книги из ГПНТБ / Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики
.pdfО чевидно i= X, У |
и Z. Компоненты скорости их, иу и и- запиш утся |
|
н, (і = |
л-, у, z). |
|
С |
ледуя м етоду |
Эйлера, вы разим проекции скорости в произвольной точ |
ке потока на оси прямоугольной системы координат:
«; = Ui(t, х , у, г).
Проекции ускорения могут быть записаны в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
йщ |
du; |
|
|
|
|
|
dui |
|
|
ди-с |
|
|
|
||||
|
|
|
ht |
|
dt |
(t,X |
У’ 2) = hi + |
Uj |
|
h i |
|
|
(15) |
|||||||
где |
/ — обегаю щ ий |
индекс, |
принимаю щ ий |
при |
данном |
|
іпоследовательно |
зн а |
||||||||||||
чения а', |
у и г. Н аличие |
в отдельном |
вы раж ении |
повторяю щ егося |
индекса |
|||||||||||||||
означает |
суммирование |
по |
этом у |
индексу. Так, |
например, |
проекция ускорения |
||||||||||||||
на ось I = Xзапиш ется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dux |
dux |
|
dux |
|
|
âux |
|
|
dux |
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
dt + |
ux |
dx + üy |
ây + «г |
dz |
|
|
|
|||||||||
|
И з уравнения |
(15) |
следует, что |
ускорение |
в |
точке |
|
потока ж идкости скл а |
||||||||||||
ды вается |
из |
двух |
частей. |
П ервая |
д у |
|
характеризует |
изменение |
скорости |
|||||||||||
— |
|
|||||||||||||||||||
в данной точке во времени и |
назы вается |
локальным |
ускорением. |
В торая |
||||||||||||||||
ди; |
характеризует |
изменение |
скорости |
в пространстве, т. е. при переходе |
||||||||||||||||
Uj— |
||||||||||||||||||||
от данной точки к соседним и |
назы вается |
конвективным ускорением. Если |
п а |
|||||||||||||||||
раметры потока (и в первую |
очередь скорость) |
не |
меняю тся во |
времени, |
т а |
|||||||||||||||
кой |
поток назы вается |
установившимся или стационарным. Д л я |
установивш е |
|||||||||||||||||
гося |
потока |
локальное |
ускорение |
равно |
нулю. |
Если |
ж е |
парам етры |
потока |
|||||||||||
изменяю тся |
с течением |
времени, |
такой |
поток |
будет |
неустановившимся (неста |
||||||||||||||
ционарным). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і) и |
|
|
|
|||
|
Конвективное |
ускорение вклю чает |
одноименные |
(/ = |
разноименны е |
|||||||||||||||
(у ф і) |
|
|
ди; |
|
|
|
|
|
производная |
|
вы р аж ает |
скорость |
||||||||
прои зводны е — г— .О дн о и м ен н ая |
|
|||||||||||||||||||
удлинения отрезка |
|
о/ |
|
длины при |
его |
движ ении |
параллельно |
данной |
||||||||||||
единичной |
Рис. 12. OnpedeAeuue угловых скоростей вращения час тицOKuâKOCTU
40
оси. Разноим енная производная |
характеризует угловую |
скорость |
вращ ения |
|||||||||||||||||||
отрезка |
относительно оси, неуказанной в производной. Рассм отрим |
движ ение |
||||||||||||||||||||
плоского |
элемента |
ЛОВ с |
ребрами |
dy и |
dz (рис. 12). З а время dtотрезки dy |
|||||||||||||||||
и |
dz перем естятся |
н повернутся |
на малые углы dQ, и еШ2. |
О |
повороте |
всего |
||||||||||||||||
элем ента |
судят по повороту его биссектрисы ос. Если dOi = dQ2,угол dQ по |
|||||||||||||||||||||
ворота биссектрисы равен нулю, т. е. в этом случае |
поворота |
элем ента не |
||||||||||||||||||||
будет. |
При dQiФ d02угол dQФ 0 |
и, |
следовательно, |
имеет |
место |
|
поворот |
|||||||||||||||
элемента относительно оси х.Угол dQмож но найти из вы раж ения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
У гловая |
скорость вращ ения |
Йх эл ем ен та . относительно |
оси х определяет |
||||||||||||||||||
ся уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Аналогично могут быть получены угловы е скорости |
|
вращ ения |
элем ента |
||||||||||||||||||
относительно других осей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 16> |
|
П олученные угловы е |
скорости |
назы ваю тся компонентами |
вихря, |
а |
дви |
||||||||||||||||
ж ение |
с |
вращ ением частиц — вихревым |
движ ением . П олная угловая |
|
скорость |
|||||||||||||||||
й |
вращ ения |
элем ента равна геометрической сумме |
компонентов |
вихря: |
|
|||||||||||||||||
|
Если |
все |
компоненты |
вихря |
равны |
нулю, |
движ ение |
назы вается |
безвихре |
|||||||||||||
вым или |
потенциальным, поскольку |
в |
|
этом |
случае |
сущ ествует |
|
функция |
||||||||||||||
ф = ф(х, |
у,z),назы ваем ая потенциалом скорости, частная |
производная |
кото |
|||||||||||||||||||
рой по лю бому направлению |
равна |
проекции |
скорости потока |
на |
это |
направ |
||||||||||||||||
ление, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П одстановкой |
ф орм ул |
(16) |
в |
вы раж ение |
(17) |
легко |
показать, |
что |
если |
||||||||||||
функция |
ф сущ ествует, то |
все |
компоненты вихря равны |
нулю, |
т. е. движ ение |
|||||||||||||||||
является |
безвихревым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
М одели и характеристики |
потоков |
ж идкости . В |
общ ем случае |
в |
лю бых |
||||||||||||||||
точках |
потока |
все |
три составляю щ ие |
скорости |
могут |
быть |
соизмеримы . Такой |
|||||||||||||||
поток |
назы вается |
пространственным или |
трехмерным. |
Если |
составляю щ ая |
|||||||||||||||||
скорости |
по какому-либо одном у направлению равна нулю или много |
меньш е |
||||||||||||||||||||
составляю щ их |
по двум другим направлениям , такой |
поток назы вается |
плос |
|||||||||||||||||||
ким или |
двумерным. И, наконец, |
если |
составляю щ ие |
скорости по каким -либо |
||||||||||||||||||
двум направлениям |
равны |
нулю |
или |
много меньш е |
составляю щ ей |
по третьем у |
||||||||||||||||
направлению , |
такой поток |
назы вается |
одномерным. |
Н аиболее |
слож ным |
д л я |
||||||||||||||||
исследования |
является трехмерный поток, а наиболее |
простым — одномерный. |
||||||||||||||||||||
П оэтому |
для |
упрощ ения реш ения |
задач |
стрем ятся |
свести |
трехмерный поток |
||||||||||||||||
к |
двум ерном у |
или |
одномерному. В |
этом |
отношении |
оказы вается |
полезной |
струйная модель потока, основанная на эйлеровском способе геометрического
изображ ения потока. Д л я указанного изображ ения |
потока вводится |
понятие |
||||
линии тока. Линия тока есть воображ аем ая линия, |
к каж дой |
точке |
которой |
|||
касателеи вектор скорости в данный момент времени. Таким образом, |
в |
к а ж |
||||
дый момент времени поток геометрически |
м ож но изобразить |
семейством |
ли |
|||
ний тока. У равнение тинии тока в общ ем случае имеет вид: |
|
|
|
|||
dx |
dy |
dz |
|
|
|
(18) |
их |
иу |
и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
41
Если течение ж идкости |
неустановивш ееся, то |
от одного |
момента |
времени |
|||||||||||||||||||
ск другому картина линий тока будет изменяться. При |
установивш ем ся |
тече |
|||||||||||||||||||||
нии! она остается неизменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П роведем |
в |
потоке в |
определенный |
момент времени |
произвольную линию |
||||||||||||||||||
•тока. Н ам етим |
на |
ней |
некоторую |
точку |
1. |
В округ |
этой точки |
в плоскости, |
|||||||||||||||
нормальной |
линии |
тока, |
проведем |
элем ентарны й |
|
контур, |
ограничиваю щ ий |
||||||||||||||||
площ адку |
6о>і |
настолько |
малую , |
что |
в |
ее пределах скорость мож но |
считать |
||||||||||||||||
•постоянной. Если теперь через все точки этого контура |
в |
рассм атриваем ы й |
|||||||||||||||||||||
.момент времени провести линии тока, то они |
образую т |
трубчатую поверхность |
|||||||||||||||||||||
тока — трубку тока. Ж идкость, |
двигаю щ аяся |
в трубке |
тока, |
назы вается эле- |
|||||||||||||||||||
.ментарной струйкой. Течение в |
трубке |
тока |
является |
одномерным, |
так |
как |
|||||||||||||||||
вследствие |
ее |
малы х |
поперечных |
|
разм еров |
скорость |
меняется |
только |
вдоль |
||||||||||||||
трубки тока. |
|
П оскольку |
поверхность |
трубки |
тока |
образована |
линиями |
тока, |
|||||||||||||||
ж идкость |
через |
эту поверхность |
перетекать |
не мож ет. С ледовательно, |
масса |
||||||||||||||||||
ж идкости, |
проходящ ая |
за |
единицу |
времени |
через лю бое поперечное сечение |
||||||||||||||||||
элем ентарной |
струйки |
(массовый |
расход), |
остается |
постоянной. |
П оэтому |
|||||||||||||||||
м ож но записать |
уравнение |
постоянства |
расхода вдоль |
элем ентарной |
струйки: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рибш = |
c o n st. |
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
|||||
П роизведение |
ибш = |
б Q назы вается |
объемным |
расходом |
элементарной |
||||||||||||||||||
•струйки. Д л я |
|
двух |
сечений |
элем ентарной |
струйки |
уравнение |
постоянства рас |
||||||||||||||||
хода м ож ет быть записано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если ж идкость не сж им аемPiU|öco, = |
р2и28(й2. |
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
||||||||||||||
р2 и д л я |
этого случая |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а, то |
рі = |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t£l6ci}1= |
ы2бсо2. |
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
|||||
Ц елый |
поток |
ж идкости |
всегда |
имеет |
тверды е |
границы . Они либо |
окру- |
||||||||||||||||
экаю т поток, |
как например, |
при |
движ ении |
ж идкости |
в |
трубах, либо находятся |
|||||||||||||||||
внутри потока (при обтекании потоком тел). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ц елый |
поток |
ж идкости |
часто |
является |
трехмерны м . П редставив его со |
||||||||||||||||||
стоящ им из |
м нож ества |
элем ентарны х |
струек, |
получим |
струйную модель пото |
||||||||||||||||||
ка, упрощ аю щ ую |
решение задач, |
так |
как |
движ ение |
в |
каж дой |
элементарной |
■струйке является одномерны м . При рассмотрении целого потока поперечные
■сечения в нем |
проводятся так, чтобы пересекаю щ ие их линии |
тока |
были нор |
||||
м альны к сечениям. Такие сечения |
назы ваю тся |
«живыми». |
Ж и вое |
сечение |
|||
будет плоским, |
если линии тока в |
этом |
сечении |
параллельны |
одна |
другой. |
|
Ч асто непараллельиость линий |
тока |
оказы вается несущ ественной, |
в этом |
||||
•случае ж ивы е |
сечения м ож но с некоторым приближ ением считать |
плоскими. |
■Общая картина линий тока зависит от того, в какой степени границы потока
изменяю т его скорость, т. |
е. от того, |
как границы деформирую т поток. |
|||
М ож но |
различать |
(23] |
потоки |
слабо деф орм ированны е и сильно деф орм и |
|
р о ван н ы е |
(рис. 13). В слабо деформ ированном потоке «ж ивые» сечения я в |
||||
л я ю т с я практически |
плоскими, |
в |
сильно деформ ированном — неплоскими. |
Рис. 13.Классификация потоков по степени изменяемости их гра ниц:
а — слабо деформированный поток; б — сильно деформированный поток
-42
О чевидно, |
один и |
тот ж е |
поток |
на разны х |
участках |
м ож ет |
быть |
■слабо и сильно деформированны м .
|
П олный |
расход |
ж идкости, |
||
проходящ ей |
через данное |
сечение |
|||
•со, |
будет равен |
сумме |
расходов |
||
отдельны х |
элем ентарны х |
струек, |
|||
т . |
е. |
Q = |
I ud(£>. |
|
|
|
|
|
|
(О
В случае плоского ж ивого сечения
Q = I uda>■■осо,
I |
ш |
нс/со |
|
где о = • |
средняя по се- |
Рис. 14. К выводу дифференциально гоуравнениянеразрывности
ч етн о |
скорость потока. Если линии |
тока |
на |
некотором участке потока п ар ал |
||||||
лельны |
одна другой, это |
означает, |
что на данном участке |
средняя |
скорость |
|||||
и распределение |
скоростей |
по сечениям |
(эпюры скоростей) |
остаю тся |
неизмен |
|||||
ными. Н а |
таком |
участке |
поток |
оказы вается |
равномерным (стабилизирован |
|||||
ным). Если |
ж е на участке потока |
линии тока |
непараллельны |
м еж ду собой, по |
ток на этом участке будет неравномерным (нестабилизированным).В таком
потоке средняя скорость или распределение скоростей |
|
по |
длине не остаю тся |
|||||||||||||||||||
неизменными. Очевидно, неравномерный поток |
м ож ет |
быть |
|
слабо |
или |
сильно |
||||||||||||||||
деф орм ированны м . С ходящ иеся и расходящ иеся |
потоки |
относятся |
к |
неравно |
||||||||||||||||||
мерным, так как по длине |
их |
изменяю тся н средняя скорость и распределение |
||||||||||||||||||||
скоростей |
в сечениях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В |
практических |
расчетах |
часто |
пользую тся |
«моделью |
|
средней |
скорости |
||||||||||||||
потока» |
и |
|
рассм атриваю т |
лиш ь средние по сечению |
скорости, т. е. действи |
|||||||||||||||||
тельны й |
поток зам еняю т одномерным потоком. Т акая зам ена |
требует введения |
||||||||||||||||||||
специальны х корректирую щ их |
коэффициентов, |
величины которых |
могут |
о к а |
||||||||||||||||||
заться |
м ало меняю щ имися |
по всему полю течения [23]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Д иф ф еренциальное уравнение неразры вности. В ы делим |
в потоке ж идкости |
|||||||||||||||||||||
ф иксированны й объем пространства |
в виде элем ентарного |
параллелепипеда, |
||||||||||||||||||||
ребра |
которого |
diпараллельны оси |
Оі (рис. |
14). П лощ адь |
грани |
параллеле |
||||||||||||||||
пипеда, |
нормальной |
к оси |
/, |
равна |
dio. Если |
скорость |
потока |
в направлении |
||||||||||||||
•оси ів центре левой грани |
(точка 1) равн а |
«г, |
то через |
эту |
|
грань |
за |
врем я dt |
||||||||||||||
проходит масса |
ж идкости, равн ая puidatdt. |
|
|
2) из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
З а |
это |
ж е |
врем я через |
правую грань (точка |
элем ента вы йдет |
масса |
||||||||||||||||
ж идкости, |
равн ая |
|
|
|
д |
|
|
|
|
м еж ду |
массами |
посту- |
||||||||||
piiidadt-ь -— (pui)didadt. Разность |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
пивш ей |
в |
параллелепипед |
и |
выш едш ей из |
него |
ж идкости |
|
за |
врем я |
в на- |
||||||||||||
правлении |
оси |
і будет равна |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оі |
м ож ет |
быть |
||||||||
— - (pupdidadt. П оскольку ось |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оі |
|
|
|
|
|
(ОХ, 0Y или |
0Z), то |
||||||
лю бой |
из |
трех |
осей |
прямоугольной системы |
координат |
|
||||||||||||||||
общ ее |
накопление |
массы в элементе |
за счет |
разницы масс, |
поступивш их |
|
и вы |
|||||||||||||||
ш едш их |
за |
врем я |
dtчерез |
все |
грани |
элем ента, |
м ож ет |
быть |
записано |
в |
следу |
|||||||||||
ю щ ем |
виде: |
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- p - (p u i) didüidt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь |
в |
вы раж ении |
(ри,) повторение индекса ібудет |
означать |
сумми |
|||||||||||||||||
рование по его значениям і= х,у,z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если |
ж идкость |
полностью заполняет выделенный |
фиксированный |
объем, |
||||||||||||||||||
то наклопление |
массы в нем м ож ет |
происходить |
только |
за |
счет |
увеличения |
43
плотности ж идкости в этом |
объеме. П усть в начальный момент плотность ж и д |
|||||||||||
кости |
в элементе равна р. З а время |
dtплотность изменяется |
и становится |
рав- |
||||||||
|
|
др |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной р + |
at dt.С ледовательно, изменение массы |
ж идкости |
в |
элементе |
за |
счет |
||||||
изменения ее плотности будет равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
др |
|
|
|
|
|
|
(23) |
|
|
|
|
|
— — dtdida. |
|
|
|
|
||||
И сходя из закона сохранения массы, мож но |
утверж дать, |
что если |
в |
ж и д |
||||||||
кости, |
движ ущ ейся |
через |
выделенный |
объем |
пространства, |
отсутствую т |
пус |
|||||
тоты, |
то |
накопление |
(22) |
массы за |
врем я dt в |
элементе долж но быть |
равно |
|||||
ее изменению (23) за |
то ж е время. И з этого условия находим: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dp |
_â_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt + |
âi |
(P«i) = |
0. |
|
|
|
|
П олученное уравнение мож но привести к окончательному виду:
|
|
|
|
1 |
dp |
диI |
|
|
|
У. г. |
|
|
|
|
|
(24) |
||
|
|
|
|
р |
dt |
ді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это уравнение назы вается дифференциальны м |
уравнением |
неразрывности |
||||||||||||||||
(сплош ности). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
ж идкость |
несж им аем ая |
(р = |
co n st), |
то |
уравнение |
неразрывности |
|||||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
йчх |
диу |
|
|
диг |
|
|
|
||||
|
dui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ді - = 0, |
і = |
X, у,г |
или |
дх 4* ■ ду - + ■dz ■= 0. |
|
(25) |
|||||||||||
П оскольку |
левая часть уравнения |
(25) |
представляет |
собой дивергенцию |
||||||||||||||
вектора скорости и,вы раж ение (25) |
мож но |
записать |
и |
в |
векторной |
форме: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
div и= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д иф ф еренциальное |
уравнение |
неразрывности м ож ет |
быть |
получено так ж е |
||||||||||||||
и в цилиндрической системе координат [41]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Д иф ф еренциальны е |
уравнения движ ения |
вязкой |
ж идкости |
в |
напряж е |
|||||||||||||
ниях. Выделим |
в потоке |
вязкой |
ж идкости |
элем ентарны й |
|
параллелепипед |
||||||||||||
с ребрами |
dx, dy и |
dz. Н а параллелепипед |
действую т |
объемные |
н |
поверхно |
||||||||||||
стные силы. В общ ем случае поверхностные силы имеют не только |
норм аль |
|||||||||||||||||
ные, но и |
касательны е |
составляю щ ие. Н а рис. |
15 показаны |
нормальны е и к а |
||||||||||||||
сательны е |
напряж ения, |
действую щ ие |
на |
гранях |
вы деленного |
параллелепипеда. |
||||||||||||
И ндексация напряж ений |
записы вается |
по |
следую щ ему |
принципу: |
первый |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
индекс есть |
наим енование |
оси, |
нормальной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
плоскости |
действия |
напряж ения, второй |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
индекс — наименование оси, вдоль которой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
направлено |
напряж ение. |
Чтобы |
получить |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
дифференциальны е уравнения движ ения вы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
деленного |
элем ента, |
запиш ем д л я |
него вто |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
рой закон |
Н ью тона |
в |
проекциях |
на вы бран |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ные оси координат. Н айдем , |
например, сум |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
му |
проекций |
на |
ось |
ОХ сил, действую щ их |
||||||||
|
|
|
|
|
|
на |
элемент: проекция |
объемной |
силы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
axpdxdydz, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
где а* — проекция ускорения объемных сил |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на ось ОХ\ проекция результиру |
|||||||||
Рис. 15.К выводу дифференци- |
|
.да |
ющей поверхностных сил |
|
||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
а |
|
ч |
|
|
||||||||
альных уравнении |
двиокения |
|
/ |
------— |
_)-------1— |
|- -----— |
dxdydz\ |
|||||||||||
жидкостивнапряжениях |
|
|
\ |
дх |
|
ду |
|
|
дг } |
|
|
44
проекция силы инерции
dux
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
pdxdydz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П риравнивая |
сумму |
проекции |
объемных |
и |
поверхностных |
|
сил |
проекции |
|||||||||||||||||||||
силы |
инерции |
и |
сокращ ая |
на |
м ассу |
элем ента |
pdxdydz, |
получаем диф ф ерен |
|||||||||||||||||||||
циальное |
уравнение |
движ ения |
в |
напряж ениях |
в |
проекции |
на ось Ох |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
. дахх |
|
даух |
|
да2 |
|
дих |
|
|
дих |
+ |
и■у |
дих |
+ uz |
ди. |
|||||||||||||
рох+ |
ах |
+ • |
ду |
+ - |
dz |
|
П |
|
+ их т |
|
|
ду |
oz |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
дхдх |
|
' y |
|
|
|
|
|||||||||||
Аналогично мож но получить и два |
других |
уравнения |
движ ения |
в |
проек |
||||||||||||||||||||||||
циях |
на |
оси OY и |
OZ. О бщ ая |
форма |
записи уравнений |
движ ения |
в |
н ап р я |
|||||||||||||||||||||
ж ениях в проекции |
на лю бую ось им еет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да,-; |
диі |
|
|
ди; |
|
|
|
|
|
|
|
(26) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р а г- + — |
|
|
— |
^Г~+ иі— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dj |
|
|
dt |
|
|
ді |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где I — наименование |
оси, |
в проекции |
иа |
которую |
рассм атривается уравнение |
||||||||||||||||||||||||
движ ения |
(і = X, |
у, |
г); |
/ — индекс, |
принимаю щий при данном і последова |
||||||||||||||||||||||||
тельно значения х, у и |
г. |
Н апомним, |
что |
|
повторение |
в |
|
отдельны х |
членах |
||||||||||||||||||||
индекса /, означает суммирование по |
этом у индексу. |
|
В |
уравнениях |
(26) aj; |
||||||||||||||||||||||||
при / = г есть |
норм альное напряж ение, |
а |
|
при |
]фі — касательное |
нап р яж е |
|||||||||||||||||||||||
ние. К ак |
м ож но |
видеть, |
напряж енное состояние |
элемента |
вязкой |
ж идкости |
|||||||||||||||||||||||
характеризуется |
в |
общ ем |
случае |
девятью |
составляю щ ими, |
|
образую щ ими |
||||||||||||||||||||||
тензор |
второго |
ранга |
В |
гидроаэром еханике |
доказы вается, |
что |
тензор |
н ап р я |
|||||||||||||||||||||
жении, |
действую щ их |
в |
вязкой |
ж идкости, |
|
является |
|
симметричным |
тензором |
||||||||||||||||||||
[58]. Это |
означает, |
что действую щ ие на |
двух |
взаим но |
перпендикулярных гр а |
||||||||||||||||||||||||
нях элемента |
касательны е напряж ения, |
нормальны е |
|
к |
ребру, |
образуем ом у |
|||||||||||||||||||||||
пересечением этих граней, равны по |
величине, |
т. е. |
|
аху= аух, аyz= |
azy и |
||||||||||||||||||||||||
azx— 0 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д иф ф еренциальны е |
уравнения |
движ ения |
вязкой |
|
ж идкости. |
Н апряж ения |
|||||||||||||||||||||||
поверхностны х |
сил, |
действую щ их |
на |
гранях |
вы деленного |
параллелепипеда, |
|||||||||||||||||||||||
связаны со скоростями его деформации. Вследствие |
того, |
что |
|
составляю щ ие |
|||||||||||||||||||||||||
скорости неодинаковы, в угловы х точках параллелепипеда происходит |
скаш и |
||||||||||||||||||||||||||||
вание |
|
ребер |
(рис. 16). Угловые |
деформ ации |
для |
рассм атриваем ой грани для |
|||||||||||||||||||||||
ребра |
|
0— 1 определяю тся |
|
|
|
|
диц |
|
|
а |
для |
|
|
ребра 0—2— величиной |
|||||||||||||||
|
величиной—- — dt, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
дихду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt.П олная угловая деф орм ация |
будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дих |
да,I |
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ду - + ■дх |
|
|
|
XOY, |
|
|
|
|
|
|||||||||
С корость ж е |
угловой |
деформ ации |
в |
плоскости |
|
перпендикулярной |
|||||||||||||||||||||||
оси 2 , определяется вы раж ением |
|
дих |
|
диу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уг= -Иу |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично могут быть определены скорости деформ ации в двух других |
|||||||||||||||||||||||||||||
плоскостях: |
|
|
|
|
|
диу |
|
диг |
|
|
|
|
ди2 |
|
|
дих |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ух'- |
дг ■"Ь ■ду |
|
Уу=- И х |
|
|
|
дг |
|
|
|
|
|
||||||||||
К роме |
угловой |
деформации |
наблю дается |
такж е |
|
линейная |
деф орм ация |
||||||||||||||||||||||
ребер |
|
параллелепипеда, |
обусловленная |
различием скоростей в |
угловы х точ |
||||||||||||||||||||||||
ках параллелепипеда. Так, |
например, |
ребро |
0— 1при |
движ ении |
|
в направлении |
|||||||||||||||||||||||
1 |
Тензор — более |
общ ее понятие, |
|
чем |
вектор, |
|
характеризуем ы й |
тремя |
|||||||||||||||||||||
составляю щ ими. С каляр |
есть |
тензор нулевого |
ранга, |
а |
вектор — тензор |
перво |
|||||||||||||||||||||||
го ранга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
дих
X за время dt удлинится на величину дх -dxdt. Удлинение каж дой единицы
длины ребра |
|
дих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
равно—J^~dt, а скорость относительного удлинения в иаправле- |
|||||||||||||
нии |
оси |
|
|
|
дих |
.В |
направлении |
других осей скорости относитель- |
|||||
ОХ равна е* = ■ |
|||||||||||||
ных |
удлинений |
|
|
|
|
|
|
дии |
|
ди, |
|||
будут определяться вы раж ениям и ѣу -------- — |
и ег = - |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
дг |
|
|
З а |
счет удлинения |
ребер |
параллелепипеда происходит |
изменение его о б ъ |
||||||||
ема. З а |
время dtизменение объем а параллелепипеда |
|
|
|
|
||||||||
|
|
,, |
( дих |
|
|
ди„ |
|
ди, |
|
\ |
dt. |
||
|
|
dV= |
[ -------- dxdydz+ |
— |
dxdydz+ --------- dxdydz |
] |
|||||||
|
|
|
|
\ дх |
|
|
ду |
|
дг |
|
] |
|
|
|
П оделив |
изменение |
объем а |
на первоначальны й |
объем |
V= |
dxdydz, полу |
||||||
чим относительное изменение объем а: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dV |
— ( е .с + б д + Bz)dt. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|||
|
С корость |
ж е относительного изменения |
объем а |
параллелепипеда |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
dV |
|
Bz = div гг. |
|
|
|
||
|
|
|
|
е = — |
- - ^ - = &.i- + si/ + |
|
|
|
|||||
|
Согласно |
гипотезе |
Н ью тона, касательны е |
напряж ения |
в |
ж идкости про |
|||||||
порциональны скоростям |
угловы х деформаций: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
охв- о ух- Н |
дих |
дии |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
— |
+ — |
= 2руг; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Gyz — Gzy ~ |
И1 |
диу |
диг |
= 2р.уА-; |
|
|
(27) |
||
|
|
|
|
дг |
~ду |
|
|
||||||
|
|
|
|
&ZX~ ®xz“ |
М' |
диг |
дих |
= 2р.уу . |
|
|
|
||
|
|
|
|
дх |
дг |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
В |
гидроаэром еханике |
доказы вается, |
что |
|
для |
|
несжимаемом |
ж идкости |
||||||||||||||||||||||
среднее арифметическое |
из |
нормальны х |
напряж ений, |
|
действую щ их |
по |
любым |
|||||||||||||||||||||||||
трем взаим но перпендикулярным |
площ адкам , проходящ им через данную точку, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
остается |
величиной |
постоянной |
{58]. |
Величина этого среднего норм ального |
||||||||||||||||||||||||||||
напряж ения, |
взятая |
с |
обратным |
знаком, |
принимается |
в |
качестве статического |
|||||||||||||||||||||||||
давления рв рассм атриваем ой |
точке, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gxx + |
&уу + |
CTzz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Н орм альны е |
|
напряж ения |
представляю тся |
как |
|
сумма статического |
д ав л е |
|||||||||||||||||||||||
ния |
|
и |
добавочного |
нормального |
напряж ения, |
обусловленного |
действием |
сил: |
||||||||||||||||||||||||
вязкости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ахх= |
— р + |
2р. |
дис |
|
|
|
|
|
|
|
дии |
|
azz= |
|
|
|
дит |
|
|
(28)- |
||||||||||||
дх |
; |
|
аУу= — р+ 2 ц — |
— ; |
— р+ 2р. — — . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
|
|
|
||||
|
|
П одставляя |
|
значения |
касательны х |
и |
нормальны х |
напряж ений |
из |
|
формул |
|||||||||||||||||||||
(27) |
и |
(28) |
в дифференциальны е |
уравнения |
(26), |
получаем |
систему |
диф ф ерен |
||||||||||||||||||||||||
циальных |
|
уравнений |
вязкой |
несж имаемой |
ж идкости |
(систему |
уравнений: |
|||||||||||||||||||||||||
Н авье -С то кса). О бщ ая запись |
этих |
уравнений |
в |
тензорной |
форме имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dp |
|
|
|
диI |
|
|
|
диі |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а / = |
— — |
• -ГГ + v y 2«; = |
— |
“Ь |
U; |
|
|
|
|
|
|
|
(29> |
|||||||||||
где |
|
= |
.V, |
//, 2 |
, } |
= |
X, |
у, z\ |
р |
ді |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I |
|
|
д2 |
|
д2 |
|
д2 |
|
— оператор |
Л ап ласа. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх2 |
ду- |
дг2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Так, при і= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2их |
д-их |
|
д2их |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ2н.і- = |
|
|
~дф |
+ |
дг2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
В |
трех |
уравнениях |
(29) |
при |
заданны х |
ускорениях |
а,- |
объемных |
|
сил |
со |
|||||||||||||||||||
держ ится |
четыре |
неизвестных: р и |
іц(і— х,у,z). У равнения |
Н авье-С токсаі |
||||||||||||||||||||||||||||
совместно |
с уравнением |
|
неразрывности |
образую т |
|
зам кнутую |
(полную) |
сис |
||||||||||||||||||||||||
тему |
уравнений. О днако |
решение |
этих |
уравнений в общ ем случае встречает |
||||||||||||||||||||||||||||
значительны е |
м атематические |
трудности. П оэтом у |
в |
настоящ ее |
врем я |
|
они |
ре |
||||||||||||||||||||||||
шены лиш ь для ряда частных случаев [41]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Применение теоремы |
об |
изменении |
количества движ ения к |
потоку ж и дко |
||||||||||||||||||||||||||
сти. Теорема об изменении количества |
движ ения |
|
ш ироко |
используется |
при |
|||||||||||||||||||||||||||
решении многих |
|
задач, |
связанны х |
с течением |
|
ж идкостей. |
П рименительно- |
|||||||||||||||||||||||||
к решению зад ач гидроаэром еханики струнных элементов эту |
теорем у удоб |
|||||||||||||||||||||||||||||||
нее |
|
сф орм улировать |
следую щ им |
образом . |
Д л я |
выделенного |
объем а |
потока, |
||||||||||||||||||||||||
ж идкости |
изменение |
за |
единицу |
времени |
количества |
движ ения |
та в |
направ |
||||||||||||||||||||||||
лении произвольной оси 5 равно сумме |
проекций |
на |
ту |
ж е |
ось всех |
внешних, |
||||||||||||||||||||||||||
сил, действую щ их на указанны й объем, т. е. А {mu)sjKt=FS. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Отметим, |
что |
величина |
ти назы вается |
такж е импульсом, |
а |
количество- |
|||||||||||||||||||||||||
движ ения в единицу времени — потоком импульса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
У равнение |
изменения |
количества движ ения |
м ож но |
написать для |
|
целого |
|||||||||||||||||||||||||
потока. При этом необходимо учиты вать, что скорость |
и |
плотность |
|
могут |
||||||||||||||||||||||||||||
быть |
различными |
в |
разны х |
точках |
одного и |
того |
ж е |
сечения потока. Т ак |
как. |
|||||||||||||||||||||||
секундное |
количество |
движ ения массы, |
проходящ ей |
через |
ж ивое сечение |
da> |
||||||||||||||||||||||||||
элементарной |
струйки, |
равно pu2da>,то |
для |
массы, |
|
проходящ ей |
через |
все |
ж и |
|||||||||||||||||||||||
вое сечение |
со потока, |
|
секундное |
количество |
|
движ ения |
определяется |
как |
||||||||||||||||||||||||
j' pu2da>. В |
случае, |
когда |
во |
всех |
точках |
ж ивого |
|
сечения |
потока |
плотность- |
||||||||||||||||||||||
(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2dco. |
|
|
||
постоянна, величина |
секундного количества движ ения |
равна |
р J |
Таким |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ю |
|
|
|
|
4Т
образом , для определения секундного |
количества движ ения |
массы |
ж идкости, |
||||||||||
проходящ ей |
через ж ивое |
сечение потока, |
необходимо |
зн ать |
распределение |
||||||||
скоростей |
по |
указанном у |
сечению. О днако |
часто |
при решении задач распреде |
||||||||
ление скоростей |
в рассм атриваем ы х |
сечениях |
потока |
заран ее |
неизвестно. |
||||||||
П оэтому для |
вычисления |
секундного |
количества |
движ ения используется сред |
|||||||||
няя по сечению скорость. Вычисленное по этой |
скорости секундное количест |
||||||||||||
во движ ения |
ро2ы будет |
несколько отличаться от пстинноіі |
величины, равном |
||||||||||
р ( u2dü>. |
Это отличие |
устраняется |
введением |
поправочного |
коэффициента |
||||||||
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
do, представляю щ его собой отнош ение истинного количества |
движ ения к |
ко |
|||||||||||
личеству движ ения, подсчитанному по средней скорости, т. е. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
J u2dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a° = j L ^ |
r - |
|
|
|
|
|
(3°) |
|
|
Коэф фициент |
сіо назы вается коэффициентом |
количества |
движ ения. В ели |
|||||||||
чина |
этого коэфф ициента |
зависит от |
неравномерности |
распределения скорос |
|||||||||
тей |
по сечению потока: чем она выше, тем больш е значение |
коэфф ициента |
а 0. |
||||||||||
В общ ем |
случае |
коэффициент cto изменяется по |
длине |
потока, |
поэтому |
для |
|||||||
дву х сечений потока он м ож ет быть различным. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом , для отсека целого потока |
уравнение изменения количе |
|||||||||||
ства движ ения запиш ется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
I pu2d(0 — |
I pu-d<a=Fs |
|
|
|
|
(31) |
||
|
|
|
|
|
Ct)j |
ü)j |
|
|
|
|
|
|
|
или в случае несж имаемой ж идкости:
|
|
|
|
|
PQ (a 02ü2S |
“ 0iy is ) |
= FS' |
|
|
|
|
(32) |
|||||
гд е cbs и |
0 ] s — проекции на |
ось |
S векторов |
средних |
скоростей в |
контрольных |
|||||||||||
сечениях |
/ — 1и 2— 2потока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
П роекция |
Fsрезультирую щ ей |
силы |
на |
ось S равна сумме проекции на эту |
||||||||||||
ось внешних объемных и поверхностных сил, |
действую щ их |
на |
выделенный |
||||||||||||||
объем |
потока |
ж идкости. И з |
объемных |
сил |
чаш е |
всего действует лиш ь |
сила |
||||||||||
тяж ести |
Fg. Поверхностны е |
силы вклю чаю т |
силу |
Р, давления |
в |
сечении |
1— 1, |
||||||||||
силу Р2давления |
в сечении 2— 2,а такж е |
силы, обусловленные напряж ениям и |
|||||||||||||||
трения |
F Tps |
и нормальны ми |
напряж ениям и |
F „ s , прилож енными |
со стороны |
||||||||||||
тверды х |
поверхностей, ограничиваю щ их выделенный |
объем |
потока. |
|
|||||||||||||
|
С умма проекций всех сил на ось 5 |
будет равна |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Fs = Fg S + р Is + P 2S + |
Fтр S + |
Fn s ■ |
|
|
|
|
||||||
|
При |
вычислении суммы |
проекций |
сил |
знаки отдельны х |
сил |
определяю тся |
||||||||||
в |
зависимости от |
вы бранного направления |
оси 5. Если направление проекции |
||||||||||||||
на |
ось |
S |
рассм атриваем ой силы |
совп адает |
с |
направлением |
осп |
S, проекция |
|||||||||
этой силы считается полож ительной. Так, |
если ось 5 направлена по течению, |
||||||||||||||||
т о |
проекция |
P IS |
будет полож ительной, a |
P2S и |
F TpS — отрицательны ми. |
В е |
|||||||||||
личины |
и знаки |
проекций Fgs и |
Fnsсущ ественно |
зависят |
от |
ориентации |
оси |
||||||||||
6 . Так, |
если |
ось |
5 горизонтальна, то |
проекция силы тяж ести Fes на ось S |
|||||||||||||
будет равна нулю. В ряде случаев проекции |
Fgs и F TpS оказы ваю тся малыми |
||||||||||||||||
по сравнению с проекциями других сил и ими пренебрегаю т. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Силы давления в «ж ивых» сечениях потока в общем случае могут быть |
||||||||||||||||
определены так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
P[S~ Рj c o s(0 [S) |
= J"pdwco s(n 15); |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ю, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2S= P9cos(v2S)= f |
prfcocos(t)25 ), |
|
|
|
|
|||||||
где co s(u iS ) |
и cos (H2S) — косинусы углов |
м еж ду |
векторам и |
средних скорое- |
48
тей У] и о2и осью S. При равномерном распределении давлений по «живым» сечениям
|
|
|
Pis= plolcos(ol-S) |
и |
P2S=p2<ü2cos(ü2-S). |
|
|
|
|
|||||||
В |
случае целого |
потока вязкой ж идкости |
силы |
Frp.sи FnS представляю т |
||||||||||||
соответственно проекции на ось S сил трения |
и |
нормальны х |
сил, действую |
|||||||||||||
щих со стороны тверды х поверхностей на выделенный отсек |
жидкости. |
|
||||||||||||||
Уравнение изменения м ом ента количества |
движ ения. П ри |
решении |
задач, |
|||||||||||||
связанны х |
с |
вращ ательны м движ ением |
ж идкости, |
часто |
применяется |
|
извест |
|||||||||
ная теорема |
механики |
об изменении |
момента |
количества |
движ ения |
(теорема |
||||||||||
м ом ентов). |
П рименительно к движ ению |
ж идкости |
удобно использовать |
с к а |
||||||||||||
лярную форму записи этой теоремы. В такой форме теорема |
моментов |
ф ор |
||||||||||||||
мулируется следую щ им |
образом : производная по времени |
от суммы моментов |
||||||||||||||
количеств |
движ ения |
системы относительно |
какой-нибудь |
неподвижной |
оси |
|||||||||||
равна |
сумме |
моментов внеш них сил, действую щ их |
на эту |
систему, |
относитель |
|||||||||||
но той |
ж е |
оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассм отрим элементарную струйку вязкой |
ж идкости |
в |
прямоугольной |
|||||||||||||
системе координат (рис. |
17). Выделим |
сечениями 1— / и 2— 2отсек |
этой |
струй |
||||||||||||
ки. Пусть |
в |
указанны х |
сечениях абсолю тные |
скорости равны и, и |
и2, |
а |
проек |
|||||||||
ции скоростей на оси координат uix,ulv,U\zи |
и2х,u2v,u2z.З а |
время |
dtчерез |
|||||||||||||
сечения 1— 1и 2—2проходит масса ж идкости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рj IбСОj —p2W2l5cü2d^—ÖG/fldt.
Найдем производную по времени от суммы моментов количеств |
движ ения или |
|||||
(иначе — изменение |
момента секундного количества движ ения) |
относительно |
||||
оси X. М омент |
количества движ ения |
массы, прош едшей за единицу времени |
||||
через сечение |
/— 1 относительно оси |
х, |
будет равен |
|
— U\zy\), |
|
а массы, прош едшей |
через сечение 2— 2 — |
6 G m (u2!/z2 — u 6 G ,n (Mi!/2 1 |
|
|||
|
|
|
|
2zy 2). |
|
|
П олож ительны м |
считается момент, |
действую щ ий по часовой |
стрелке, если |
смотреть вдоль оси от начала координат. Таким образом , изменение момента секундного количества движ ения вы деленного отсека элементарной струйки относительно оси X определится вы раж ением
б Gm 1(игугг — иІуг ,) — (u2zy 2— иizy ,)]. |
|
Если сумму моментов относительно оси X всех внеш них сил, |
действую |
щих на рассм атриваем ы й отсек элементарной струйки, обозначить |
через öM*. |
Рис. 17.Применение теоремы об изменении момента ко личествадвиоісениякэлементарнойструйке
4 Зак. 935 |
49 |