиться к классу гармониче­ ских колебаний. Во-первых, в его выражении член ty(t), играющий роль начальной фазы колебаний, не остается постоянным, что ха­ рактерно для гармонических колебаний, а непрерывно изменяется с течением времени. Во-вторых, амплитуда этого процесса, определя­

функциями времени с периодом 7, = 2я/со, то тело с течением времени будет обращаться по данной эллиптической траектории (в рас­ сматриваемом случае — по часовой стрелке) с частотой со, равной частоте слагаемых колебаний. При разности фаз слагаемых коле­ баний ф2—фі = 3/2я траекторией тела будет тот же эллипс, что и в рассмотренном случае. Но тело будет обращаться по этому эллип­ су против часовой стрелки.

При всяких иных величинах сдвига фаз фг—фі траекторией те­ ла также будут эллипсы, но их оси окажутся не параллельными осям координат X и Y, а расположатся под некоторыми углами к ним, величина которых определится разностью фаз фг—Фь Это очевидно, так как координаты тела х и у при этом принимают мак­ симальные значения неодновременно.

Если частоты слагаемых колебаний различны, то результирую­ щее движение тела в общем случае окажется довольно сложным и, в частности, непериодическим, так что любые участки его траекто­ рий по мере движения не будут накладываться друг на друга.

Но если частоты слагаемых колебаний со^ и <% относятся друг К другу как целые числа, то результирующее движение тела перио­ дически повторяется через равные отрезки времени, содержащие по

целочисленному, хотя и неодинаковому количеству периодов как одного, так и другого из слагаемых колебаний. Так, если сож/соу = •=т]п, где тип — целые числа, то существует такой отрезок вре­ мени т, в течение которого вдоль оси X будет совершено т полных колебаний, а вдоль оси Y—п полных колебаний, так что движуще­ еся тело к концу этого отрезка времени опять придет в исходное положение, после чего его движение повторяется. Такие неизменные

Рис. 149

во времени траектории движения тела, образующиеся при целочис­ ленных отношениях частот ах и со,, слагаемых взаимно перпендику­ лярных колебаний, называют фигурами Лиссажу. На рис. 149 при­ ведены фигуры Лиссажу, получающиеся при (оу = 2(ох, и>х = 3щ и 2а)х — 2(Оу.

§ 12. О разложении сложных периодических процессов

на гармонические составляющие

При сложении нескольких колебаний с кратными частотами ре­ зультирующее движение тела окажется периодическим, причем его период Т должен быть равен периоду наиболее медленного из сла­ гаемых колебаний. Действительно, за указанный отрезок времени Т каждое из слагаемых колебаний совершится точно по целочис­ ленному количеству раз, так что тело, одновременно участвуя во всех этих колебаниях, снова придет в исходное состояние и начнет совершать последующий повторяющийся цикл движения. Так, на рис. 150 жирной линией показано результирующее смещение тела х как функция времени t, когда это тело одновременно участвует в двух колебательных движениях одинакового направления с часто­ тами со и о>1=2со и амплитудами а и а\ = а/2 при одинаковых началь­ ных фазах. Оба слагаемых колебания изображены тонкими линия­ ми. Из рисунка видно, что результирующее движение тела перио­ дично с периодом Г=2л/(о, равным периоду более медленного из слагаемых колебании, но оно уже оказывается более сложным, чем гармонические колебания.

В связи с этим возникает вопрос о возможности представления некоторого негармонического периодического процесса движения в

виде суммы нескольких гармонических составляющих. Действитель­ но, любое периодическое движение тела, удовлетворяющее условию x(t) —x(t + T) (здесь х — смещение тела из положения равновесия, Т—-период повторяемости рассматриваемого движения), может быть разложено на сумму гармонических составляющих, частоты которых кратны частоте рассматриваемого движения. Доказатель­ ство этого положения дается так называемой теоремой Фурье, изла­

гаемой в курсах высшей математики. Разложение того или иного периодического процесса на гармонические составляющие таково:

оосо

ляются характером рассматриваемого процесса и условиями, при которых он совершается. Иными словами, любой периодический процесс с периодом Г = 2я/со может быть представлен в виде беско­ нечного ряда гармонических составляющих, частоты которых крат­ ны основной частоте со, с которой совершается данный процесс.

Во многих конкретных случаях в разложении того или иного пе­ риодического процесса на гармонические составляющие достаточно учитывать лишь конечное и притом небольшое количество слагае­ мых, так как в этих случаях многие из коэффициентов ап и Ьп обра­ щаются в нуль. Кроме того, обычно амплитуды ап и Ьп гармониче­ ских составляющих многих периодических процессов с возрастанием их частоты ясо уменьшаются и при достаточно больших частотах оказываются пренебрежимо малыми.

Так, например, периодический процесс, изображенный жирной линией на рис. 150, разлагается на сумму, состоящую только из двух гармонических слагающих.

Наконец, равномерное вращение тела по окружности радиуса а с угловой скоростью со, как уже известно, может быть представ­ лено в виде суммы двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты со с одинаковыми амплитудами, рав­ ными а, и с разностью фаз я/2.

Подобным же образом представляется и периодическое движе­ ние тела по эллипсу.

§ 13. Понятие об автоколебаниях

Часто для определенных практических нужд необходимо использовать длительный, строго периодический процесс колеба­ тельного движения, совершающийся с неизменной амплитудой (на­ пример, в механизме часов). Свободные колебания для таких це­ лей непригодны, поскольку их амплитуда с течением времени уменьшается вследствие неизбежных потерь энергии колеблющегося тела на преодоление сил трения. Вынужденные же колебания, хо­ тя и являются незатухающими, могут существовать лишь при не­ прерывном действии на колеблющееся тело внешней периодиче­ ской вынуждающей силы. Но наличие такой периодической силы •обычно обусловливаетсяуже заранее существующим движением такой же периодичности.

Однако свободные колебания оказались бы незатухающими, если бы потери энергии колебательного движения на преодоление сил трения за время, равное периоду колебаний, полностью вос­ полнялись в течение этого же отрезка времени за счет какого-либо внешнего статического источника энергии, автоматически пере­ даваясь от него колеблющемуся телу в необходимых количествах. Подобные устройства, предназначенные для возбуждения и дли­ тельного поддержания незатухающих колебаний, осуществимы на практике.

Колебательные системы, в которых поддерживаются незатуха­ ющие колебания за счет энергии, периодически передаваемой ко­ леблющемуся телу от внешнего непериодического источника в коли­ чествах, необходимых для полной компенсации ее затрат на пре­ одоление трения, когда процесс передачи энергии автоматически регулируется самим колебательным процессом, называют автоко­ лебательными системами, а колебания в них — автоколебаниями. Всякая автоколебательная система состоит из тела (или системы тел), способного совершать колебательное движение, стационарно­ го источника энергии, определенным образом связанного с этим телом, и связывающего их устройства, при помощи которого авто­ матически регулируется процесс периодического поступления энергии от источника к колеблющемуся телу.

В ходе автоколебаний колеблющееся тело периодически воздей­ ствует на регулирующее устройство таким образом, что это устрой­ ство, совершив определенное перемещение, обеспечивает в течение некоторого отрезка времени передачу энергии колеблющемуся телу от ее источника. В течение последующего отрезка времени энергия к колеблющемуся телу не поступает до очередного аналогичного воздействия его на это устройство. В результате колеблющееся те­ ло периодически получает от источника энергию, компенсирующую ее расход на преодоление трения и достаточную для поддержания незатухающих колебаний тела. Например, в часах колеблющийся маятник, проходя через определенное положение, приводит связан­ ный с ним храповой механизм в состояние, обеспечивающее пере­ дачу маятнику в течение некоторого отрезка времени определенно-

го количества энергии от запаса, содержащегося в заведенной пружине.

Таким образом, во всех автоколебательных системах должна существовать так называемая обратная связь между колеблю­ щимся телом и источником энергии, осуществляемая через регу­ лирующее устройство и обеспечивающая существование в системе незатухающих колебаний. При ее наличии колеблющееся тело пе­ риодически воздействует на источник энергии, со стороны которого испытывает обратное воздействие, поддерживающее автоколебания.

Когда энергия, передаваемая от ее источника колеблющемуся телу за период колебаний, окажется равной энергии, теряемой телом за это же время на преодоление сил трения, в системе уста­ новится незатухающий колебательный процесс с неизменной ампли­ тудой. Но величина энергии, поступающей за определенный отре­ зок времени в колебательную систему от источника, а также энер­ гия, теряемая системой за это же время, определяются только устройством самой колебательной системы. Отсюда следует, что амплитуда автоколебаний полностью определяется устройством автоколебательной системы и не зависит от начальных условий для колеблющегося тела. Этим автоколебания также существенно отли­ чаются от свободных колебаний, так как амплитуда и начальная фаза последних определяются лишь начальными условиями.

ГЛАВА XII

ВОЛНЫ

§ 1. Возникновение волнового движения

Колебания, возникшие в какой-либо точке материальной среды (твердой, жидкой или газообразной), не остаются локализованными в месте возбуждения, а распространяются в ней с конечной скоро­ стью, зависящей от ее упругих и инерционных свойств, передаваясь от одной точки к другой.

Материальные частицы среды связаны друг с другом силами взаимодействия, зависящими от расстояния между ними и по харак­ теру своего действия подобными упругим силам. В равновесном со­ стоянии среды силы взаимодействия, прилагаемые к каждой части­ це со стороны соседних частиц, уравновешивают друг друга. Но ес­ ли какая-либо частица будет выведена из положения равновесия, то прилагаемая к ней результирующая сила взаимодействия окажется отличной от нуля и будет стремиться возвратить ее в положение рав­ новесия. В свою очередь данная частица, согласно третьему закону Ньютона, будет действовать на соседние частицы и увлекать их в движение вслед за собой и т. д. В результате в среде будет рас­ пространяться импульс смещения из положения равновесия.

В частности, пусть какая-либо частица среды приводится в со­ стояние синусоидального колебательного движения и при этом ее

смещение из положения равновесия и силы ее взаимодействия с дру­ гими частицами подчиняются закону Гука. Тогда силы междуча­ стичного взаимодействия с течением времени будут изменяться по синусоидальному закону с такой же периодичностью, как и возник­ шие колебания. Испытывая действие этих сил, соседние частицы то­ же придут в состояние колебательного движения той же периодично­

ее частиц, распространяющийся с определенной скоростью. Напри­ мер, волна образуется в резиновом шнуре, один конец которого за­ креплен, а второй колеблется в направлении, перпендикулярном к его длине, (рис. 151). На рисунке линия / соответствует начальному

ускорение до. Линии 2 соответствует момент времени t=T/4. К этому моменту частица 1 достигает максимального отклонения от равнове­ сия, 2 проходит несколько меньшее расстояние, 3 — еще меньшее, а 4 только начинает двигаться из положения равновесия. Моменту времени t = T/2 соответствует линия 3. К этому моменту частица 1 после отклонения возвращается в положение равновесия и продол­ жает движение в направлении, противоположном первоначальному, 4 достигает максимальногр отклонения, а 7 еще только приобретает начальное ускорение до. К моменту времени г = 3774 (кривая 4) ча­ стица 1 достигает максимального отклонения в направлении, проти­ воположном первоначальному отклонению, 4 возвращается в поло­ жение равновесия, 7 достигает первого максимального отклонения,

положение равновесия и начинает второй повторяющийся цикл сво­ его движения, а колебательное движение еще только начинает со­ вершать частица 13 и т. д. Таким образом, процесс движения частиц будет повторяться с периодом Т и перемещаться по мере течения

времени вдоль шнура к его закрепленному концу, причем фазы ко­ лебаний различных его частиц различны в какой бы то ни было мо­ мент времени.

Подобным же образом в воздухе распространяется волна, воз­ буждаемая механическими колебаниями тонкой металлической пла­ стинки, в направлении, перпендикулярном ее поверхности. В дан­ ном случае волна представляет собой периодически чередующиеся сгущения и разрежения частиц воздуха, перемещающиеся во време­ ни с определенной скоростью.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а лишь совершают колебания около своих положений рав­ новесия. Вместе с волной со скоростью ее распространения передает­ ся от частицы к частице лишь состояние колебательного движения и его энергия.

Волна будет поперечной, если в ней направления колебаний час­ тиц среды перпендикулярны направлению ее распространения. По­ перечные волны могут распространяться лишь в средах, обладаю­ щих упругостью по отношению к деформациям сдвига, в которых возникают упругие силы, препятствующие сдвигу. Отсюда попереч­ ные волны могут распространяться лишь в твердых телах, посколь­ ку только они обладают упругостью по отношению к сдвигу. При­ веденный пример возникновения волны в резиновом шнуре является примером поперечной волны.

В продольных волнах направление колебаний частиц среды сов­ падает с направлением распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, обладающих упругостью по отно­ шению к деформациям сжатия (или растяжения). Поскольку упру­ гостью по отношению к деформациям сжатия обладают и твердые, и жидкие, и газообразные среды, то продольные волны могут суще­ ствовать во всех этих средах. Значит, внутри объема жидкости или газа могут распространяться только продольные волны, внутри же твердых тел •— как продольные, так и поперечные. Волны, возникаю­ щие на поверхности жидкости, внешне похожи на поперечные. Но на самом деле при наличии таких волн частицы жидкости совершают движения по эллиптическим траекториям.

§ 2. Уравнение волны

Рассмотрим волновой процесс с количественной стороны и полу­ чим его аналитическую характеристику, называемую -уравнением волны. Волновой процесс будет известен, если для любого момента времени известны величины отклонений х от положения равнове­ сия всех частиц среды, расположенных на различных расстояниях у от источника волны, которым является какое-нибудь колеблющееся тело или частица. Иными словами, для полной характеристики вол­ нового процесса необходимо знать величину смещения х любой ча­ стицы среды как функцию двух переменных: времени t и расстояния у от источника волны.