книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

320

МЕТОДЫ

РЕШ ЕНИ Я ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

\Гл. 7

u.t— Ut{x)^U t на

[£,

£+А ],

можем считать,

что х(х,

н , ) е ! х

при

всех т, 11—т| ^ Д/2. Тогда

р(т)<||л'(т, ut) — y\\K\\x(t, щ )— у\ + 1х(и ut) — x {х, ы,)||<

и поэтому

<

Р (0 +

е<+д/2 (|£— т|, £),

Пш р (т) < р (£).

X~>t

С другой

стороны,

пусть

р (£)= М (сг,

£),

C jeG .

Тогда

р ( т )^

^ Л 1 (с 4, т)

и, пользуясь непрерывностью

М(с, t)

по

£,

отсюда

имеем

Ишр(т)

> M ( c t, t) =

p(t).

Таким образом,

lim р (т) =

Пш р (т) =

р (£),

что равносильно непрерывности р(£) при t>to- Если

же

£ = £о»

то

Р(£0) =

К

— У\= \\х(£0, щ) — г/1| и |р (/) — р (£„) I =

= III'V'(£0. “Л —Ув —И *. Щ) — #||1 <IW^,

«;)!<

< е/0+д/2 (|£ — £0|, £0) - > ° при £ -П 0 +

0.

А

Т е о р е м а 5.

Пусть управляемый объект {х(т,

и),

u ^ U t, t > t 0}

удовлетворяет условиям I— VII и (у, Т) -управляем при каком-либо

Т, io < T < + oo. Тогда задача

быстродействия имеет решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При

выполнении

условий

теоремы р(£)

непрерывна на отрезке £ о ^ £ ^ Т и р (Г )= 0 .

Тогда

найдется един­

ственная точка Т*,

to<T*s£ZT, такая, что

р (7 '*)= 0 ,

р (£ )> 0

при

4 ^ £ < Т * .

В силу

теоремы 2

тогда

Т* —

оптимальное

время,

а управление ц *е£/ т .,

для

которого

||х(Г*, и *)— у\\ = р(Т*) = 0,

будет оптимальным.

Д

При отыскании

Т*

можно использовать различные методы ре­

§ 3]

р-Метод

321

dM (с, t) _ Um

M (c-h si, i) — M (c,

t)

min

(l,

x

tj),

dl

e-»+o

e

“£Xc,t

где * c, i — множество всех тех xc, и для которых М (с,

t) =

(с, хс, t—

— у). Доказать.

3. Пусть требуется наибыстрейшим

образом

перевести

точку

х = ( х 1, х2)

из. положения (1, 0) в начало координат

(0, 0) при ус­

ловии, что движение точки подчиняется уравнениям х ' = х 2,

х2= и ,

т ^ О и управление

и =

и (т) 6 £/, =

{и (т) 6 4 2J0, *]: |а (т) |< 1,

Q < т <

t).

В

качестве

начального

приближения

возьмем 4 ,

х0, с0—

=\{х0—У) 11*о—yll-1 (естественно

считать, что х0ф у ,

иначе

t0— оп­

тимальное время);

р (4) = И*о— г/П> 0 . Пусть известно

(k — 1)-е при-

ближение ( й ^ 1 ),т .

е.

4 - i ; JCfe—1 6

;

ck- 1 =

(ха- i — у) ||xA_, — y\\~\

такие,

что

при

p ( 4 - i ) =

M (c*_i,

4 - i)

=

||xk-\ — у ||,

p (t) >

0

t0 <

t <

4 —ii

4

4

^

^ 4 —i

T •

Так как функционал M (cft_ b

t)

непрерывен no

t,

причем

P (4 - i) =

M{ck-_i,

4 _ i)> 0 ,

M {ck-1,

T ) < 0

(см. теорему 2.1), то найдется момент 4 .

такой,

что

4 - i < t k < T ,

Af(с*_,,

4) = 0,

ЛГ(сА_ь 4 > 0

при 4 _ ! < ^ < 4 . Далее вычисляется

р (4 ) =

тах М (с ,

4 )

322

МЕТОДЫ Р ЕШ ЕНИ Я

ЗАДАЧ

БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

[Г л . 7

и определяются

такие

*4 6 Ufk'

~

X(tk,

4i) 6 ^tk'

(-к^. Gi

ЧТО

P (tk) = M ( c k,

tk) =

\xk — y\.

Так как p (^ )> 0

при

f0 < f < 4 _ i

по-предположению,

p ( t) > M (c k- u t ) > 0

при

4 _ i < f < 4

в силу выбора

th, то

p ( i ) > 0 при

4 s S ^ < 4 .

Может

случиться,

что р (4 ) = 0 . В

силу теоремы 2.2 тогда 4 = Т * — оптимальное вре­

мя, Uk— u* — оптимальное управление,

и итерационный процесс на

этом заканчивается. Если же р (/*) =

||x/t—у||>0, то, имея

U ,x k e X ik,

ск = (хк— У)\\Хк — у\\-',

р (tk) - M ( c k, tk),

р (0 > 0

при 4 = S ^ ^ 4 < T ,

—< tfc < 7 ’, процесс продолжаем дальше.

р-Метод описан полностью.

объект {х(т, и),

u ^ U t, t >

Т е о р е м а

1. Пусть управляемый

> 4 } удовлетворяет всем условиям

I— VII

и (у,

Т)-управляем при

довательности {uk},

uk ^Uiki является оптимальным управлением, а

х{%, и*), t o ^ y ^ T *

— оптимальной траекторией.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так

как последовательность {4 } моно­

тонно возрастает и ограничена

сверху величиной Т, то существует

становится

тривиальной).

Из

непрерывности

p(i‘)

следует, что

р (4 )-^ р (Т *) (Й -»-оо).

Покажем, что р ( Т * ) = 0 . В дальнейшем нам

будет достаточно

рассмотреть только такие k ^ k 0,

для

которых Г *— 4<^Л,

где Д==

= c o n s t X )

взята из 'условия III.

Можем считать, что все управ­

ления к = и ( т ) е !/ ( при

0 < Г * —

продолжены

на

отрезок

324

МЕТОДЫ Р ЕШ ЕНИ Я ЗАДАЧ

БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

[Гл. 7

такое, что

при

4 - i)

>

а(||л*_1 — У ||), Р ( t ) > 0

0 < Д -< 4 - 1 .

4 <С 4 <С •••< I 4 - i <^7’-

В качестве следующего момента 4

возьмем произвольное число,

лишь бы

f e _ , < 4 < 7 ,

М (сн , 0 >

°

при

4_1 < f < 4 , М (сн

, 4 ) < V

( 1)

ществования

нуля

этой функции на отрезке

4 -г < Д < ;7 ’, (напоми­

наем, что

M (cft_ 1, 4 - 1)^ a (| U fe_i— (/||) > 0

из-за

£/||>

^ p ( 4 - i ) > 0 ,

a

T )^ i0 в силу теоремы 2.1). Так как р ( 4 >

> 0 при 4 < Д < ;4 - 1

по предположению,

а р (4

(cfe_i,

/ )> 0 при

4 _ i < * < 4 в силу выбора 4 , то р ( 4 > 0

при 4 ^ * < 4 -

Далее вы­

берем такие cfee G ,

х (4 , «л)

чтобы

а(||-'Т — */|)<М (<4.

4)-

(2)

В частности, если взять такие ch^ G ,

xk 6 X ik,

для которых р (4 ) =

= M ( c h,

4 ) = ||л'{,— t/Ц,

то условие (2), конечно,

будет выполнено,

ибо у нас 0< ^ а (р )< ;р

по условию. В то же время получение таких

точных

cft6G ,

хк £ X t/.

с

условием

р (4 )= М (с л ,

4 ) = IU-ft— у|| для

выполнения (2) необязательно. Заметим,

что если р ( 4 ) > 0 и а(р )

монотонно возрастает

(например,

а ( р )= 0 ,9 р ), то неравенство

q ^

« (Р (4)) ^

а (lU'ft—

у ||)

M { c k ,

i k)

j

Р (4)

Х

Р (4)

^

Р (4)

^

тельную погрешность, возникающую при замене р (4 ) на M (ch, tft).

Итак,

пусть с* GG, uk £ U tk, x(tk,

uk) — xk 6 X th, удовлетворяю­

щие условию

(2), найдены. Может

случиться, что М (ск, 4 ) = 0 .

Тогда из

(2)

следует а(||*ь-г-г/||) = 0 . Однако сх (р )= 0 тогда и толь­

ко тогда,

когда р = 0 . Следовательно,

хк = y £ X tk.

Тогда р ( 4 ) = 0

и в силу теоремы 2.2 4 = 7 ’* — оптимальное время,

ик= и * — опти­

Если же М (ск, 4 ) > 0 .

то

4

0,

р (4) ^ 7W(ск, 4 )

-4 у, и,

имея 4> 4 6 Xfk

ск =£0,

ck £ G,

0<а(\\хк - у \ \ ) < М ( с к,

4 ), р (* ) > 0

при

4 ■С t "С 4> 4 < 14

4 "С т,

р-Метод

325

полностью.

!

Как видим, в отличие от p-метода п. 1 задача определения

минимального корня уравнения M-(ck-i, t ) = 0 при

здесь

нием такого, th,

лишь

бы выполнялись

условия (1); значение

р ( у

= шах М (с, У

=

inf |х — у |

c£G

x & X <k

также может быть заменено приближенным М (ск, у ,

удовлетво­

ряющим (2).

Т е о р е м а

2. Пусть выполнены условия теоремы

1. Тогда ре­

.p-метода, а именно: 1) lim 4 =

Т* — оптимальное время; 2)

лю-

fe~»oo

последовательности {uk}czU lk

яв­

бая слабая предельная точка ы*

ляется оптимальным

управлением, а лз(т, и*), ta ^ T ^ T * , — опти­

мальной траекторией.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Последовательность

{4 } монотонно воз­

растает и ограничена

сверху

величиной Т, поэтому

существует

lim 4 = Т*. Из непрерывности

р у следует,

что

р С У -^ р У *)

А—>00

такие у

для которых Т*— У < Д. Из (1), (2)

имеем

О <

ct ( Нл:* — р|1)<М (<у у < M ( Cft, " y _

M(ck, 4 + i ) + s<4-i

да и только тогда, когда р->-0. Поэтому ||л';г— г/||->-0

(k-^co),

а тогда

и 0< р (4)-< 11*й — z/11-Я ) (k -уоо),

следовательно,

р ( Г * )= 0 .

Кроме

того, так как р У > 0 при

/е=0, 1, 2,

...,

то р У > 0 при

$-4]

Приложения

327

подчеркивает важную

роль величин М(с, t), р(t), %{t), a(t)

при

становке проведено в работах [51], [53], [121], [122].

Упражнения. 1. Выяснить геометрический смысл p-метода и его

.модификации в случае Х = Е 2.

{х(т, и), u^.Ut,

2. Пусть управляемый объект

удовлет­

воряет условиям I—V II, и» пусть

У — выпуклое замкнутое ограни­

а) Положив

М(с, £ )= m in min (с, х — у),

p{t) = max/И (с, t),

*ex, i/ev

c£G

Для функционала

М(с,

t) = min (с, x(t, и) У)е.

a£Ut

'П

здесь можно получить более удобное для практики выражение

• М(с, t ) =

(В* (т)ф(т), и (х))ег dx +

+ [ ( ♦ М Л 1 ) ) £ „ Л + ( ' К У > х 0)еп— (с, У)еп,

О)

to

Ф(т) = — Л*(т)ф (т), t0 < x < t ; q (t) = c.

(2)

В

самом деле,

с

учетом условий ( К 1),

(2) имеем

t

(с, х (t, и))Еп =■■(i|) (t),

х (t,

и)) =

J

(■ф(т), х(х,и)) dx +

(г|) (t0), х0) =

ta

i

t

= J ГСФ, x) +

(Ф, *)] dx +

(“ф (t0), x0) =

j [— (Л*ф,

x) +

U

t

to

+

(Ф, Ax + Bu +

/)] dx + (ij> (t0),

x0) =

^ (ф (т), В (t ) u (t ) +

+ f(x))dx + (ty{t0), x0).

Отсюда и из определения М(с, t) сразу получаем

(1).

В частности, если Ut имеет вид (1.2), то минимум в 1-м сла­

гаемом (1) достигается на управлении

..., ыг(т)} с

компонентами

и//тг 1

a j(t).

если

(т) ф (x))f >

0;

i '= l , 2,

. . . , г ,

1 рг(т),

если

(^* (х) ф(т))£ <

0;

*0 < г < г ,

и, следовательно,

М(с,

0 = J ] [ f

(В* (х) ф (x))i af fx) rf-r -b j

(В*(т)ф (т)), р; (т )Л ]

+

■'=I

" t

N~

r~

t

+ j M>(t), f(x))dx+ (Ф(^о)> ^o)-

(c> y)> .

to

где

— i-тая

компонента

вектора

N f — множество

тех

x £ [t0,

t], для которых (5* (т) г|? (т)^ >

0, a NT — дополнение ко мно­

жеству

N t до отрезка

[/0, t].

Аналогично, если

Ut имеет вид

(1.10), то минимум

в (1)

до­

стигается при

и (т) = «о (т) + RB" (х) ф (г) |В* (х) ф (т) §[£) ^ ^

поэтому

М(с, t) =

R II В* (г) Ф(т) \L(r)u

+

f (5* (г) ф(х),

ц, (т)) dx +

t

2

"

и

f(x))dx Н- (ф(г?0), х0) — (с, у).

+ j’ (Ф('с),

to

§ 4]

Приложения

329;

М(с, т) = 0, т > s ,

(3),

уравнения

(3), известен,

то возможно применение метода деления

отрезка пополам, метода

хорд, а в случае гладкости М(с, т)

по

т метода

Ньютона. Если

при этом М(с, т) строго монотонна

при

корень наименьшим

среди всех корней ^ s . Если известно, что-

М (с, т) на отрезке

[s, Г] обладает левыми и правыми производ­

ными по т, причем

inf

. дМ(с, х±0)

g = cQnst^

s<T<T

от

(4>

Следуя этой работе, можно доказать, что { t „ } ,

м о н о т о н н о возра­

стая,

стремятся к минимальному корню уравнения (3)

на отрезке

[s,

Т],

а в том

случае, когда

это уравнение не

имеет

корней на

[s,

Т],

т о тп> Г

при некотором

0.