книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

ность в точке сот . Интеграл по спектральному распреде­ лению дает общее число /V собственных колебаний.

Рисунок 86 показывает несколько типичных форм ко­ лебаний цепи, соответствующих определенным значени­ ям k. При граничном колебании (k — п/а; eihan=(— l ) n ) соседние узлы решетки имеют одинаковую и противопо­ ложно направленную амплитуду. Если в линейной решет­ ке выделить две части с шагом 2а в каждой из них, то обе

Рис. 86. Форма колебаний цепи при частных зна­ чениях к.

эти части решетки колеблются с одинаковой амплитудой в противоположных направлениях. При таких колебаниях центры отдельных пружин неподвижны. Каждый атом движется таким образом, как если бы обе соседние пру­ жины были закреплены в их центрах. Но коэффициент жесткости для половины длины пружины равен 2\, поэто­ му с о 2 = 4 / / т , так как при колебании каждый раз нужно учитывать две пружины. Другой типичный случай возни­

то можно заметить, что в этом случае колеблется только одна часть решетки (п = 0, 4-2, + 4 , ...), в то время как другая остается неподвижной. Следовательно, каждая отдельная колеблющаяся материальная точка движется

340

так, как если бы она колебалась между двумя соседни­ ми неподвижными точками. Поэтому (a2 — 2flm.

При очень небольших значениях k(ka<^l) ампли­ туды соседних атомов почти равны. В этом случае сме­ щения могут описываться с помощью медленно изменя­

мощью уравнения колебаний (63.12) описываются упру­ гие волны в цепи, причем a/k—c, очевидно, представля­ ет собой скорость звука, т. е. скорость, с которой распро­ страняются волны. В упругой области связь между час­

На основании этого можно легко уяснить себе, как, зная

форму звуковых волн по уравнению (63.12) и, кроме того,

гут использоваться также другие уравнения, а в уравне­

1 Однако значения k не ограничиваются интервалом 2я/а. Это ограничение проявляется только вследствие того, что с целью уста­ новления числа собственных колебаний равным числу атомов берется лишь N самых низких значений.

2 То, что упругое спектральное распределение здесь строго по­ стоянно, обусловливается особенностями линейной схемы.

341

Если сравнить это выражение с действительным спектром решетки по уравнению (63.11), то можно за­ метить, что 2у П р точно соответствует постоянному на­ чальному участку спектра решетки

Следовательно, теория упругости заменяет действи­ тельную функцию со(&) прямой ы — ck. Предельная час­ тота спектра соответствует k = n/a. Отсюда видно, что

— ,

X i

/1*

упругая функция может значительно отличаться от дей­ ствительной в области более высоких частот или мень­

атомов при ненапряженных пружинах снова заданы с помощью расстояний па. В точках 2па находятся атомы с массой М, в точках ( 2 « + 1 ) а — атомы с массой т. Таким образом, рассматриваем такую

342

же схему, как и выше, только теперь атомы, чередуясь, имеют массы Мит. Уравнения движения.

Рис. 88. Линейная цепь с двумя различными массами.

При этом амплитуды для различных видов атомов (Л, В) при­ нимаются различными. Диапазон значений К в данном случае огра­ ничен интервалом

ял

—— < k < — , 2а 2а

так как решетка имеет период 2а. Если в качестве граничного ус­ ловия примем периодичность решения с периодом 2aN, то возмож­ ными значениями k будут:

тервале периодичности 2aN также равно N. После подстановки урав­ нений (63.17) в уравнения (63.18) получаем систему уравнений для определения со2

Всего получаем 2N собственных частот, т. е. ровно столько же частот, сколько атомов в интервале периодичности 2aN.

.343

Из выражения (63.19) получаем для отношения амплитуд:

Связь между со и k распадается на две ветви (рис. 89). К «аку­ стической» ветви (со) относятся меньшие частоты, здесь соседние ато­ мы колеблются в одинаковых фазах ( Л / В > 0 ) ; малые частоты соот-

Рис. 89. Спектр и форма колебаний линейной цепи из двух разновид­ ностей атомов с отношением масс М : от= 4 : 1.

В оптической ветви ш2 >2f/m, тогда согласно (63.23) Л/В<0. В акустической вет-

т

^и (О2 <2 //т, тогда согласно (63.23) Л/В>0. Форма колебаний (а — Ь) для трех частных значений k объяснена в тексте.

ветствуют упругим (акустическим) колебаниям цепи. В «оптической» ветви 1 (со+) соседние атомы колеблются с противоположно направ­ ленными амплитудами ( Л / В < 0 ) ; ее частоты лежат выше, чем для акустической ветви.

вует граничному колебанию решетки с одинаковыми массами, здесь

ми атомами не движется, соседние атомы части решетки от колеблют­

постях k = 0, лежат в основе оптических явлений.

344

рассчитывается таким обра­ зом, как если бы атомы мас­ сой т колебались между двумя неподвижными точ­ ками.

Это изменение идентич­ но тому, которое было полу­ чено для линейной цепи с одинаковыми атомами, здесь только благодаря различию обеих частей решетки ис­ кусственно изменено деле­ ние на интервалы к. Значе­ ния k по уравнению (63.17) лежат в два раза плотнее, чем по уравнению (63.7), так как в этом случае мы рассматривали 2N атомов с массой М. На рис. 90, б при­ ведена зависимость при

345

очень большой разнице масс (М^>т). Тогда корень в уравнениях (63.21), (66.22) можно разложить в ряд ':

различные массы, по методу Дебая можно приближенно описывать лишь акустическую ветвь; для описания оптической ветви нужно привлекать метод Эйнштейна (например, для йодистого лития с от­ ношением масс 127:7). Описание полного спектрального распреде­ ления с помощью только приближенного метода Дебая в этом слу­ чая очень плохое.

64. КОЛЕБАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКИ

При рассмотрении пространственной решетки ограни­ чимся простейшей кубической решеткой с постоянной решетки а (рис. 91,а—в). Положение атомов этой ре­ шетки в равновесном состоянии определяется выраже­ нием

где m = ( m b т2, Ы3) —вектор, имеющий лишь целочис­ ленные компоненты. Для обсуждения колебаний пред-

1 Акустическая ветвь имеет ту же форму, что и для цепи с од­

346

Рис. 91. Элементарная ячейка.

а — положение атомов в простейшей кубической решетке а, б — атомы решетки связаны пружинами / с ближайшими соседями и пружинами /' со следующими по удалению соседями; в — к определению смещений q.

если атом номер п сдвинут в направлении / на отрезок s, в то время как все другие атомы остаются в состоянии

1 Пружинная связь лишь с ближайшими соседями не дала бы стабильной решетки.

347

покоя. На этом основании эти коэффициенты легко опре­

тому в уравнении (64.5а) безразлично, производится ли

348

суммирование по всем n ( ^ m ) или по всем п—т(Ф<д):

А~( ", которые определяют форму колебания. Так как

_ _ £ L < A . < J L >

а" а

В соответствии с этим векторы к ограничены кубиком с ребром 2л/а, построенным исходя из нулевой точки.

349