книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

нейшем возрастании угла а она уменьшается. Это вызывается воз­ никновением завихрений около верхней поверхности крыла при больших углах атаки. Сила лобового сопротивления с возрастани­ ем угла атаки монотонно возрастает, так как при этом увеличива­ ется площадь сечения крыла, перпендикулярного потоку воздуха. Обычно размеры, форма крыла и угол атаки подбираются так, чтобы отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления было максимальным.

Если подъемная сила Р равна весу самолета mg, самолет ле­ тит горизонтально. При P>mg самолет поднимается вверх, в про­ тивном случае опускается вниз. А для того чтобы самолет двигался вперед равномерно или с ускорением, сила тяги соответственно дол­

с конечной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды.

Когда твердое тело движется в воздухе со скоростью, меньшей

большой скорости тела дополнительное давление воздуха, возни­ кающее вследствие его сжатия телом, будет малым по сравнению с атмосферным давлением. Поэтому скорость распространения воз­ буждаемой волны будет практически равна скорости звука при атмосферном давлении, т. е. больше скорости тела. Волна давле­ ния, распространяясь со скоростью, превышающей скорость тела, опережает его и с течением времени ее передний фронт удаляется от тела по всем направлениям, охватывая все большую область пространства. На рис. 135 показаны положения передних фронтов волны А, В я С в момент времени, когда движущееся тело, возбу­

Совсем иной характер распространения будет присущ волне, возбуждаемой в воздухе телом, движущимся со сверхзвуковой скоростью.

Пусть твердое тело достаточно малых размеров движется в воздухе со скоростью v, превышающей скорость звука с. Сталки­ ваясь с частицами воздуха, находившимися в равновесии, движу­ щееся тело будет приводить их в движение. В результате вблизи тела возникают импульсы сжатия и, следовательно, давления, распространяющиеся от тела по всем направлениям со скоростью

поверхности с передним фронтом той или иной элементарной волны получим

с(t — L) c(t—t*) с . ,

——— = — — =-*— = sin а = const.

v(t — v{t —12 ) v

Это значит, что огибающая поверхность в любой ее точке состав­ ляет один и тот же угол а с направлением скорости v и, следова­

буждаемой телом, движущимся со сверхзвуковой скоростью, пред­ ставляет собой конус, вершина которого в любой момент времени

кинетическую энергию частиц воздуха, сообщаемую им импульса­ ми давления со стороны движущегося тела. Чем больше скорость тела, возбуждающего волну давления, тем большей будет и энер­ гия, переносимая волной. Следовательно, при образовании волн давления на их создание затрачивается часть кинетической энер­ гии тела, которая переходит в энергию волны. При этом кинетиче­ ская энергия, а значит, и скорость движущегося тела соответст­ венно уменьшаются. По мере распространения волны, несущей определенную энергию и охватывающей все возрастающий объем среды, доля энергии, приходящаяся на единицу объема, уменьша­ ется. Кроме того, часть энергии волны расходуется на преодоле­ ние сил вязкости. В результате волны давления по мере их удале­ ния от источника затухают.

Если скорость тела невелика по сравнению со скоростью зву­ ка, то возбуждаемые им импульсы сжатия воздуха и, следователь­ но, энергия, сообщаемая его частицам, также окажутся малыми. В этом случае воздействия волны на встречные тела будут незна­ чительными и притом тем менее ощутимыми, чем дальше от источ­ ника находится передний фронт волны.

Если же скорость тела превышает скорость звука в среде, где оно движется, то импульсы давления, действующие с его стороны на частицы среды, и передаваемая им кинетическая энергия будут большими по величине. На границе соприкосновения переднего фронта волны с невозмущенной средой давление резко и сильно изменяется. Поэтому взаимодействие фронта волны с невозму­ щенными частицами среды будет носить характер удара. В связи с этим такая волна давления получила название ударной." Удар­ ные волны с большим перепадом давления у их переднего фронта всегда сопровождают движение тел со сверхзвуковой скоростью.

Так, когда мимо наблюдателя на сравнительно небольшом от

наблюдателя, вызывает у него ощущение сильного резкого звука, подобного взрыву. Естественно, что летчик, двигаясь на самолете вместе с волной, никакого «взрыва» не слышит. Ударная волна, возбуждаемая быстролетящим артиллерийским снарядом, может даже контузить человека, стоящего вблизи траектории снаряда.

Г Л А В А XI

КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Колебательное движение

Движения, называемые колебаниями, весьма распространены

ииграют большую роль во многих явлениях природы, а также в технике. Так, например, колебательное движение совершает маят­ ник стенных часов, тело, подвешенное на упругой пружине и вы­ веденное из положения равновесия, любое звучащее тело, поршни различных машин и т. д. Тепловое движение атомов или ионов около узлов кристаллических решеток твердых тел также относит­ ся к типу колебательных движений. Множество электромагнитных

иоптических явлений неразрывно связано с колебательными дви­ жениями элементарных частиц.

Характерной особенностью всех колебательных движений является их периодичность, т. е. регулярная повторяемость через определенные равные отрезки времени Т. Этот отрезок времени

Тмежду двумя последовательными одинаковыми состояниями

будут равны друг другу по величине и направлению. Это значит,

тельное движение тела. При равномерном вращении тела с угло­ вой скоростью о> вокруг неподвижной оси его координаты скорость и ускорение также будут периодическими функциями времени с периодом, равным периоду вращения тела Г=2я/со. Колебатель­ ное движение отличается от вращательного тем, что одна и та же траектория проходится колеблющимся телом поочередно в проти­ воположных направлениях, тогда как при вращении тело движет-

ся по неизменной круговой траектории все время в одну и ту же сторону.

К колебательным относятся и такие движения, которые не являются строго периодическими в указанном выше смысле, но для которых характерно то, что движущееся тело проходит через положение равновесия поочередно в противоположных направле­ ниях через равные отрезки времени и через такие же отрезки вре­ мени достигает максимального отклонения от равновесия в том или ином направлении. Например, колебательным будет движение маятника в сопротивляющейся среде. В данном случае действие сил сопротивления среды приводит к уменьшению максимальных отклонений маятника от равновесия с течением времени. Тем не менее маятник в процессе движения будет попеременно и притом периодически отклоняться от положения равновесия в противопо­ ложные стороны.

Для возникновения колебаний необходимо выполнение двух условий: во-первых, при отклонении тела от равновесия должна возникать достаточно большая сила, направленная в сторону по­ ложения равновесия и по величине пропорциональная отклонению от равновесия, и, во-вторых, масса тела должна быть достаточно велика.

Колебательное движение тела считается известным, если известны его координаты как функции времени. Таким образом, основная задача изучения колебательного движения сводится к установлению зависимости координат колеблющего тела от вре­ мени.

§ 2. Свободные колебания без трения

Пусть тело выводится из положения равновесия путем сообще­ ния ему начального отклонения или начальной скорости (при по­ мощи толчка), а затем предоставляется самому себе. Если после отклонения тела от равновесия на него будет действовать только сила, пропорциональная величине данного отклонения и направ­ ленная к положению равновесия, и никакие другие силы не дейст­ вуют, то тело будет совершать так называемые свободные колеба­ ния. Чтобы установить их закономерности, рассмотрим конкрет­ ный пример.

равновесия. Оно достигнет положения равновесия, в котором де­ формация пружины и, следовательно, упругая сила обращаются в нуль, приобретя конечную и притом максимальную по величине скорость и конечный запас кинетической энергии (рис. 137, в). По­ этому оно не остановится, а, перейдя через положение равновесия, будет продолжать движение в прежнем направлении (т. е. влево), удаляясь от равновесия в противоположную сторону и сжимая пружину. При сжатии пружины возникнет упругая сила, препятст­

в обоих направлениях одинаковы по величине и неизменны во вре­ мени. Действительно, запас энергии, сообщенный телу при началь­ ном отклонении, остается в данном случае неизменным. Но при ма­ ксимальных отклонениях от равновесия, когда скорость тела обра­ щается в нуль, эта энергия равна потенциальной энергии деформи­

венной стороны, т. е. получим уравнение колебаний и найдем его

представляющее собой дифференциальное уравнение свободных колеба­

двух частных решений, умноженных на некоторые постоянные ко­

Это выражение можно преобразовать, воспользовавшись так назы­ ваемыми формулами Эйлера, согласно которым еш°* = cos со,/ - Н sin со0^;

Формула (11.6) и является законом свободных колебаний тела при отсутствии сил трения, выражающим зависимость координа­ ты х этого тела от времени. Поскольку множитель sin(coo^+'f) является периодической знакопеременной функцией своего аргу­ мента с периодом 2п, то и координата х тела с течением времени периодически изменяет . знак. Иными словами, тело в процессе колебаний поочередно находится то по одну, то по другую сторону от положения равновесия.

Поскольку sin(co<^+'<p) по абсолютной величине не может пре­ вышать единицы, максимально возможное отклонение колеблю­ щегося тела от равновесия по величине равно а. Эта величина на­ зывается амплитудой колебаний. В рассматриваемом случае, ког­

Аргумент синуса со<^+!ф в выражении закона колебаний, опре­ деляющий величину отклонения х колеблющегося тела от равно­

будет менять знак и тем чаще колеблющееся тело будет проходить через положение равновесия. Величина циклической частоты коле­ баний юо определяется свойствами самой колебательной системы. Чем больше коэффициент жесткости пружины k и меньше масса т колеблющегося тела, тем больше циклическая частота колебаний.

Отрезок времени Т, в течение которого колеблющееся тело, совершив полный цикл движения, возвращается в исходное со­ стояние, называют периодом колебаний. Иными словами, период колебаний Т — это отрезок времени, через который повторяются одинаковые по величине и направлению отклонения тела от рав­ новесия.

Установим связь между периодом и циклической частотой ко­

©о

т. е. период и циклическая частота колебаний обратно пропорцио­ нальны друг другу.

В физике обычно пользуются понятием частоты v колебаний, определяемой как число колебаний в единицу времени. Очевидно, что частота и период колебаний являются взаимно обратными величинами, т. е.

Значит, при свободных колебаниях без трения ускорение тела пропорционально его отклонению от равновесия х и направлено в сторону, противоположную отклонению. Колебания, при которых выполняется это условие, называются гармоническими. Следова­ тельно, синусоидальные колебания с постоянной амплитудой есть

сдвинута по фазе относительно отклонения х от положения равно­ весия на я/2 или на четверть периода, ускорение же тела — на я или на полпериода. Значит, скорость колебательного движения будет максимальной при прохождении телом положения равнове­ сия (т. е. при х—0). Когда же отклонение тела от равновесия мак­ симально, то его скорость при этом обращается в нуль. А ускоре­ ние тела всегда пропорционально его отклонению от равновесия,