книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

роны от своего источника непрерывно от точки к точке с конечной скоростью, сплошь заполняя всю область пространства, в которую оно успело проникнуть к данному моменту времени. Достигнув ка­ кого-либо другого тела, поле воздействует на него с определенной силой, причем воздействие будет длиться все время, пока сущест­ вует тело, являющееся источником поля и непрерывно его порож­ дающее. В свою очередь это второе тело, испытывающее действие сил поля, создаваемого первым, порождает свое поле тяготения. Поле, созданное вторым телом, распространяясь непрерывно в пространстве с конечной скоростью, достигает первого тела и так­ же воздействует на него с определенной силой.

Таким образом, с силами тяготения действуют друг на друга не непосредственно сами тела, а создаваемые ими поля тяготения, причем взаимодействия распространяются не мгновенно, а с конеч­ ной скоростью, равной скорости распространения поля, и переда­ ются от точки к точке, проходя последовательно через все - точки области пространства, разделяющего взаимодействующие тела.

Следовательно, все бесконечное пространство заполнено полем тяготения как одним из видов материи. Действительно, материаль­ ные источники гравитационного поля распределены во всем беско­ нечном пространстве и существуют бесконечно долго. Отсюда сле­ дует, что во всем бесконечном пространстве нельзя указать точки, куда бы не достигло поле тяготения.

Утверждение, что поле является одним из видов материи, пол­ ностью подтверждается действительностью, многочисленными опыт­ ными фактами. Так, поле существует в пространстве и во времени объективно, вне и независимо от сознания, действует на наши органы чувств и вызывает ощущения. Непосредственное воздей­ ствие поля тяготения на организм человека вызывает ощущение ве­ сомости. Кроме этого, поле тяготения может воздействовать на наши органы чувств и через посредство различных приборов, на­ пример весов, показания которых указывают на величину сил поля тяготения, действующих на взвешиваемые тела. Непосредственно не ощутимое зрением, слухом, осязанием поле тяготения проявля­ ется в силах, действующих на тела, вносимые в те или иные его точки, и благодаря этому доступно восприятию.

Действуя на материальные тела с определенными силами и пе­ ремещая их, поле совершает определенную работу, но эта работа может быть произведена только за счет имеющегося у него запаса энергии. Значит, поле обладает определенной энергией и, следова­ тельно, массой, которая, будучи пропорциональной энергии, явля­ ется, как и энергия, неотъемлемым атрибутом материи.

Следует подчеркнуть, что поле существует в некоторой области пространства не только тогда, когда эта область занята каким-либо телом, испытывающим действие сил тяготения. Поле тяготения су­ ществует как до, так и после внесения тел в те или иные его точки и обнаруживается по действующим на эти тела силам.

Сила, с которой поле тяготения действует на внесенное в ту или иную его точку точечное тело, зависит от массы вносимого тела,

§ 7. Потенциальная энергия тел,

находящихся в поле тяготения

Работа силами поля тяготения совершается за счет запаса его потенциальной энергии, распределенной надлежащим образом во всем поле. Потенциальная энергия тела £ ш находящегося в данной точке поля, равна работе, которую совершили бы силы тяготения, перемещая указанное тело из этой точки поля в бесконечность, где силы тяготения обращаются в нуль и, следовательно, уже не могут совершать работу.

Если тело т под действием сил тяготения перемещается из бесконеч­ ности, где эти силы и, следовательно, потенциальная энергия поля тяготения равны нулю, в точку, находящуюся на расстоянии г от ис­ точника поля, то силы поля совершают работу Аг„, равную умень­ шению запаса потенциальной энергии: А'^ = — (Еп — 0) = — Еи, т.е.

Таким образом, потенциальная энергия тела, помещенного в данную точку поля тяготения на расстоянии г от источника поля,

уменьшении его потенциальной энергии на А^п кинетическая энер­

Таким образом, максимальное удаление тела от центра Земли равно

Максимальное же его удаление от поверхности Земли

Если, в частности, тело т удаляется за пределы действия сил поля земного тяготения, т. е. если Н — оо, то очевидно, что при ко­ нечной величине начальной его скорости v0 должно выполняться условие 2g—и2/Р = 0. Отсюда величина начальной скорости тела, необходимая для того, чтобы оно преодолело силы поля земного тяготения и удалилось в межпланетное пространство, или так назы­ ваемая вторая космическая скорость, равна

Подсчет показывает, что ее величина примерно равна 11,2 км/с. Определим так называемую первую космическую скорость, т. е.

величину скорости, необходимую для того, чтобы тело обращалось вокруг Земли по круговой орбите, не падая на нее.

Так, если тело массы т обращается вокруг Земли по окруж­ ности на расстоянии г от ее центра с постоянной скоростью v, то единственная действующая на это тело сила тяготения со стороны Земли, масса которой равна М, является центростремительной силой, т. е.

Если радиус Земли равен R, а тело т обращается вокруг Зем­ ли по окружности на высоте h от ее поверхности, то r=R + h и тогда

откуда

Но так как на поверхности Земли (h = Q) сила тяготения равна произведению массы тела т на ускорение свободного падения g, то

Г Л А В А Х

ГИДРОАЭРОДИНАМИКА

§ 1. Отличительные особенности жидкостей и газов

Частицы твердых тел, имеющих кристаллическое строение, со­ вершают лишь небольшие колебания около узлов кристаллической

конечные силы, тем большие по величине, чем больше деформация тела.

Жидкости и газы не имеют собственной формы и всегда прини­ мают форму сосуда, в котором они содержатся. Под действием сколь угодно малых сил они будут изменять свою форму, пока силы действуют. Следовательно, жидкости и газы не обладают упру­ гостью по отношению к деформациям, вызывающим изменение их формы без изменения объема. Но жидкости и газы обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия, так как для из­ менения их объема на конечную величину к ним необходимо прило­ жить конечные силы тем большие по величине, чем больше их сжа­ тие. В жидкостях и газах, как и в твердых телах, при их сжатии возникают силы, препятствующие сжатию, причем величина их возрастает с возрастанием величины деформации сжатия. Эти силы, подобные упругим, уравновешивают деформирующие силы в стационарном состоянии жидкости или газа.

Правда, при скольжении слоев жидкости или газа относительно друг друга, не сопровождающемся изменением их объема, на каж­ дый слой со стороны соприкасающихся с ним соседних слоев дей­ ствуют так называемые силы вязкости, препятствующие скольже-

нию. Но силы вязкости зависят не от величины деформации отно­ сительного сдвига слоев, а от скорости их скольжения, т. е. они должны рассматриваться как силы трения. Силы вязкости имеют заметную величину лишь при достаточно быстром относительном движении слоев жидкости или газа. При малой относительной ско­ рости скольжения они оказываются пренебрежительно малыми.

Несмотря на общность некоторых своих свойств жидкости и газы существенно отличаются друг от друга в отношении ряда дру­ гих свойств.

Так, плотность газов обычно намного меньше плотности жидко­

жидкость даже на незначительную величину чрезвычайно трудно,

ный газ содержится. Жидкость же, сохраняя свой объем практи­ чески неизменным, при достаточно больших размерах сосуда запол­

в расположении молекул жидкостей может сохраняться только в те­ чение небольших отрезков времени лишь в весьма малых окрест­ ностях каждой из молекул. Этот «ближний порядок» в расположе­ нии молекул жидкости через небольшие промежутки времени то и дело нарушается вследствие хаотических смещений молекул из одних положений в другие. Однако в жидкостях силы молекуляр­ ного взаимодействия все же еще настолько велики, что в резуль­ тате расстояния между молекулами в среднем остаются неизмен­ ными, так что и объем данного количества жидкости сохраняется неизменным. В качестве первого приближения к действительности в механике введено понятие идеальной жидкости как жидкости со­ вершенно несжимаемой и невязкой.

Силы взаимодействуя между молекулами газов весьма малы даже по сравнению с их величиной в жидкостях, что связано с боль­ шими межмолекулярными расстояниями в газовых средах. Поэто­ му часто ими пренебрегают и считают, что молекулы газов на рас­ стоянии друг с другом не взаимодействуют. Однако, участвуя в хаотическом тепловом движении, они сталкиваются друг с другом и в процессе столкновений воздействуют одна на другую со значи­ тельными силами, изменяющими состояния их движения. В резуль­ тате столкновений молекулы газов беспорядочно разлетаются по всевозможным направлениям, заполняя весь предоставленный газу объем. Удобоподвижность молекул газов и жидкостей во всевозмож-

ных направлениях подтверждается тем, что твердые тела, находя­ щиеся в жидкости или газе, всегда приходят в движение в любом направлении под действием сколь угодно малых сил, а при этом неизбежно, изменяется взаимное расположение молекул жидкости или газа.

Под идеальным газом в физике понимается совокупность хаоти­ чески движущихся молекул вещества, подобных элементарно малым неизменяемым шарикам, не взаимодействующих на расстоянии ни друг с другом, ни с какими бы ни было другими телами и подчиня­ ющихся законам классической механики. Поэтому между двумя последовательными столкновениями друг с другом или со стенками сосуда молекулы газа движутся прямолинейно и равномерно, но с различными по величине и направлению скоростями. Состояние их движения изменяется только в результате столкновений.

Во многих механических явлениях жидкости и газы ведут себя качественно одинаково вследствие общности ряда своих свойств, что позволяет многие вопросы механики жидкостей и газов рассматри­ вать с единой точки зрения и полученные результаты с одинаковой правомерностью применять как к жидкостям, так и к газам. Поэто­ му в механике под термином «жидкость» обычно понимается как жидкость, так и газ, если к ним одинаково применим какой-либо тео­ ретический вывод, основанный на учете их общих свойств. Случаи же, в которых следует учитывать специфические свойства жидко­ стей или газов, отличающие их друг от друга, как правило, рассмат­ риваются особо.

§ 2. Движение идеальной жидкости. Поток жидкости

Чтобы изучить движение жидкости, нужно установить, как будет двигаться каждая из ее частиц. Для этого необходимо определить все силы, действующие на каждую из частиц жидкости, и в соот­ ветствии со вторым законом Ньютона составить для всех их урав­ нения движения. Затем, зная все силы и начальные условия, путем интегрирования этих уравнений можно найти скорости и координа­ ты всех частиц как функции времени. Так, следя за движением каждой из частиц жидкости, можно установить характер движения всей жидкости в целом.

Однако более широкое применение получил другой метод изуче­ ния движения жидкостей, сущность которого излагается ниже.

Изучая движение жидкости, необязательно следить за движени­ ем каждой ее частицы. Движение жидкости будет известно, если в каждой точке той области пространства, где течет жидкость, задан вектор скорости проходящих через нее частиц жидкости как функ­ ция времени. Такое поле скоростей, т. е. область пространства, каж­ дой точке которой поставлен в соответствие вектор скорости частиц жидкости, проходящих через нее в различные моменты времени, на­ зывают потоком жидкости. Векторы скорости, соответствующие каж­ дой точке потока жидкости, это не скорости одной и той же частицы,

нее через боковую поверхность, так как скорости частиц, движущих­ ся непосредственно у боковой поверхности трубки, направлены по касательной к ней и не имеют составляющих, перпендикулярных ей, линии же тока, проходящие внутри и вне трубки, не пересекают линий, образующих ее боковую поверхность.

§3. Уравнение неразрывности

Вразличных участках стационарного потока идеальной жидко­ сти скорости ее частиц неодинаковы. Действительно, пусть идеаль­

частиц, проходящих в тот же момент времени через более широкое ее сечение.

Так, выделим в стационарном потоке идеальной жидкости уча­ сток достаточно узкой трубки тока, ограниченный поперечными се­ чениями Sj и S2 . Сечения Sj и S2 (рис. 117) должны быть настолько малыми, чтобы скорости частиц жидкости, проходящих через любую точку каждого из них, можно было бы считать одинаковыми по ве­ личине и направленными перпендикулярно к этим сечениям.

Пусть в момент времени t некоторая фиксированная часть теку­ щей жидкости заполняет объем трубки тока Q, заключенный между

В объеме же dQ2, заключенном между сечениями S2 и S2 , содержит­ ся жидкость, вытекшая за время dt из этого участка трубки тока че­ рез сечение S2.

Через боковую поверхность трубки тока, образованную линиями тока, жидкость не может ни втекать в трубку извне, ни вытекать из нее. А так как жидкость идеальна и считается несжимаемой, то объем жидкости dQu втекающий за отрезок времени dt в данный участок трубки тока через сечение S], должен быть равен объему жидкости dQ_2, вытекающей из этого участка трубки тока за то же время через сечение S2 : dQx = dQ2. Пусть отрезок времени dt на­ столько мал, что на его протяжении скорости частиц жидкости t>i и