книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

312

МЕТОДЫ РЕШ ЕНИ Я ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

[Гл. 7

предполагать, что множества

Ut удовлетворяют следующим усло­

виям I— III.

I.

Множество Ut выпукло и слабо

компактно

в

B t при

каж ­

дом t,

t0< t <

+ oo.

II.

Если

u = u (x ) ^ U t, то

управление

и(т),

рассмотренное на

отрезке

при любом s,

является элементом из Us,

т. е. «сужение»

управления и{т) из Ut

на

отрезок

[г?0,

s ] s [ ^ 0, t]

является управлением из Us.

t,

t0< t <

+ oo,

III. Существует число Д >0, такое,

что при всех

любое управление

u (x )^ U t

можно

доопределить

на

отрезке

[i, £+Д] так,

чтобы

продолженное

управление

было

элемен­

том Ut+A.

множество Ut из

Очевидно,

(2)

удовлетворяет всем условиям

I— III,

а именно, здесь Bt =

bir)[t0,t],

всякое управление и(т ) е

может быть продолжено при всех т>^, например, так: и(т) =

= {cti(x), ..., Ог(т)},

и в качестве Д

можно взять

любое положи­

тельное число.

Другим примером множества Ut со свойствами I— III является

шар в Zir) Ro. Л

при любом конечном t > t 0:

и 1=

{и = и ( т ) е й г) [f0, /]:! и (х)

(т)

< R } ,

(Ю)

где и0(т) — заданная

функция

из

Lir) [t0, tf],

R > 0

— заданная

константа; всякое u(x)^ U t здесь

может

быть

продолжено

при

'x>t, например,

так: и (х )= и о(х ).

B t

Ut

Возможно,

что

пространства

и

множества

не

зависят

выбраны

из некоторого множества

£/;==!/

и в процессе движения

остаются неизменными. Условия II, III здесь, очевидно, выполня­

ются всегда.

B t

Ut

Итак, пусть пространства

и множества

со свойствами

I— III заданы

при каждом t>.t0. Далее,

пусть при каждом

t,

t0<

< t < + oo, задано линейное пространство L t функций х (т ),

опреде­

ленных

при

причем

для

каждого

фиксированного

т е [^ 0, t\ значение э!и х

функций

является

элементом

некоторого

гильбертова пространства X (пространство

X не зависит от t,

т).

Пространство

L t будем

называть

пространством

траекторий, а

функции х(х)

из L t — траекториями.

из X,

Пусть х0 — некоторая заданная точка

и

пусть

при

каждом

t > t 0 любому управлению

u el/ j и точке

Хо

поставлена

в соответствие некоторая траектория х ( х )= х ( х ,

u)^ .Lt, удовлетво­

ряющая

начальному условию

x(tQ, и ) = х 0.

Будем

предполагать,

что выполнены следующие условия IV—V II.

§ П

Постановка

задачи

313

IV. Если и = и ( х ) ^ и и v = v (x )^ U s, причем

u(x)z=v(x)

при

/0< т < 'я = т т { ^ ■?},

то х(х,

и )= х ( х ,

v)

при /о^тг^а

для любых

t, s > t 0-

любого <t, t0< t <

+ oo,

существует управление и0 -

V. Для

= u0(x )^ U u

такое,

что при

всех u = u (x )^ U t. справедливо

пред­

ставление

х(х, и) = х{х,

и0) +

К{х)

(« — и0), t0 < т < г 1,

(11)

где x(t0, и0) = х 0, К(х) —

однопараметрическое

семейство линей­

ных операторов, действующих из Ux в Lx, t0<^x<Ct, причем

IIК (0 (и — w0)||x< K tIIи — и0\В(

для любого u^Ut, Kt> 0 —

постоянная,

не

зависящая от u ^ U t

(ср. с (5), (7)). Сразу же заметим,

что нам будет важен сам факт

существования представления

(11);

при

описании и исследовании

алгоритмов оператор К(х)

не будет использован.

VI. Если uh^ U t, k=.\, 2,

..., и

{uh} сходится к ue£/f слабо в

B t, то х(х, %)->-х(т,

и) слабо

в X

при всех т<=|7о,

и всех

t > t 0

(ср. с (9)).

х(х,

u ) ^ L t непрерывны

по т е [То, <]

равно­

VII. Траектории

мерно по u eU t, т. е.

sup |х (т +

А х, и) —гх (х, и) |=

( |Ах |, т ) ->• 0

при

u£Ut

Д т-»-0 ; т, т 4 - А т 6 [^о. *]

(ср. с (8)).

Как видим, траектории системы (1) на

множестве

(2)

или

(10) удовлетворяют

всем

условиям

IV—V II

(и даже несколько

такие Т* и u* = u *(x )^ U T*, что х(Т*, и *)= у , причем для любых

других Т и ие£/т, для которых х(Т, и ) = у

справедливо неравенст­

во Т ^ Т * . Такие Т* и и*(т) £ U\t*

будем

называть оптимальным

решением задачи быстродействия,

Т* — оптимальным временем,

екторией. Прежде чем

переходить

к исследованию

поставленной

задачи быстродействия,

сделаем

З а м е ч-а н и е. В сформулированной задаче

быстродействия

начальное условие x(t0,

и) = х 0 мы

считализаданным. Однако

данного множества

С Х . В таких задачах в качестве управле­

ния следует

взять_ пару

(«(т ),

х0) = и ( т),

вместо,

множества Ut взять(/, = Utx X t 0,

вместо

B t — пространство B t—

= B tx X . Если

множество

X to выпукло,

замкнуто

и ограничено

в X, a Ut удовлетворяет условиям

I— III,

то Ut также -будет удов­

летворять условиям

I— III

в 5(. В этом случае в условиях IV—V II

ми (1), где u — w = ( w i, ...,

wr) является параметром, выбираемым

из некоторого множества

WczET в

начале движения и в дальней­

шем не меняющийся. Показать, что если W — выпуклое замкнутое-

ограниченное множество из Ег, то

все условия I—V II для такого

управляемого объекта выполнены.

У к а з а н и е . Принять Ut= W ,

B t= E r, при всех t > t 0, Х = Е п —

ных траекторий х(х,

и), t o ^ x ^ t ,

когда и = и (х)

пробегает

все

множество

Ut, т.

е.

Xt= x { t , Ut),

t > t 0. При t — t0 естественно при­

нять

X fo =

{x0}

—

это множество в данном случае

состоит

из

одной начальной точки Хо.

Л е м м а

1.

Если выполнены условия I, V, VI, то множества

Xt выпукло, замкнуто, ограничено в

X и,

следовательно,

слабо

компактно в X.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нетрудно видеть,

что из представления.

(1.11)

вытекает

тождество

х{х,

а м + (1 — а)г/)г=ах(т,

и) +

+ (1— ct)x(x,

v),

t ^ x s ^ t ,

справедливое при всех и, v ^ U t,

t > t 0, и.

любых вещественных а. Отсюда

и из выпуклости

Ut

следует вы­

пуклость Xt. Ограниченность множества Xt является

следствием-

ограниченности Ut и свойства V:

И * , и)1* "<11л:(^> «о) Их -j- Kt\\u — и0\\в{ <||х (t, «0)||х + KtD,

где

'

D =

sup ||и— о||в, — диаметр множества Ut.

u , v £ Ut

1

§ 2]

Критерии управляемости и оптимальности

315

которому u e.U t. Однако по условию VI xhn = x(t, uhn)-+x{t,

u )^ X t

слабо в X. Следовательно,

x(t, u ) = x ^ X t, что и требовалось. Сла­

бая компактность Xt следует из теоремы 6.1.2. ±

При изучении задачи

быстродействия большую роль

играет

функционал

М(с, t) = min (с, x — y)x = min (с, х (t, и) — у)х =

хе х(

иgut

= min (с, х)х — (с, у)х,

(1)

х

О п р е д е л е н и е

1. Описанный

выше управляемый

объект

{х(т, и), и ^ и и

t>ti>}

будем

называть (у, Т) -управляемым, если

существует управление

« = и (т )е 1 / г ,

такое,

что

соответствующая

траектория х(т,

и),

t o ^ r ^ T ,

удовлетворяет

условию

х(Т, и )= у ,

иЛи, иначе говоря,

у ^ Х т.

Т е о р е м а

1.

Пусть выполнены условия

I,

V, VI.. Тогда для

(у, Г)-управляемости объекта

{х(т, и), u ^ U u t>U>}

необходимо

и достаточно, чтобы М(с, Т)^.О при всех

с^ Х ,

или в эквивалент­

ной форме min (с, х) •< (с, у)

для любого

c e l .

Для

того

чтобы

хехт

М(с,

Г * ) ^ 0 при любом

с е Х и для любого

t,

сущест­

вовал

элемент с(е Х ,

такой, что M (ct,

t)> 0 .

Иначе говоря,

Т*

—

минимальное время

среди всех T > t0,

для

которых

объект

(у,

Т)-

управляем.

Т*

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Условия оптимальности

являются

прямым следствием условия (у, Г)-управляемости,

поэтому доста­

точно доказать первое утверждение теоремы.

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть объект

(у,

Г)-управляем.

Тогда

У 6 Хт и М(с, Т) = min (с, х — у ) < ( с , у — у) =

О

"

х £ Х т

S 2]

Критерии

управляемости

и

оптимальности

317

Н е о б х о д и м о с т ь .

Если объект (у, Г)-управляем,

то соглас­

но теореме

1 М(с, Г) ^

0

при

любых

с ^ Х

и,

следовательно,

р (7 ) =

шах М{с, Т) < 0 .

Однако,

как

было

замечено

выше,

p ( t ) ^ 0

с £ в

при всех t ^ t о. Поэтому р(Г) = 0 .

М(с,

Т) ^ р ( Г )

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Если

р (Т )= 0 ,

то

= 0

при

всех

c^ G .

В

силу соотношения (2)

тогда

М(с,

Т) ^ . 0

при

всех

с е Х

По теореме

1 этого достаточно для (у, Г)-управляемости. А

Таким

образом,

для

решения

задачи

быстродействия

надо

уметь находить наименьший нуль функции р (0

при t ^ t 0. С этой

целью

полезно

выяснить

некоторые

свойства

функции

р (t) = max min (с,

х — у),

дать

по

возможности

простые

способы

c6G x t X f

вычисления ее значений.

Т е о р е м а

3.

Пусть выполнены условия I,

V,

VI.

Тогда

зна­

чение функции р(^)

при любом t ^ t 0 выражает

собой

расстояние

от точки у до множества Xt и представимо в виде

р (t) =

inf \х — у\ =

1 х{ — у\ =

(cit xt — y) = M (ct, t),

(3)

х £ X t

где xt = Р х

(у) — проекция точки у

на множество

X t,

ct =

х*~

у

■

при

г/£

X , и с, = 0 при г/£ Xt.

II Xt —

//II

Если y £ X t,

то М(с,

t)

достигает своего максимума на

G

в един­

ственной точке Ct.

проекции Xt

у на

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование

точки

множество

Xt следует

из

теоремы

2.3.1.

Покажем,

что

пара

(с;,

xt) ^ G x X t

образует

седловую

точку

функционала

(с, х— у)

переменных (с,

x ) ^ G x X t в следующем смысле:

(с, xt— y ) ^ { c t,

xt— y ) ^ { c t, х— у)

при л ю б ы х х е Х ,

c^ G .

(4)

Если y ^ X t, то Xt= у,

с4 = 0, и неравенства

(4), очевидно,

выполне­

ны. Поэтому пусть y £ X t. Тогда ct=

(xt— у) \\xt— г/||-1, и справедли­

вость левого

неравенства

(4) следует из неравенства Коши — Бу-

няковского:

(с, xt — г/) <||с||-||х<— г/1|<||х,— у\\= (ct, xt — y)

при всех c e G . Правое неравенство

(4)

равносильно

(с*, х— Х /)^ 0,

или

(xt— у,

х—X;) ^

0, х ^ Х и

и

является' прямым

следствием

свойств

проекции из теоремы

2.3.1.

Соотношения

(4)

доказаны.

Из правого неравенства

(4) сразу следует

U t — y \ = { c u xt — y ) =

min fo , x — y) =

M(ct, t).

x £ X t