книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

§ 2]

Задачи

с незакрепленным

временем

225

И при

+

])‘>

“ * ( * ) =

— 1

ПРИ

—

-|— — <

г! < — +

— ,

m =

0 , 1 , . . . ,

k — 1,

и при

k

2k

k.

k

*

у - (Tk +

1) <

t <

Tk\

3)

{xk (t)} =

{ ( 4 (t),

x\ (0} — траектории,

соот­

ветствующие

управлению

uk (t),

0 -< t -< Tk;

4

(0) =

4 (0) = 0,

4 ( 7 4 = 1 ,

_

4 _

_ _ 2 _

4 ( 7 ’*) =

0,

( 1 — a

3 j * <

4 ( 0 <

t,

о < 4 ( 9

<

*

3 .

0 < ^ < 7 1*,

k =

l ,

2 , . . .

Покажем,

что

1

=

Г*,

где

Т ‘ — оптимальное время.

Для

этого возьмем функцию 7( (х, 9 =

— х1.

Тогда

R (х,

и,

t) = (х2)2—

— и8 +

1;

ini

inf

R(x, и, t)= 0 ,

Г

R {xk {i),

uk {t),

t)dt =

1k

(9 ? d t -

j

14

*6£t

1U|<1

J

0

-

j

( k

(o i2— i ) ^ =

J

i4 (o i2^-^o(yfe

oo);

r0(x,

0) =

0

0

0

при

x 6 G (0);

rx (x,

T) =

1

при x £ G

(T ) , T >

0.

Кроме того,

очевидно, формула

(6)

справедлива для всех до­

пустимых

{x{t),

u (t))^ D [0,

Т], T^zO. В силу теоремы 1

тогда J(u h,

Th) =

ТЙ-И =

Т*

(Т* — оптимальное время). Минимизирующие по­

следовательности Th,

xk (t),

uk (t),

k — l,

2,

...,

для

рассматривае­

мой

задачи построены.

Остается

заметить,

что эта

задача

опти­

сающееся задачи быстродействия.

Т е о р е м а

2.

Пусть

в задаче (1 )— (5): / °= 1,

<p0= O i = 0 ,

ц = { Т : Т ^ и } ,

начальный

момент to закреплен. Пусть имеются

последовательности

Tk& u

(xh(t),

uh{t))^ D [t0, Th] (6 = 1 ,

2, ...),

где Tk- + T * > t 0. Для того чтобы Т*

было оптимальным

временем,

достаточно существования функции К(х, t), такой, что:

(x(t),

1) формула

(6)

верна

для любой допустимой

пары

u(t))^ D [t0, 7] при всех T ^ t Q\

2)

Нш f R(xk (t),

uk (t),

t)dt =

f Rmln(t)dt, Rmin(t)= ini R(x,u,t)

k-><x> J

J

(x ,u )e D t

3)

| [Rmln(t) — 1] dt< 0

при любых

T, t0 <CT< 7 ” ;

4)

lim rx (xk (Tk) ,

Tk) = rxmln =

inf

inf

rx {x, T ),

k-*oo

<0< Г < Г * x £ X T

iim rQ(Xfc (ty), t0)

Tqm;n

inf

Гд(х,

tq).

fe->oo

x£Xf0

сти для

фиксированных T * > t 0,

(х*(0> и* (t))^ D [t0, Т*]

в

этой

теореме

надо принять Th= T * ,

xk ( t ) = x * ( t ) ,

Uk(t)— u*(t)

и

все

предельные переходы заменить простыми равенствами.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

выполнены

все условия теоремы,

существуют момент Т и пара

(x(t),

u (t))^ D [t0, Т],

такие,

что

Т<С.Т*. Согласно формуле (6) будем иметь

-

г

J{u ,

T ) - J ( u k (t), Tk) =

T

- T

k =

$

R(x (t),

и (t), t ) d t -

Tk

to

Uh (t) ,t ) d t

+

rx (x (T) , T

) - r x (xk (Tk),

Tk) +

- J

R (Xk (f),

~г r0 (x (t0) ,

t0)

r0 (xk (t0), t0).

7'•

Отсюда при

k

+ oo получим

T — T* = —

J Rmin (t) dt +

*0

+

J R{x{t),u(t),

t) dt -j- тX(x (T) , T)

f

-\r rQ(x (tQ), tQ)

/'omln^’

to

T*

>

- ]

RmlA t ) d t > T - T \

Полученное противоречие доказывает теорему. А

П р и м е р 2.

Пусть требуется наибыстрейшим образом переве­

сти точку х =

(хх, х2) из положения

(1, 0)

в начало координат (0,0)

при условии,

когда движение точки подчиняется условиям х х— х2,

х2= и , \u(t) | < 1, 0 ^ < Г .

Возьмем

Т* =

2; u * ( t ) = — 1 при 0'==£^И

и м * ( 0 =

+ 1

при

K

f ^ 2 ;

соответствующую траекторию at'* ( 0 =

1—0.5i2 при 0 ^ ^ ^

< 4

и X х*

( 0 = 0 . 5 (t—2 )2

при

1й £/<2; x2* ( t ) = —t при

и

§ 3]

Дискретные

управляемые

системы.

Оценка

погрешности

. 227

x2*(t) =st—2 при

1 ^ ^ 2 .

Указанные

управления

и траектория

легко

находятся

из

принципа

максимума

(см. пример 3.2.2.).

Покажем, что они являются оптимальными. Возьмем функцию

К(х, t ) = x l— (t— 1)х2. Тогда

R(x,

и, £)

-х2+ /(х=-гг+К *+1 =

= _ ( i _ l )M + l t

r0(x,

0) s= 1

при

x e G (0 ) =

{(l, 0 )}, r,(x,

T ) = 0

при .ie G ( r ) = {(0,

0 )}. Очевидно,

inf

M R {x ,

u,

t ) ^ — \t— Y\+l = R

ln(t)=R (x*(t),

t),

x € E a |u|<l

2

2

*

[/?mln (0 —

1 ]^ ----- JU —

T

T

при всех Г<С2,

и формула

(6)

верна

для всех допустимых пар.

В силу теоремы 2

момент Т* =

2 и пара t(x*(t), u *(t))^ D [0,

2] оп­

тимальны.

Заметим, что функция Веллмана в этой задаче име'ет разрывы

первой производной как раз на оптимальной траектории [24,

195], в

то время как функция Кротова К(х,

t) является

просто много­

членом.

Упражнения.

1.

Решить проблему синтеза для задачи быстрей­

шего перевода точки х = (х1, х2)

из заданного состояния

(х),,

х2) =

= х 0фО в начало координат при условиях

а)

х1 =

ха,

х2 — и (t),

| и (*)[< 1 ,

0 < ^ < 7 ’;

б)

хх =

х2,

х'2 =

— хх +

u{t),

| и (*)|<1,

0 < / < Г ;

в)

х1 =

х2 +

их,

х3 =

х1 -(- и2,

|и£(/) |<

1

(t = 1,

2),

0 .< * < 7 \

2.

Перевести точку х = (х1, х2,

х8) из начала координат в то

Xi = (а,

0, 0) быстрейшим образом,

если

х1 =

х3, х2 =

х3,

х8 = u(t),.

| и ( 0 1 < К

0 <

t < Т ;

а — const. Показать,

что оптимальное

время

Т* = р

3 2 1а |.

N

1 ([“.]) = £ Pt (xh Щ) + Ф0 (х0) ф- Ф1(xN)

(1)

{=0

228

ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИЯ

ОПТИМАЛЬНОСТИ

\Гл. 5

при условиях

0, 1, 2 , . . . , N - 1,

X{+i — Fi (Xj, U;),

£

(2)

xt 6 Gi,

щ 6 Vit

£ =

0 , 1 , 2 , .

N,

(3)

где

-

x, =

(x[,

Xi, . . . , Xi),

Fi =

(Ft,

. . .

, F i),

щ =

(«i..........,

uri): mho-

жества

GiCZEm, ViCZEr, £ =

0,

1,

. . . , N, заданы; функции F{ (х, и)

определены при (х,

u )^ G iX V {,

£ = 0 , 1,

N,

/ = 0 , 1,

п\ функ­

ции Ф0(х) и ФДх)

определены при х е О 0

и x e G lV соответственно;

£— дискретное время,

£ = 0 ,

>1,

N, момент N будем считать из­

вестным;

Как мы убедились в §

4.1, к таким задачам приводит разност­

ная

аппроксимация

задачи

оптимального управления с

непрерыв­

ным временем ([6, 26, 59, 119, 196,

231, 234] и др.).

Если задать управление [и ,]=

(ц0,

«ь •••,

uN) и начальное усло­

вие х0— а, то из уравнений

(2) однозначно

определяется дискрет­

ная

траектория [хг] = (ха, х и

..., хк).

Пару

([xf],

[цг])

назовем до ­

пустимой, если она удовлетворяет условиям

(2),

(3).

Множество

всех

допустимых

пар обозначим

через D.

Допустимую

пару

( [ * ] ,

[«*]) назовем оптимальной,

если

I ([«Л) = inf / ([«,-]) = !*■ П°~

следовательность

допустимых пар

D

назо­

([лег,*], [г^,Л),

/г= 1,

2,

...,

вем

оптимальной,

если она

минимизирует

функционал

(1),

т. е.

П т / ( К Л ) =

/ * .

k-*oo

следующим образом:

(х,

u)^ D i,

если существует допустимая пара

([хт ], Ы е й

, такая,

что Xi =

x,

щ = и. Далее,

через Xi обозначим

множество всех

тех x e G i, для

которых существует

хотя бы

одно

и^. Vi такое,

что

(я, u)^D i.

при x ^ X it i — 0,

Возьмем

функцию К Д х),

определенную

1, ...,

..., АТи положим

R t (х, и) = К с+1 (Е; (х,

и)) — Ki {х) +

F°i{x, и),

£

=

0,

1, . . . , N — 1,

Г0(х) = Ко (х) -(- Ф0 (х),

Г2 (X,

и) =

К.И (х) 4-

Фх (х)

-j- F^j (х,

и).

(4)

С помощью э т т

функций значение функционала

(1)

на любой до­

пустимой паре можно представить в виде

N —1

I ([«Л) =

£

Яг (Xj,

Щ) + Гх (xN, uN) +

rQ(х0).

( 5 )

§

3]

Дискретные управляемые

системы.

Оценка

погрешности

229

В

самом деле,

£

( * t, “ ;)

=

£

I K i+ i (A'i+i) —

K i

( * ;) ]

+

£

F ?

(x £, u t) =

1=0

i=0

£=0

Ко( x ‘o) " T

JV—1

Гl ( X j V ,

— /^ . W (-*-j v )

/ * £ ( - ' - i ,

W ; ) — / ( [ ^ i ] )

^ v ) '

/ о ( ^ o ) ,

t= 0

что равносильно

(5).

Т е о р е м а 1. Для оптимальности последовательности допусти­

мых пар

([x£ift], [«г, d ),

k — \, 2,

достаточно существования функ­

ции Ki(x),

i = 0 , 1,

N, такой,

что:

1)

lim Ri(xik,

uik) = R imin=

inf Rt (x, u),

i =

0,

1 , . . . , Л/-— I;

f t - » o o

{ x , u ) £ D ^

2)

lim /y^fc,

uNk) ' = r lmln=

inf

гх (х,

u)\

f t - » o o

( Л , u ) £ D n

lim r0 (xok) =

r0mln =t inf r0 (x).

k -*o o

x £ X 0

{ Для

получения

формулировки

достаточного

условия оптимально­

сти для

фиксированной пары

([х*],

[«*])££)

здесь

надо

принять

Хц,

=

х\,

uik =

и\,

i =

0,

, N,

и все предельные переходы заменить равенствами.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную допустимую па­

ру ({*,•], [«г]). С помощью формулы (5) имеем

N —I

^ ([“ (•])

^ ([Uift]) =

^ [Ri(Xi,

«;)—

R i ( x ik,

U,-ft)I+

гг (xN,

UN) —

i=0

— rx (xNk,

uNk) +

r0 (x0) — r0 (x0lft) ,

k = 1,

2, . . .

/ ([££;]) — lim / ([uik]) =

N — I

[Ri (xh щ) — Rtmin] +

V

fcM0

i=0

-f- 1 \ (XjV,

U ]\i) 1 \ min ~T

! o (X a)

r 0 min ^ 0 •

Следовательно,

/* = inf / ([u£]) >

lim

/([«i,ft]).

D

k-bOQ

Однако / ([«г,*]) > Г ,

k — \, 2, . . .

,

поэтому lim /([uift]) = Г .