книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

Следовательно, кинетическая и потенциальная энергия колеблюще­ гося тела изменяются с течением времени периодически, по закону косинуса с частотой, в два раза большей частоты самих колебаний. При этом разность фаз колебаний кинетической и потенциальной энер­ гии равна л/2. Это значит, что потенциальная энергия тела достигает

максимальной величины, равной £ п ю а х = — - — , при максимальном от­ клонении тела от равновесия (т. е. при sin2 ©^ = 1), когда его скорость и кинетическая энергия равны нулю. При прохождении же тела через положение равновесия (т. е. при sin©/ = 0) его потенциальная энер­ гия обращается в нуль, но скорость и кинетическая энергия достига­ ют максимальных значений, соответственно равных t> m a x =a© £ктах =

та2а>2

2 Полная механическая энергия колеблющегося тела равна

Таким образом, полная механическая энергия незатухающих свободных колебаний не изменяется с течением времени и равна ее запасу, сообщенному телу в начальный момент времени, при вы­ ведении его из положения равновесия. В процессе колебаний про­ исходит только превращение видов энергии из кинетической в по­ тенциальную и обратно с частотой, вдвое большей частоты коле­ баний. Величина полной механической энергии гармонических колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды и квадрату частоты.

В случае свободных затухающих колебаний их энергия, как и амплитуда, с течением времени непрерывно уменьшается, расходу­ ясь на преодоление сил трения. При этом чем больше коэффициент сопротивления Ь, тем быстрее уменьшается энергия колебаний.

§ 8. Вынужденные колебания

Тело будет совершать так называемые вынужденные колебания, когда на него, кроме упругой (или квазиупругой) силы и силы трения, действует еще одна внешняя сила, являющаяся периоди-

ческой функцией времени и называемая вынуждающей силой. Так, колебания станин различных машин, вызываемые движениями поршней, эксцентрическим вращением маховых колес, движения звеньев шатунно-кривошипных механизмов, колебания мембраны звучащего телефона и множество других движений относятся к вы­ нужденным колебаниям. Внешняя вынуждающая сила, действуя на колеблющееся тело, периодически сообщает ему энергию, необхо­ димую для преодоления сил сопротивления и для раскачивания са­ мой колебательной системы, т. е. достаточную для поддержания в системе незатухающего колебательного процесса.

Получим вначале дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. На колеблющееся тело массы т действуют: упругая

являющееся дифференциальным уравнением вынужденных колеба­ ний относительно координаты колеблющегося тела х как функции времени. Данное уравнение отличается от уравнения свободных колебаний тем, что правая его часть не равна нулю, а представляет собой вынуждающую силу, отнесенную к массе тела.

Одно из возможных решений уравнения вынужденных колеба­ ний, очевидно, целесообразно искать в виде

т. е. в виде синусоидальной функции времени с периодичностью, равной периодичности вынуждающей силы, не сдвинутой по фазе относительно силы на некоторую величину ср. Действительно, в ре­ зультате действия на тело m упругой силы f и силы трения ср после выведения его из положения равновесия должны возникнуть сво-

бодные колебания. Но после того как они практически полностью затухнут, движение тела т должно определяться действием вынуж­ дающей силы F и, что естественно предположить, оно должно иметь ту же периодичность, что и периодичность вынуждающей си­ лы. Но если выражение (11.43) для координаты х тела является решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний,

выражающим синус и косинус суммы:

— aco2 (sin со/ cos ф - f cos со/ sin ф) + 2aaco (cos со/ cos ф — sin со/ sin ф ) +

+ acoo (sin со/ cos ф + cos со/ sin ф) — d sin со/ — 0.

Собрав все члены, содержащие sin со/, в одну группу, а члены, со­ держащие cos со/, — в другую, данное тождество можно представить в виде

sin со/ [а («о — со2) cos ф — 2ааа> sin ф — d] +

+ cos со/ [а («о — ю2) sin ф -+- 2сшсо cos ф] = 0.

Но так как последнее равенство должно выполняться тожде­ ственно, т. е. при любых значениях времени /, и так как sin со/ и cos со/ при каких бы то ни было значениях / не могут быть одновре­ менно равными нулю, то отсюда следует, что должны быть равными нулю коэффициенты при sin со/ и cos со/, т. е.

а (а>о — со2) cos ф — 2aaco sin ф = d;

Равенства (11.44) представляют систему уравнений для нахожде­ ния неизвестных величин а и ф. Так, из второго равенства этой сис­ темы имеем

откуда определяется начальная фаза ф вынужденных колебаний. Возведя же оба равенства в квадрат и.сложив их, получим а2 (со| —

—co2 )2 + 4a2a2co2 = d2 , откуда искомая амплитуда вынужденных ко­ лебаний окажется равной

d

Полученное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний является лишь частным решением. Но, как известно из те­ ории дифференциальных уравнений, общее решение данного уравнения может быть представлено в виде суммы этого его частного решения и

Первое слагаемое правой части выражения (11.47), представ­ ляющее собой свободные затухающие колебания, по истечении не­ которого отрезка времени окажется пренебрежительно малой вели­ чиной, так что после этого координату тела можно считать равной

Иными словами, установившиеся вынужденные колебания являются синусоидальными с неизменной амплитудой и частотой, равной частоте вынуждающей силы. Но фаза вынужденных коле­ баний в общем случае отлична от фазы вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний а пропорциональна ампли­ туде d вынуждающей силы. Далее, с возрастанием величины а, т. е. с увеличением силы трения, если величины со, соои d остаются неиз­ менными, амплитуда вынужденных колебаний будет уменьшаться. Кроме этого, амплитуда колебаний зависит и от частоты вынужда­ ющей силы.

Заметим, что выражения 12.45 и 12.46 характеризуют процесс вынужденных колебаний в установившемся режиме. Значит, их можно применять для описания вынужденных колебаний только после того, как процесс их установления завершен.

§ 9. Резонанс

Рассмотрим, как изменяется амплитуда а и начальная фаза ф вынужденных колебаний с изменением частоты со вынуждающей силы.

Если изменяется только частота со вынуждающей силы, но ее ам­ плитуда d, а также показатель затуханий а и собственная частота ко­ лебательной системы со0 остаются неизменными, то амплитуда вынуж­

вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний достигает мак­ симальной величины и какова эта максимальная ее величина.

Из выражения амплитуды вынужденных колебаний следует, что она будет максимальной при условии, если знаменатель этого выра­ жения j/"(coo — w2 )2 + 4а2 со2 принимает минимальное значение. А при этом производная от подкоренного выражения по частоте со должна обращаться в нуль

стота вынуждающей силы, при которой достигается максимальная амплитуда колебаний, равна:

Соответствующая же этой частоте максимальная амплитуда вынужденных колебаний будет найдена, если в ее выражение под­ ставить значение частоты сор:

Явление, когда при определенной частоте вынуждающей силы амплитуда,вынужденных колебаний достигает максимальной вели­ чины, называется резонансом. Величина частоты сор, при которой достигается резонанс, называется резонансной частотой, а соответ­ ствующая ей амплитуда колебаний а р — резонансной амплитудой.

Резонансная частота сор = j^coo —2а2 в случае отсутствия сил тре­ ния (а = 0) равна собственной частоте колебаний сор = со0 = г k/m, которые совершались бы телом в отсутствие как вынуждающей силы,

ние отсутствует (а = 0), обращается в бесконечность. Однако в реаль­ ных условиях резонансная амплитуда колебаний не может стать бе­ сконечно большой. Дело в том, что при раскачивании вынужденных колебаний вместе с их амплитудой увеличивается и скорость колеба­ тельного движения. А с увеличением скорости возрастает и сила со­ противления, пропорциональная скорости. Таким образом, при доста­ точно большой амплитуде колебаний действием этой силы уже пренеб­ регать нельзя. С возрастанием показателя затухания а резонансная амплитуда и амплитуда колебаний при других частотах вынуждающей силы уменьшаются.

По мере возрастания или убывания частоты вынуждающей си­ лы по отношению к резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний при неизменной амплитуде вынуждающей силы будет

уменьшаться. В частности, при возрастании частоты вынуждающей силы до бесконечности амплитуда колебаний будет уменьшаться до нуля. Если же частота вынуждающей силы будет уменьшаться

Графически зависимость сдвига фаз ср между вынуждающей си­ лой и вынужденными колебаниями от частоты со вынуждающей си­ лы показана на рис. 144.

Чтобы определить сдвиг фаз ср при резонансе, следует в выраже­ ние для tgcp подставить резонансную частоту сор =J/^coo—2а2 . В ре­ зультате

27 u)t

Следует выяснить, почему при резонансе амплитуда вынужден­ ных колебаний оказывается максимальной по величине.

Так, если сила трения и показатель затухания а достаточно ма­ лы, то при резонансе сдвиг фаз между вынуждающей силой и вы­ нужденными колебаниями близок к —л/2. Поэтому если вынужда­

гося тела при этом изображается косинусоидой —a cos со/. В течение

этом и направление движения тела изменится на противоположное, так что и в течение второго полупериода оба направления будут

совпадать. Значит, при резонансе вынуждающая сила в течение всего периода колебаний непрерывно совершает положительную работу, увеличивая энергию колебательного движения тела. А по­ скольку энергия колебаний пропорциональна квадрату их ампли­ туды, то при резонансе амплитуда колебаний и оказывается мак­ симальной.

Существенно иначе происходит процесс передачи энергии ко­ леблющемуся телу вдали от резонанса, когда частота вынуждаю­ щей силы значительно отличается от резонансной частоты. В дан­

тельную работу, сообщая энергию колеблюще­ муся телу, так как только в эти части периода направления силы и

направление действия вынуждающей силы противоположно направ­ лению движения тела, так что работа этой силы здесь отрицатель­ на, т. е. сила препятствует движению тела и на ее преодоление дви­ жущееся тело расходует запас своей энергии. Следовательно, в це­ лом за период вынуждающая сила сообщает телу гораздо меньшую энергию, чем при резонансе. Соответственно, меньшая поэтому и

временно колебаться и в вертикальном направлении. Поршень установленного на корабле насоса, откачивающего воду из трюма, совершая колебания в вертикальном направлении, при наличии килевой качки корабля будет одновременно участвовать и в ко­ лебательном движении, вызванном качкой, совершающемся также в вертикальном направлении.

Каждое из нескольких одновременных колебаний совершается телом независимо от других движений. Поэтому результирующее, перемещение тела будет представлять собой геометрическую сумму всех отдельных его перемещений за рассматриваемый отрезок вре-

мени. Иными словами, в таких случаях происходит простое нало­ жение независимых составляющих колебаний тела друг на друга или, как говорят, суперпозиция колебаний.

Если тело одновременно участвует в двух колебательных движе­ ниях, совершающихся вдоль одной и той же прямой, то его резуль­ тирующее движение будет происходить вдоль этой же прямой. Определим характер результирующего движения тела в случае, когда оба слагаемых колебания совершаются вдоль, направления оси X и описываются законами:

Результирующее смещение тела х будет равно алгебраической сум­

•С другой стороны, координата х, характеризующая результиру­ ющее движение тела, должна быть периодической функцией вре­ мени с тем же периодом Т=2л/(х>, что и период слагаемых колеба­ ний. Действительно, поскольку значения величин Х\ и х2 должны периодически повторяться через отрезок времени Т, то и их сумма должна иметь ту же периодичность повторения своих значений. Поэтому естественно, что результирующее движение тела должно описываться законом вида

т. е. представляет собой гармонические колебания той же частоты со, что и частота слагаемых колебаний, совершаемые с некоторой амплитудой а и начальной фазой ф, которые пока не определены.

Чтобы определить амплитуду а и начальную фазу ф результи­ рующего колебательного движения, сравним правые части выра­ жений (11.54) и (11.55):

(аг cos ф1 -j- а2 cos ф2) sin со/ + (ах sin фг -j- а 2 sin ф2) cos со/ =

=a cos ф sin со/ + a sin ф cos со/.

Это равенство удовлетворится только при условии, что коэффици­ енты, стоящие при sin со/ и cos со/ в его левой и правой частях, должны быть соответственно равными друг другу:

a sirup = a^sin фх + a2 sin ф2 ; a cos ф = ax cos фх + а 2 cos ф2 .

Разделив первое из этих равенств на второе, получим

откуда и определяется начальная фаза результирующего колеба­

Итак, сумма двух гармонических колебаний одинакового на­ правления и одинаковой частоты является также гармоническим, колебанием той же частоты и того же направления. Но амплитуда суммарного колебания, вообще говоря, не равна арифметической сумме амплитуд слагаемых колебаний. Величина результирующей амплитуды зависит от разности фаз слагаемых колебаний, в дан­ ном случае равной (со/-Ьф2) — (со/-г-фі) =фг—Фь В зависимости от сдвига фаз ф2 —фі слагаемых колебаний результирующая ампли­ туда а может иметь любое из значений, заключенных в пределах « і — a 2 < a < a i + a2.

В частности, если оба слагаемых колебания совершаются в одина­

причем (fli^co2 . Определим характер результирующего движения тела при условии, что разность частот со2—сої весьма мала ПО' сравнению с величиной каждой из них.