книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Казанским физико-математическим обществом теме. В 1912 г. общество объявило конкурс на две премии им. Лобачевского: одна — за работы по геометрии (премию получил Ф. Шур и по­ четный отзыв И. Кулидж) и вторая — за работы по анализу на тему: «Изучение общих интегралов уравнений Пенлеве (диффе­ ренциальных уравнений второго порядка первой степени), общий интеграл которых имеет неподвижные критические точки. Желательно подробное изучение одного из типов этих уравнений». Отметим, что для большой премии по математиче­ ским наукам Парижской академии наук в том же 1912 г. была выдвинута тема: «Усовершенствование теории алгебраических дифференциальных уравнений второго порядка и третьего по­ рядка, общие интегралы которых однозначны». Первую премию по этому конкурсу получил Бутру 1 за сочинение [109.6], вторую поделили Шази [124.2] и Гарнье [157.2].

Таким образом, в разных странах, причем тогда еще с весь­ ма различным уровнем развития данной теории, были выдвину­ ты по существу одинаковые темы. Важность и дальновидность подобной акции со стороны руководства Казанского физико-ма­ тематического общества трудно переоценить. Этим самым было открыто еще одно русло потока новых идей в русскую математи­ ческую литературу. В трудах общества появился благодаря это­ му один из лучших мемуаров Шлезингера, а также весьма об­ стоятельный отзыв на него проф. Парфентьева [53.2], где кратко излагался общий курс идей, имевших отношение к теме конкурс­ ной работы.

В мемуаре Шлезингера, как он сам об этом говорил, реша­ лось по существу две проблемы — Фукса и Римана. В направле­ нии решения первой из них Шлезингер находит уравнения, ко­ торые служат в то же время необходимым и достаточным услоем, чтобы группа монодромии системы (13.4) была независима от координат особых точек. Вторая часть мемуара [254.11] по­ священа изучению интегралов найденной таким образом систе­ мы уравнений. По результатам эта часть совпадает с работами Гарнье. В третьей части исследуется характер изменения инте­ гральной матрицы (yih) при перемещении особых точек. В про­ цессе решения этой и других задач Шлезингеру удалось выде­ лить целый класс таких дифференциальных систем, интегралы которых внутри некоторой области являются мероморфными. Хотя такая система имела подвижные полюсы, в ней отсут­ ствовали подвижные критические точки и подвижные сущест­ венно особые точки. Она охватывала собой все дифференциаль­ ные уравнения второго порядка с неподвижными критическими точками и этим самым, в известном смысле, уравнения аналогич­ ного класса, рассмотренные ранее Пенлеве и его учениками. Та­ ким образом, идеи Шлезингера могли служить исходным пунк­

1 См. об этом рапорт Пенлеве [228.28].

320

том для аналогичного исследования уравнений высшего поряд­ ка. Ввиду несомненной научной ценности мемуара Шлезингера, трактовавшего проблему более общего порядка, чем было указано в конкурсе, хотя формально и отличную от заданной, ему была единогласно присуждена искомая награда. Рассмот­ ренные нами работы Р. Фукса, Л. Шлезингера и математиков французской школы с несомненностью показывают, насколько плодотворной является идея использования сложившихся поня­ тий линейной теории для исследования новых вопросов — нели­ нейной теории. Мы уже упоминали в предыдущих главах о даль­ нейшем развитии этих идей в трудах французских математиков

(Гарнье, Шази и др.).

Проблема Фукса для систем была затем предметом фунда­ ментальных исследований И. А. Лаппо-Данилевского в [38.4]. Применяя его методы, Г. Ф. Федоров в [78] исследовал задачу Фукса для системы двух уравнений, когда группа их не зависе­ ла от координаты одной из особых точек. Он установил доста­ точность условий Л. Шлезингера и И. А. Лаппо-Данилевского для решения задачи Фукса, показал, что несущественно особые точки, необходимость которых показал Р. Фукс, получаются в результате перехода от системы к одному дифференциальному уравнению, а также выяснил ряд других важных вопросов.

§ 3. Приводимость и неприводимость уравнений

Линейное дифференциальное уравнение п-го порядка, коэф­ фициенты которого принадлежат некоторой области рациональ­ ности, называется приводимым, когда оно имеет общий интеграл с некоторым, также определенным, линейным дифференциаль­ ным уравнением низшего порядка. Понятие неприводимости бы­ ло введено в 1873 г. Фробениусом. Под приводимым он понимал такое дифференциальное уравнение с коэффициентами — одно­ значными определенными аналитическими функциями, которое не имеет общего интеграла ни с каким дифференциальным урав­ нением низшего порядка, или при равных порядках низшей сте­ пени с такого же характера коэффициентами. Автор рассматри­ вал здесь однородные уравнения фуксового класса и установил ряд общих теорем. В частности, когда линейное дифференциаль­ ное уравнение имеет общий интеграл с линейным неприводимым уравнением, то оно имеет также все интегралы, общие с ним. Поэтому не каждое решение линейного дифференциального уравнения является также интегралом неприводимого уравне­ ния. Если линейное дифференциальное уравнение приводимо, то имеется одно или несколько линейных дифференциальных урав­ нений низшего порядка, с которыми оно имеет все интегралы общими. Эти теоремы доказывались двумя различными метода­ ми. Здесь же Фробениус высказал теорему, что если из двух ли­ нейно независимых интегралов однородного линейного уравне­

ния один представим как однородное линейное дифференциаль­ ное выражение другого, то данное уравнение приводимо. Несколько позже эта теорема была также предметом исследо­ вания Гамбургера, но в 1906 г. Ландау показал [199.2], что эта теорема верна не для всякой области.

Опираясь на понятие неприводимости уравнений, Фробениус в скором времени [151.3] весьма простым способом получил указанные раньше результаты Томё относительно того случая, когда уравнение вида (13.3) имело не все интегралы регуляр­ ными. Существование регулярных интегралов было равнознач­ ным с приводимостью рассматриваемых дифференциальных уравнений в том смысле, что оно давало линейное уравнение низ­ шего порядка, которому удовлетворяли только регулярные ин­ тегралы и коэффициенты которого также имели характер рацио­ нальных функций в окрестности особой точки. Среди ряда дру­ гих интересных результатов, полученных им, отметим теорему о том, что дифференциальное уравнение, обладающее только ре­ гулярными интегралами, составляется из уравнений первого по­ рядка, каждое из которых имеет регулярный интеграл и т. д.

Понятие неприводимости уравнений было затем объектом исследования многих ученых — Фабри, Бендиксона, Беке. Воп­ рос выяснения приводимости или неприводимости уравнения сводился здесь к некоторому конечному числу операций; кроме того, само определение неприводимости несколько видоизмени­ лось. Подробная трактовка этого понятия и ряд новых теорем о соотношении интегралов содержится в статье Кенигсбергера

[195.1].

Понятие неприводимости вело к разложению линейных одно­ родных дифференциальных выражений на неприводимые мно­ жители. При этом теоремой Ландау [199.1] было установлено число множителей и порядки их при всех таких разложениях. Несколько позже Шлезингер и Леви перенесли понятие приво­ димости на линейные дифференциальные системы.

Результаты Фробениуса были изложены и дополнены в рабо­ те Флоке в 1879 г. и затем применены им для исследования ре­ гулярных интегралов. Он же рассматривал и метод разложения дифференциального уравнения на символические первичные мно­ жители и использование его для определения числа регулярных интегралов и связи его со степенью определяющей функции.

В ряде исследований связывалось изучение приводимости группы преобразований с приводимостью дифференциального уравнения. Так, достаточность первого для второго была уста­ новлена Беке в 1894 г. В одной важной теореме Бернсайда [116] трактовались необходимые и достаточные условия приводимости конечной или бесконечной группы линейных однородных под­ становок в связи с некоторыми условиями для решений систем линейных уравнений.

Таким образом, в известной степени теория приводимости

322

линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэф­ фициентами согласовывается с теорией приводимости групп ли­ нейных подстановок. Изложение теории становилось более про­ зрачным и удобным, когда от изучения линейных дифференци­ альных уравнений перешли к изучению линейных дифференци­ альных систем с применением также матричного исчисления, что в полной мере и весьма подробно впервые осуществил Шлезин­ гер [254.8].

§ 4. Классификация линейных дифференциальных уравнений.

Понятие класса, вида и семейства

О понятии класса впервые речь шла в известном фрагменте Римана [246.4]. Автор вводил его независимо от дифференци­ ального уравнения. Принадлежащими одному классу он считал все такие системы функций, которые обладают одними и теми » же несущественно особыми точками и той же группой монодромии. «Производные этих функций,— говорил он,— очевидно, образуют систему, принадлежащую тому же классу. Отсюда выводится следствие, что «функции у, образующие систему, удов­ летворяют дифференциальному уравнению n-го порядка, коэф­ фициенты которого — целые (рациональные) функции от х» [246.4, 181]. Кроме того, как существенный признак указывался тот, что «каждая система, принадлежащая тому же классу, вы­ ражается линейно, с рациональными коэффициентами, через эти функции и их производные до (п—1)-го порядка» (там же). От­ сюда следует возможность установить общий вид системы дан­ ного класса, откуда, как отметил автор, видно, что число всех таких систем бесконечно. Ближайшую задачу строящейся на новых принципах теории линейных дифференциальных уравне­ ний Риман усматривал в разыскании простейших систем каж­ дого класса. Но доказательство существования функций у ока­ залось связанным с рядом трудностей и составило известную «проблему Римана», решению которой были посвящены многие работы нашего века. Таким образом, в основу классификации Римана ставился не вид уравнения или его коэффициентов, а ха­ рактер определяемых дифференциальным уравнением функций.

Уточнение этого понятия находим в посмертной работе Рит­ тера [248]. Опираясь на идеи Римана [246.3] и развивая одну из предыдущих своих работ, Риттер рассматривает вместо се­ мейства функций семейства форм, используя однородные пере­ менные. Изложив ряд вводных понятий, он доказал существова­ ние соответственного семейства форм при любой заданной группе, используя метод Пуанкаре из его работ о зета-фуксо- вых функциях. Затем устанавливалось определение принадлежа­ щих к тому же классу семейств форм, а также был получен ряд новых интересных соотношений [172.2, 513—514].

Связь понятия класса линейного дифференциального уравне­ ния, данного Риманом, с понятием общей многократности двух линейных дифференциальных выражений Р и R, а также простой

Понятие рода или вида уравнения, встречающееся в работах Пуанкаре [237.10], Фукса и их последователей, исходило из других основ. Так, рассматривая два однородных линейных уравнения соответственно порядка п и щ с рациональными коэф­ фициентами при условии П\^.п, Пуанкаре говорил, что второе уравнение принадлежит вместе с первым к одному и тому же роду (виду) или содержится в виде, определенном первым урав­ нением, если интеграл z второго уравнения представляется че­

рациональны и г0(х) отлично от константы. Если П\<п, то пер­ вое уравнение, по определению Фукса [153.14], будет приводи­ мым. Если же п = пь то оба уравнения принадлежат к тому же роду и оба одновременно будут, как установил Фробениус, при­ водимы или нет и обладать той же самой группой монодромии. Ряд других свойств уравнений, принадлежащих к тому же роду, приведено в работе Шлезингера [254.1, т. 2, ч.І, 120—122].

Аналитическому изучению особенностей линейного дифферен­ циального уравнения с рациональными коэффициентами и клас­ сификации их трансцендентных решений посвящалась первая часть диссертации Маротта (1898 г.). Он показал здесь, что каждой особой точке а такого уравнения принадлежит линей­ ная группа преобразований, которая при исследовании особен­ ностей играет ту же роль, что и группа Галуа при решении алге­ браического уравнения. Эта группа, характеризующая природу особых точек, названа Мароттом «мероморфной», так как ее дифференциальные инварианты в окрестности точки а есть мероморфные функции. Были установлены также отношения, которые существуют между группой рациональности, монодромии и мероморфными группами по отношению к различным особым точ­ кам линейного уравнения. Эти и другие полученные им резуль­ таты использовались затем для классификации трансцендентных интегралов вышеуказанных уравнений и для установления не­ которых свойств дифференциальных уравнений того же вида; кроме того, предложен метод для распознавания, принадлежат или нет два данных дифференциальных уравнения к тому же виду. Вторая часть работы посвящалась изучению группы ра­ циональности уравнений указанного вида и ее применениям.

Несколько иная трактовка понятия вида уравнения была связана с рассмотрением свойств символических дифференци­

324

альных выражений и их взаимной простоты. Это имело место в упоминаемой раньше работе Гефтера [171.2], в курсе Шлезин­ гера [254.1, т. 2, ч. 1], в ряде статей Леви, в частности 1912 г., где были установлены две новых теоремы рассматриваемой тео­ рии по аналогии с теоремами алгебры о делимости целых функ­ ций. Здесь получается уже найденный Гефтером результат о том, что два линейных однородных дифференциальных выраже­ ния А и Аі того же порядка с коэффициентами из рассматривае­ мой области рациональности 2 принадлежат тогда и только тогда к одному и тому же виду, когда существует линейное одно­ родное дифференциальное выражение Р (вида 13.5) с коэффи­ циентами из 2, которое взаимно простое с А и для которого сим­ волическое произведение А\Р делимо на А.

Подробному изучению алгебраических свойств линейных однородных дифференциальных выражений, в том числе и по­ нятия рода, посвящалась диссертация Блюмберга 1912 г. Поня­ тие рода для функциональных систем, сочетание его с понятием класса, выделение из последнего так называемых главных клас­ сов, связанных с решением римановой проблемы, изучалось Шлезингером в 1901 г. Он же, как и Леви, распространил поня­ тие класса и рода на дифференциальные системы и изучил их свойства в работе [254.11], о которой у нас шла речь раньше. Понятие рода системы [254.10, 152] по существу не отличалось от аналогичного понятия для уравнения п-го порядка. Оно со­ стояло в том, что две дифференциальные системы (k=l, 2,... п)

(13.6)

(13.7)

с коэффициентами из области рациональности принадлежат к тому же роду, если справедливы соотношения

где rxh есть также функции из области рациональности. При этом было установлено [254.8], что необходимым и достаточным усло­ вием принадлежности обеих систем (13.6) и (13.7) к одному и тому же виду есть то, что линейная дифференциальная система для п2 неизвестных

(13.9)

325

обладает системой решений, которая принадлежит области ра­

циональности.

Если положить в основу не обыкновенную группу монодромии, а проективную, то вместо понятия рода получим понятие семейства. Оно было впервые определено в § 2 мемуара Пуан­ каре [237.10]. Рассматривая два линейных уравнения порядка р

при условии ф(х, у )—'0 (13.12) и с рациональными коэффици­ ентами по X, у , Пуанкаре говорил, что они принадлежат к одно­ му и тому же семейству, если общий интеграл второго (13.11) может быть выражен в форме

где V — общий интеграл уравнения (13.10), функции Fj рацио­ нальны по X, у и Л — некоторая, так называемая мультиплика­ тивная ', функция от X, у . Эти уравнения будут принадлежать к одному виду, если Л = 1 . Если два уравнения (13.10) и (13.11) принадлежат одному виду, то они будут обладать одной груп­ пой монодромии; если же они принадлежат только одному се­ мейству, они не будут обладать одной группой, но оказывается, что в этом случае отношения интегралов уравнения (13.11) ис­ пытывают точно те же преобразования, что и отношения интегралов уравнения (13.10). Несколько позже, исходя из это­ го, Клейн вывел [192.8] все дифференциальные уравнения вто­ рого порядка, принадлежащие к одному и тому же семейству.

§ 5. Алгебраическая интегрируемость линейных дифференциальных уравнений

Вопрос об алгебраической интегрируемости линейных урав­ нений занимает весьма важное место в рассматриваемой теории. Уже в первой работе Фукса по данному кругу проблем в 1865 г. было отмечено, что, с одной стороны, любая алгебраическая функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравне­ нию, а, с другой — дифференциальное уравнение, обладающее чисто алгебраическим интегралом, принадлежит к фуксовому

1 Мультипликативной называют такую голоморфную в окрестности неко­ торой точки г 0 функцию, которая умножается на некоторый определенный

множитель ц при (положительном) обходе около этой точки. Простейший пример мультипликативной функции (при z0=0) представляет общая степень

г° при любом комплексном q с ц = е 2 я і ° .

326

типу, имея корнями определяющего фундаментального уравне­ ния только рациональные числа, при условии, что в разложение интеграла не входят логарифмы. Уже этим самым в основу дан­ ной проблемы было положено решение двух основных вопросов: а) установление всех алгебраически интегрируемых уравнений данного порядка; б) разработка и установление признаков алге­ браической интегрируемости данного дифференциального урав­ нения и соответственное определение, хотя бы приближенное, входящих акцессорных (дополнительных) параметров.

Для уравнений второго порядка

в этом смысле прежде всего ставилась задача определения всех фундаментальных областей, входящих в рассмотрение, которые после конечного числа повторений полностью один или несколь­ ко раз покрывали шаровую поверхность.

Как отметил раньше Шлезингер [254.10, 158], по богатству оригинальных и далеко идущих методов и по заметной элегант­ ности результатов в этом отношении следует прежде всего отме­ тить работу [257] Шварца (95), где был исследован случай алгебраической интегрируемости гипергеометрического диффе­ ренциального уравнения. Именно здесь вопрос об интегралах фундаментальной системы переносится на рассмотрение отноше­ ния s = y i \ y 2 линейно независимых интегралов уравнения (13. 14), удовлетворяющего некоторому нелинейному дифференци­ альному уравнению третьего порядка вида

являющегося частным случаем уравнения

которое получил Куммер при сравнении двух гипергеометриче­ ских рядов, и имеющего важное значение в теории модулярных уравнений эллиптических функций. Шварц рассмотрел случаи, когда разности X, р, ѵ корней соответствующего определяющего фундаментального уравнения принимают действительные значе­ ния. При этом была установлена теорема о том, что лежащая на положительной стороне действительной оси плоскости аргу­ мента X полуплоскость Е конформно отображается при помощи частного интеграла дифференциального уравнения

327

где X, u, V принимают действитель­ ные значения, на некоторую одно­ связную область S, не содержащую внутри точек ветвления и граница которой вообще говоря состоит из образующих треугольник трех кру­ говых дуг. Положение этих кругов в зависимости от X, р, ѵ было затем подробно исследовано, как и сам круговой треугольник. Продолжая затем конформное отображение для каждого из трех участков действи­ тельной оси —оо, ..., 0,0, ... 1,1, ... оо,

можно было распространить тем са­ мым рассмотрение и на область ар­ гумента функции S, которая распо­ лагалась в полуплоскости Еі на от­ рицательной стороне действитель­

ной оси. Оказывалось, что полуплоскости Е і соответствовал так­ же треугольник из круговых дуг 5 Ь который имел с S общую сторону. При этом был установлен так называемый «закон сим­ метрии по отношению к круговым линиям» (по сути продолже­ ние отображений через зеркальное отражение с помощью инвер­ сии), откуда получалось бесконечно большое число областей S и Si, конформно эквивалентных полуплоскостям Е и Е\ посред­ ством аналитической функции 1 s и ее аналитических продолже­ ний. Во всех случаях, когда функция s алгебраическая, число данным способом полученных, отличных друг от друга областей S и Si конечно. Но так как было верным и обратное положение, то тем самым исследование вопроса, принадлежащего к теории функций, приводилось к геометрической задаче, которую Шварц формулировал так: найти все круговые треугольники, которые дают при их размножении по закону симметрии только конечное число различных по положению круговых (т. е. состоящих из круговых дуг) треугольников. При этом трансцендентность или элгебраичность функции s(x) определялась весьма просто ха­ рактером суммы углов Яя+ ця+ѵя упомянутого выше треуголь­ ника. Для первого случая она должна быть меньше или равна я, для второго — больше я, когда оказывалось возможным ото­ бражение на единичную сферу. Но таким образом проблема сво­ дилась к уже ранее многократно обсуждавшейся задаче — найти все сферические треугольники, симметрические и равные повто­ рения которых на шаре ведут только к конечному числу различ­ ных треугольников. Так как обе римановы поверхности, геоме­ трически представляющие области изменений х и 5, в этом слу­ чае будут замкнутые поверхности с конечным числом листов, то

1 В п о сл ед ст в и и К л ей н н а зв а л э т у ф ун к ц и ю т р еу го л ь н о й [192 .11, 398].

328

отсюда следует, что при сделанных предположениях о зависи­ мости между X и s эта зависимость должна быть алгебраической. Решение указанной задачи было связано с отысканием конечных групп правильных многогранников, совпадающих самих с собой при вращении.

В скором времени (1875 г.) после этого Клейн, изучая конеч­ ные группы проективных подстановок комплексного переменно­ го, доказал существование ограниченного числа конечных групп линейных преобразований одной переменной, соответствующих установлению групп целых вращений правильных многогранни­ ков Г192.11, 388 и след.], пополнив соответственные исследова­ ния Шварца явным установлением бинарных форм, которые до­ пускают линейные преобразования в себя самих. Чрезвычайно важным было исследование группы икосаэдра, тесно связанной с проблемой разрешимости в радикалах общего уравнения пя­ той степени. Через год Клейн получил в работе [192.1] пять ви­ дов уравнений формы (13.15), обладающих алгебраическими интегралами. Таким образом, исследование вопроса об алгебраичности интегралов линейных уравнений второго порядка пере­ плеталось с решением того же вопроса для некоторого нелиней­ ного дифференциального уравнения третьего порядка с рацио­ нальными коэффициентами.

Исследование общего вопроса об алгебраической интегрируе­ мости линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами и прежде всего второго порядка было предме­ том многих работ Фукса с 1875 г. Так, в [153.7] для решения его Фукс использует теорию форм. В процессе исследования ав­ тор приходит к понятию неразложимых форм, которые он назвал «первичными» (примформами) и нашел их интересные свойства, в частности, то, что существует только ограниченное число так называемых низших «первичных форм», и получил верхнюю гра­ ницу степени — двенадцать. Приведенная автором таблица ох­ ватывала формы степеней 2, 4, 6, 8, 10, 12 и, как позже показал Клейн [192.1], содержала еще излишние. После необходимых преобразований в [153.8] было показано, что таблица примформ низших степеней совпадала с таблицей форм, установленной Шварцем и Клейном. В этой же работе была более полно раз­ вита теория примформ и притом показано, что степень N низших примформ, когда она больше 4, может принимать только значе­ ния 6 и 12, а также показано ее значение для решения рассма­ триваемого комплекса вопросов. Объяснение полученных резуль­ татов следовало из теоремы Клейна, согласно которой каждое алгебраически интегрируемое дифференциальное уравнение вто­ рого порядка преобразуется подстановкой £ = ф(х) (где <р— ра­ циональная функция) в такое же дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная І есть рациональная функ­ ция отношения интегралов. Он же показал, что дифференциаль­ ное уравнение, к которому подходит последнее свойство, имеет

329