книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

или 1*N -с J* + е при

всех

N > Nv Следовательно,

lim /^ <

Г

+ е,

____

N —>oo

или в силу произвольности е > 0 :П т / # < / * .

N-*oo

С другой стороны, по определению I*N для любого е > -0

и

лю­

бого N > 1 найдется

такое дискретное управление [и?] из (6),

что

I n

I n ([*4]) •< I n + — ■.

По лемме 2 для управления

=

^ < ^ < ^ f+ h i = 0, 1, . . . , N — 1,

имеет место

J* <^.J (ueN(t)) •< I n ([uf]) + —

n +

e,

или J* <. I N 4- e

при всех N^>N2. Поэтому lim In > / ’ — e

или в силу прэизвольнос-

N-> оо

____

ти 8 > 0 : lirn Гм > /*. Выше было доказано,

что lim f N < 7 * . Срав-

JT ^ o

n -><*

un"e (t) = иf*f, t ^

t ^ + u

i =

0, . . .

,

1,

будем иметь

О < J {и6» (0) —

(иЕ/

{!)) -

I N«

4 * ] ) |+

+ |/л£---/*| +

8л£-»-0

(N-*-oo). а

более общего функционала

т

/ (« )= j7 ° ( * . и, t)dt +

<b(x(T))

io

при условиях (2), (3), если Ф.(х),

f°(x, и,

t) непрерывны,

\f°(x, и, t) — f°(x +

Ax, и +

А«, t) |]<L(| Ах| -|-| Ди|)

при любых |а: |< CL, |лг]+ Дх |< Съ и, и +

Д« 6 V, t0 < t < Т, а вмес­

то (4) берется

I n ([«г]) = £

А^ °

0

+ ф (xn)■

i

J(u) = J |x(s, Т, и) — y(s)\2ds

(1)

о

при условиях

4 г =

-ТГ«

( M ) 6 Q =

{ 0 < s < 7 ,

о < г < т } ,

(2)

ot

OS*

^ Ь Л

= о,

о < t < T -

x(s, 0) =

0, 0 < 4s <

I,

(3)

ds

J ± M L = = v [ u ( t ) - x ( l , . t ) \ , 0 < ; < 7 \

(4)

OS

u ( t) £ L 2[0,T], |ы(/)|<1 почти всюду на 0 < £ < 7 \

(5)

»

где I, Т, v — заданные положительные константы, у (s)

— заданная

непрерывная функция на отрезке O ^ s^ / .

введем

сетку точек (s,-,

tj), Si=ih, tj— jx, i= 0 ,

1, .... N;

/ = 0 ,

1,

M,

где h, т — шаги

сетки, N h = l , x M = T .

Интеграл

в i('l)

за­

ностными уравнениями по неявной схеме, производные

в (3),

OS

N—1

( Ы )

=

Y i h \-Хш— у (s‘)]2

(6)

при условиях

i=i

_

« , + , . ) ~

2« . . - ' « . - и

,

,

= 1,

. , ,

, N - l - , i =

1 .............М , ( 7 )

* 0/ =

*!/(/ =

] . 2, •••, М),

xi0 =

0,

i =

0,

1,

. . . ,N ,

(8)

=

v[u,—

xNj],

j = 1,

2, . . .

,М,

(9)

N

=

К , Щ,

■■•. им)>

|ЩI <

1,

i =

1, 2, . . . , М.

(10)

Пусть J* — нижняя грань

функционала

(1)

при

условиях

(2) — (5),

/л,т

— нижняя

грань функционала (6)

при

условиях

(7 )— (10),

пусть

[«£8]

представляет собой приближенное

решеиие

задачи

(6) — (10)

в следующем смысле:

Д,т

//ix([ыг]) Д,т -J- 8,

(11)

где е=е(/г, т)->-0 при h, т->-оо.

Т е о р е м а

1.

Имеет место равенство

lim//,iX =

J*.

Управления

u*(t), полученные кусочно-постоянным

продолжением

[и®]

из (11):

ue (t) = uBlt

1,

i =

0,

1,

. . .

, М —

1, минимизируют функцио­

нал J(u),

т. е.

Нш J ( u e (t)) = Л .

h,T-»0

Доказательство этой теоремы опирается на следующие две лем­

мы,

аналогичные леммам 1.1— 2.

Л е м м а

1.

Для любого управления u(t)

из

(5) и любого чис­

ла

6 > 0

существуют

/г (б),

т(6)

такие,

что при

всех

h, т,

0 < .h <

< .h { б),

0< С т< т(6)

можно указать дискретное управление [и,-] из

(10), для которого \J(u(t))—Ih,t ([и,-]) |< 6 .

Л е м м а 2.

Пусть [« ,]=

(щ, ..., им )

удовлетворяет условию (10)

и uT(t) — Ui,

1, i = 0,

1, ..., М— 1. Тогда для любого & > 0

задачи (6) — (10) могут быть использованы методы гл.

2 или §6.2.

Решение краевой задачи (7) — (9) при заданном [ыг] из

(10) удоб­

нее всего получить методом прогонки [20, 207].

и МФ, 1, № 3, 542—545, 1961.

3. А л ь б ер Я. И.

К задаче минимизации гладких функционалов градиентны­

ми методами. Ж ВМ и МФ, 11, № 3, 752—757, 1971.

4. А л ь б е р Я. И.

Непрерывные процессы Ньютоновского типа. «Дифференц.

уравнения», 7, №

Ц, 1931— 1945, 1971.

5.

А н о р о в В. П. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего

вида,

I,

II.

«Автоматика и

телемеханика», № 3, 5— 15, 1967;

№ 4,

5— 17,

1967.

6. А р н е

Р. Дискретное динамическое программирование. М., «Мир»,

1969.

7.

А р к и н В. И.,

Л е в и н

В. Л.

Выпуклость значений векторных интегралов,

теоремы измеримого выбора и вариационные задачи. «Успехи матем. наук»,

27, вып. 3 (165), 21—77, 1972.

8. А т а н с

М.,

Ф а л б П.

Оптимальное управление. М., «Машиностроение»,

1968.

9.

Б а б и ч

М. Д.

Оценка

полной

погрешности при минимизации квадратич­

ного функционала

в шаре.

«Укр. матем. журн.», 22, № 3, 308—319, 1970.

10.

Б а б и ч

М. Д.,

И в а н о в

В. В.

Исследование полной погрешности в зада­

чах минимизации

функционалов

при наличии ограничений.

«Укр. матем.

журн.», 21, №

1, 3— 14, 1969.

12.

Б а к у ш и н е к и й

А. Б.

Регуляризующие

алгоритмы для решения некор­

ректных экстремальных задач. Сб. «Методы управления большими систе­

мами», т. 1. Иркутск, 1970, стр. 223—235.

13.

Б а х и т о Р. У.,

К р а п ч е т о в Н. И., К р о т о в В. Ф. Синтез приближенно­

оптимального управления для одного класса управляемых систем. «Авто­

матика и телемеханика», № 10, 33— 43, 1972.

- 14.

Б е л л м а н

Р.

Динамическое

программирование. М., ИЛ, 1960.

15.

Б е л л м а н

Р.,

Г л и к ' с б е р

И., Г р о с с

О.

Некоторые вопросы матема­

тической теории процессов управления. М., ИЛ,

1962.

16.

Б е л л м а н

Р.

Процессы

регулирования с

адаптацией. М., «Наука», 1964.

17.

Б е л л м а н Р.,

Д р е й ф у с С .

Прикладные задачи динамического програм­

мирования. М., «Наука», 1965.

у/’ 18.

Б е л л м а н

Р.,

К а л а б а

Р.

Динамическое программирование и современ­

ная теория управления. М.„«Наука», 1969.

19.

Б е р е з и н

И.

С.,

Ж и д к о в

Н. П. Методы

вычислений, т. I. М., «Нау­

ка», 1966.

20.

Б е р е з и н И. С.,

Ж и д к о в

Н. П. Методы вычислений, т. II. М., Физмат-

гиз, 1962.

;

хан., № 3, 43—51, 1972.

23.

Б о л т я н с к и й

В. Г.

Достаточные условия оптимальности и обоснование

метода динамического программирования. «Изв. АН СССР», сер. матем.,

28, № 3, 481—514, 1964.

24.

Б о л т я н с к и й

В. Г.

Математические методы оптимального управления.

366

Л И Т Е Р А Т У Р А

50.

В а с и л ь е в

Ф.

П.

Об итерационных

методах решения задач быстродейст­

вия, связанных

с параболическими уравнениями. Ж ВМ

и

МФ, 10,

№ 4,

942—957,

1970.

51.

В а с и л ь е в . Ф. П.,

И в а н о в

Р. П.

Некоторые приближенные методы ре­

шения задач быстродействия в банаховых пространствах при наличии фа­

зовых ограничений. ДАН СССР, 195, № 3, 526—529, 1970.

52.

В а с и л ь е в Ф.

П.,

И в а н о в

Р.

П.

О

приближенном

решении задачи)

быстродействия

с запаздыванием. Ж ВМ

и МФ, 10, № 5,

1124— 1140,

1970.

53.

В а с и л ь е в Ф. П.,

И в а н о в

Р. П.

О

приближенном

решении задачи

быстродействия в банаховых пространствах при наличии ограничений на

фазовые координаты. Ж ВМ и МФ, 11, № 2, 328—347, 1971.

у 54.

В е н т ц е л ь

Е.

С.

Исследование

операций. М., «Советское

радио»,

1972.

55.

В о р о б ь е в Л.

М.,

В о р о б ь е ва Т. М.

Нелинейные

преобразования в

прикладных вариационных задачах. М.,

«Энергия», 1972.

56.

В о р о б ь е в

Н. Н. Числа Фибоначчи. М., «Наука», 1969.

57.

Г а б а с о в

Р.,

К и р и л л о в а

Ф. М.

Построение последовательных

при­

ближений

для некоторых задач

оптимального управления.

«Автоматика и

телемеханика», № 2, 5— 17, 1966.

58.

Г а б а с о в

Р.,

К и р и л л о в а

Ф. М.

К

вопросу о распространении

прин­

ципа максимума Л. С. Понтрягина на дискретные системы. «Автоматика и

телемеханика», № 11, 46—51, 1966.

59.

Г а б а с о в

Р.,

К и р и л л о в а

Ф.

Качественная теория оптимальных

про­

цессов. М., «Наука», 1971.

60.

Г а б а с о в

Р.,

К и р и л-л о в а

Ф. М.

Современное состояние теории

опти­

мальных процессов. «Автоматика и телемеханика», № 9,

31— 62, 1972.

61.

Г а б а с о в Р., К и р и л л о в а Ф. М.,

С р о ч к о В. А., Т а р а с е н к о

Н. В.

Условия оптимальности высокого порядка. I. Вычисление особых управлений

(обзор). «Автоматика и телемеханика», № 5, 5—21, 1971. 11. Необходимые

условия оптимальности высокого порядка (обзор). «Автоматика и телеме­

ханика», № 6, 5— 24, 1971. III. Достаточные условия оптимальности высо­

кого порядка. Дискретные системы

(обзор). «Автоматика

и телемеханика»,

64.

Г а м к р е л и д з е

Р.

В.,

X а р а т и ш в и л и Г.

Л.

Экстремальные

задачи

в линейных топологических пространствах. «Изв. АН СССР», сер. матем.

33, № 4, 781—839, 1969.

65.

Г а м к р е л и д з е

Р. В.

Необходимые условия

первого

порядка и

аксио­

матика экстремальных задач. «Тр. МИАН СССР», СХП, 1971, стр. 152— 180.

66. Г а н ш и н Г. С. Расширение области сходимости метода

Ньютона. Ж ВМ

и

67.

МФ, 11, № 5, 1294— 1296, 1971.

Б.,

Г и н з б у р г

С. Л.,

Ф е д о р о в

Ю.

Г.

Г е л ь ф а н д И. М.,

В у л Е.

Метод оврагов в задачах рентгеноструктурного

анализа. М., «Наука», 1966.

68. Г е л ь ф а н д И. М.,

Ф о м и н

С. В.

Вариационное исчисление. М., Физмат-

69.

гиз, 1961.

Введение

в теорию исследования операций. М.,

«Нау­

Г е р м е й е р Ю. Б.

ка», 1971.

70.

Г о л е н к о Д. И.

Статистические методы сетевого

планирования и

управ­

Л И Т Е Р А Т У Р А

367

73.

Г о л ь ш т е й н Е. Г. Теория двойственности в математическом программиро­

вании и ее приложения. М., «Наука», 1971.

74.

Г о л ь ш т е й н

Е. Г.,

Ю д и н

Д.

Б.

Задачи

линейного программирования

75.

транспортного типа. М., «Наука», 1969.

Т о к а р е в

В. В. Механика кос­

Г р о д з о в с к и й Г. Л.,

И в а н о в

Ю. Н.,

мического полета с малой тягой. М., «Наука», 1966.

76.

Г у л е н к о В. П.,

Е р м о л ь е в

Ю. М.

О некоторых задачах

оптимального

управления с уравнениями эллиптического типа. Тр. семинара «Теория оп­

тимальных решений», вып. 1. Киев, 1968.

77.

Г у л е н к о В. П.,

Е р м о л ь е в

Ю. М.

Конечноразностный метод в задачах

оптимального управления с уравнениями Дарбу. Тр. семинара «Теория оп­

78.

тимальных решений», вып. 2. Киев, Изд-во АН УССР, 1968.

методе в

Г у л е и к о

В.

П.,

Е р м о л ь е в

Ю.

М.

О

конечноразностном

задачах

управления

системами

с

распределенными

параметрами.

«Ки­

бернетика», № 5, 81—83, 1970.

79.

Г у р и н

Л.

С.,

Д ы м а р с к и й

Я-

С.,

М е р к у л о в

А. Д.

Задачи

и ме­

тоды оптимального распределения ресурсов. М., «Советское радио», 1968.

80. Д а й о в и ч

С.

К

теории оптимальных

процессов

в

линейных

системах.

«Дифференц. уравнения», 8, № 9, 1687— 1690, 1972.

81. Д а н и л и н

10.

М.

Минимизация нелинейных функционалов в задачах с

ограничениями. «Кибернетика», № 3, ПО— 117, 1970.

82. Д а н и л и н

10.

М.

Методы минимизации, основанные на аппроксимации

исходного функционала выпуклым. Ж ВМ

и МФ, 10, № 5, 1067— 1080,

1970.

83. Д а н и л и и IO. М.

Оценка эффективности одного алгоритма отыскания аб­

солютного минимума. ЖВМ и МФ, 11, № 4, 1026— 1031, 1971.

84. Д а н и л и н

Ю. М.

Методы сопряженных

направлений

для решения

задач

.

минимизации. «Кибернетика», № 5, 122— 136, 1971.

'i 85.

Д а н и л и н

10.

М.,

Пи я в е к и й С. А.

Об одном

алгоритме отыскания аб­

солютного минимума. Тр. семинара «Теория оптимальных решений», вып. 2.

Киев, Изд-во АН УССР, 1967, стр. 25—37.

86. Д а н и л и н

Ю. М.,

П ш е н и ч н ы й Б . Н.

О методах минимизации с уско­

ренной сходимостью. Ж ВМ и МФ, 10, № 6, 1341—.1354, 1970.

87. Д а н и л и н

10.

М.,

П ш е н и ч н ы й

Б. Н.

Метод минимизации без вычис­

ления производных. ЖВМ и МФ, 11, № 1, 12—21, 1971.

88. Д а н ф о р д

Н.,

Ш в а р ц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.,

ИЛ, 1962.

89. Д а ф ф и н

Р.,

П и т е р с о н

Э.,

3 е н е р

К.

Геометрическое

программиро­

вание. М., «Мир», 1972.

90. Д е г т я р е в Г. Л.,

С и р а з е т д и н о в Т. К. Об одной задаче оптимального

управления системами с распределенными параметрами. «Изв. АН СССР»,

сер. техн. кибери., №

1, 151— 160, 1967.

91. Д е г т я р е в Г. Л.,

С и р а з е т д и н о в

Т. К.

Об

оптимальном

управлении

одномерными процессами с распределенными параметрами. «Автоматика и

телемеханика», № 11,29—38, 1967.

92. Д е г т я р е в Г. Л.

Об оптимальном управлении распределенными процесса­

ми с движущейся границей. «Автоматика и телемеханика», № 10, 44—56,

■1972.

93. Д е м ь я н о в В.

Ф.

Построение

программного управления,

оптимального

в интегральном смысле. «Прикл. матем. и механ.», 27, вып. 3, 554—558, 1963.

94. Д е м ь я н о в В.

Ф.

К

построению

оптимальной

программы

в

линейной

системе. «Автоматика

и

телемеханика», 25, №

1, 3— 11,

1964.

368

Л И Т Е Р А Т У Р А

95.

Д е м ь я н о в

В. Ф.

Об одной

нелинейной

экстремальной задаче. ЖВМ и

МФ, 7, №

1, 33—51, 1967.

•96. Д е м ь я н о в

В. Ф.,

М а л о з е м о в В. И.

Введение в минимакс. М., «Нау­

ка»,

1972.

•97. Д е м ь я н о в

В-. Ф.,

Р у б и н о в

А. М.

Приближенные

методы

решения -

экстремальных задач. Изд-во ЛГУ, 1968.

98.

Д м и т р и е в М. Г.,

П о л е щ у к В. С.

О регуляризации

одного класса не­

устойчивых экстремальных задач. Ж ВМ

и МФ,

12, № 5,

1316— 1318, 1972.

99.

Д у б о в и ц к и й

А. Я.,

М и л ю т и н А. А.

Задачи на экстремум при нали­

чии ограничений. Ж ВМ и МФ, 5, № 3, 395— 453, 1965.

100.

Д у б о в и ц к и й

А. Я.,

М и л ю т и н А. А.

Необходимые условия

слабого

экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограниче­

ниями типа неравенства. ЖВМ и МФ, 8, № 4, 725—779, 1968.

101.

Д у б о в и ц к и й

А. Я.,

М и л ю т и н А. А.

Необходимые

условия

слабого

экстремума в общей задаче оптимального управления. М., «Наука»,

1971.

102.

Д ы ш и и

О. А.

Градиентный метод решения оптимальной задачи для си-

_

стемы телеграфных уравнений ЖМВ и МФ,

12, № 6, 1465— 1477,

1972.

<ТОЗ) Е в т у ш е н к о Ю.

Г.

Численный метод поиска

глобального

экстремума

функций

(перебор

на неравномерной сетке). Ж ВМ и МФ, 11,

№ 6, 1390—

1373,

1971.

104.

Е г о р о в

А.

И.

Оптимальные процессы в системах с распределенными

параметрами и некоторые задачи теории инвариантности. «Изв. АН СССР»,

сер. матем., 29, № 6, 1205— 1260, 1965.

105.

Е г о р о в

А.

И.

Об

условиях оптимальности

в

одной задаче

управления

процессом теплопередачи. ЖВМ и МФ, 12, №' 3, 791—799, 1972.

106.

Е г о р о в А .

И.,

Р а ф а т о в Р .

О приближенном решении одной задачи

оптимального управления. Ж ВМ и МФ, 12, № 4, 943—959, 1972.

107.

Е г о р о в

Ю. В.

Некоторые задачи теории оптимального управления. ЖВМ

109. Е р м о л ь е в

Ю. М.

Методы решения

нелинейных экстремальных

задач.

«Кибернетика», № 4, 1— 17, 1966.

110. Е р м о л ь е в

Ю. М.

О методе обобщенных стохастических

градиентов и

стохастических квазифейеровских последовательностях. «Кибернетика», №2,

73—83, 1969.

v

111. Е р м о л ь е в

Ю. М.,

Г у л е н к о

В. П.

О численных методах решения за­

дач оптимального управления. «Кибернетика», № 1, 72—78,

1966.

112. Е р м о л ь е в

Ю. М.,

Г у л е н к о

В. П.

Конечно-разностный

метод

в зада­

чах оптимального управления. «Кибернетика», № 3, 1—20, 1967.

113. З а х а р о в

Г.

К.,

П л о т н и к о в

В. И. Линейные оптимальные

быстро­

действия с двумя группами управляющих параметров. ЖВМ

и МФ, 8, № 6,

1196— 1207,

1968.

114. З о й т е н д е й к

Г.

Методы возможных

направлений. М., ИЛ, 1963.

ными объектами. Л., «Судостроение», 1966.

116.

3 у х о в и ц к и й С. И.,

А в д е е в а

Л. И.

Линейное и выпуклое программи­

рование. М., «Наука», 1967.

117.

3 у х о в и ц к и й С. И.,

П о л я к Р. А., П р и м а к М. Е. Численный метод

для решения задачи выпуклого программирования в гильбертовом простран­

стве. ДАН СССР, 163, № 2, 282—284, 1965.

118.

3 у х о в и ц к и й С. И.,

Р а д ч и к

И. А.

Математические методы сетевого

планирования. М., «Наука», 1965.

119.

И в а н и л о в Ю. П.,

П р о п о й

А. И.

Задачи динамического выпуклого

программирования. Ж ВМ и МФ, 12, № 3>571—581; 1972.

Л И Т Е Р А Т У Р А

369

121.

И в а н о в

Р. П.

Об

одном критерии-

оптимальности и связанном с ним

итерационном методе решения задачи

быстродействия. Ж ВМ

и МФ,

11, № 3,

597—610,

1971.

122.

И в а н о в

Р. П.

Об одном итерационном методе решения задачи быстро­

действия. Ж ВМ и МФ, 11, № 4, 1031— 1037, 1971.

123.

И в а и о в а

Г. П.

О

теоремах

существования в вариационном

исчислении.

ДАН СССР, 170, № 2, 253—256, 1966.

124.

И в а н о в а

Т. П.,

П о л я к Б. Т.,

П у х о в а

Г. В.

Численные

методы

ре­

шения

некоторых

экстремальных

задач

с частными производными. В

сб.:

«Вычисл. методы и программирование»,

вып. 9.

Изд-во

МГУ,

1967,

125.

стр. 194—203.

К а л а ш н и к о в

А. С.,

О л е й н и к О. А-

Линейные

урав­

И л ь и н

А. М.,

нения второго порядка параболического типа. «Успехи матем. наук»,

17,

126.

вып. 3 (105), 3—1146, 1962.

Основы

математического анализа,

ч.

1. М.,

И л ь и н

В. А.,

П о з н я к Э. Г.

«Наука»,

1971.

127.

И о си д а

К. Функциональный анализ. М., «Мир», 1967.

128.

И о ф ф е

А. Д.,

Т и х о м и р о в

В. М.

Двойственность выпуклых

функций

и экстремальные задачи. «Успехи матем. наук», 23, вып. 6 (144),

51— 116,

129.

1968.

А. Д.,

Т и х о м и р о в

В. М.

Расширения

вариационных задач.

И о ф ф е

«Тр. Моек, матем. об-ва», т. 18. Изд-во МГУ, 4968, стр. 187—246.

130.

И с а е в

В. К.,

С о н и н В. В.

Вычислительные

аспекты задачи

об

опти­

мальном перелете как краевой задачи. Ж ВМ

и МФ, 5, № 2, 252—261,

1965.

131. К а н т о р о в и ч

Л. В.,

А к и л о в

Г. П.

Функциональный анализ в норми-

рованньйГпространствах. М., Физматгиз, 1959.

132.

К а н т о р о в и ч

Л. В.,

Г о р с т к о

А. Б.

Оптимальные решения в экономи­

ке. М., «Наука», 1972.

133.

К а р л и н

С.

Математические

методы

в

теории игр,

программирования и

экономике. М., «Мир», 1964.

134.

К а р м а н о в

В. Г.

Математическое

программирование, ч.

1.

Изд-во

МГУ,

1968.

Н. Е.

Вычислительные методы теории оптимального управления.

'135. К и р и н

Изд-во ЛГУ, 11968.

136.

К л е с т о в Е. А.,

С и р а з е т д и н о в Т. К-

Оптимальное по быстродействию

управление угловыми движениями и крутильными колебаниями упругого

летающего крыла. «Автоматика и телемеханика», № 10, 57—66, 1972.

137.

К о л м о г о р о в

А. Н.,

Ф о м и н

С. В.

Элементы

теории функций

и функ­

ционального анализа. М., «Наука», 1972.

138.

К о р б у т

А. А.,

Ф и н к е л ь ш т е й н

Ю. Ю.

Дискретное

программирова­

ние. М., «Наука», 1969.

139.

К р а с о в с к и й

Н. Н. Теория

управления

движением. М.,

«Наука»,

1968.

140.

К р а с о в с к и й

Н. Н. Теория оптимальных управляемых систем. Механика

в СССР за 50 лет, т. 1. Общая и прикладная

механика. М., «Наука»,

1968.

141.

К р и в е н к о в

Ю. П. Математические и вычислительные вопросы линейного

динамического программирования. Тр. Вычисл. центра АН СССР. М., Изд-во

142.

ВЦ АН СССР, 1969.

Г у р м а н

В. И. Новые

методы вариа­

К р о т о в

В. Ф.,

Б у к р е е в В. 3.,

ционного исчисления в динамике полета. М., «Машиностроение»,

1969.

143.

К р ы л о в

И. А.

Численное решение задачи об оптимальной стабилизации

спутника. Ж ВМ и МФ, 8, № 1, 203—208, 1968.

144. К р ы л о в

И. А.,

Ч е р н о у с ь к о Ф .

Л.

О методе последовательных при­

ближений для решения задач оптимального

управления. Ж ВМ

и МФ,

2,

№ 6, 1132—.1139, 1962.

Ф. Л.

Решение задач оптимального уп­

145. К р ы л о в

И. А.,

Ч е р н о у с ь к о

равления методом локальных вариаций. ЖВМ и МФ, 6, № 2, 203—217,1966.

146.

К р ы л о в

И. А.,

Ч е'р н о у с ь к о Ф. Л.

Алгоритм метода последовательных