книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

П Р И Н Ц И П

МАКСИМ УМА

Л. С. ПОНТРЯГННА

[Гл. 3

л

л

л

/= 1

/= 1

/= 1

Так как #(л;, ф, и,

£) = (ф,

и) — f°(x, и,

t) и яр (^)

выражается форму­

лой (8), то последнее равенство можно

переписать так:

' Г>(х(Т),и(Т),

Т) + ( f u(x (T ),u (T ),T ),

у ( Т ) - и ( Г ) ) =

0.

(15)

Условия

(14), (15)

при учете связи

x ( t ) = u ( t )

выражают

собой

известные

в классическом

вариационном

исчислении

условия

трансверсальности

для свободного и

соответственно подвижного

применим

для любого

(в

частности, и замкнутого)

множества

V ^ E r и для более общих

задач. Заметим, что именно случай

замкнутого

множества

V ^ E r наиболее интересен в

прикладных

краевая задача

будет иметь еще более сложный вид ([5, 27, 55, 101

141, 195] и др.),

и трудности при ее численном решении значитель­

мирования. Изложение этого метода

начнем с

простейшей схемы

Р. Веллмана [6, 14— 18, 27, 34, 54, 206,

234, 259],

затем опишем бо­

J(u)

=

j7 ° ( * , и,

t).dt + 0 (x (T )),

(1)

^0

при условиях

x ' = f ( x , u , t ) ,

< ^ < 7 \

(2)

x (t)eG (t),

г0 < ; < 7 >

(3)

u —u (t)^ V (t), t0^\t^LT, u(t) — кусочно-непрерывна

(4)

(подробное

описание

обозначений

см. в § 3.1;

множества S0(t0)

и Sj(T) из

(3.1.7— 10)

нам здесь удобнее включить в фазовые от-

раничения G(t), to^Lt^T)-, моменты t0, Т будем

считать

извест­

ными.

Для приближенного

решения этой задачи

разобьем

отрезок

Т на N частей точками

и,

приняв

N—1

Л> ( * .

М о) =

2

(*;>

Щ) +

ф (Хц),

(5)

(=0

Ft(xlt «,) =

/°(хь ut,

/<)(ti+l — /J

при условиях

■^■i+1

(х,',

«,)--- ^i) f i.xit Uh

^i),

(6)

t = 0, 1

, ,

N — 1, a-0 = a' 6 G 0 ,

x.ea^G^),

i = o,

l

,

, tv,

(7)

. . ,

t f - 1 .

(8)

-Заметим, что задача

(5):— (8)

имеет также и самостоятельный

Если задать какие-либо дискретное управление

[ц ,]о = («о , «ь

....

uN-\) и начальное условие x0= x ^ G 0, то система

(6) однознач­

но определяет соответствующую дискретную

траекторию [ау] 0=

=

(х0= х , л'ь ..., xN). Зафиксируем некоторое

x e G 0

и через Д0(х)

соответствующую

траекторию [x j0

будем

называть

допустимыми

для выбранного начального состояния х.

Множество До{х) может

быть пустым или непустым. Если

До( х ) = 0

при всех A eG 0,

то

условия

(6) — (8)

несовместны и функционал (5)

определен

на

пустом

множестве.

Поэтому, чтобы задача (5) — (8)

имела смысл,

естественно требовать существования хотя бы одной

точки x e G 0,

для

которой

До(х )^ = 0 . Обозначим Х 0= .'{х ; x e G 0, До(х )^ = 0 }.

Тогда задача

(5) — (8)

может быть

сформулирована

совсем крат­

ко:

минимизировать

функционал

I0(x,

[«Jo)

при

[«JoeA 0(x)

и

h

(х,

I« ,U

-

s ' F° (xh

щ) + Ф (XN)

(9)

при условиях

1

i = k

xc+l = F l (xl,

Ui),

i = k ,

k

+ \ ,

, N — 1,

xk =

x £ G k,

(10)

XieGt,

i =

k,

k + \

, . . . , N ,

(11)

[щ]к = (ик,

uk+u . . .

uN- i),

UieVi,

i = k , k

+

\ , . . . ,

N — 1,

( 12)

где

точка x

и целое

число k

фиксированы,

х

— 1.

Через Ak(x)

обозначим множество всех управлений

[iii]k, таких,

что: 1) выполнены условия (12); 2) соответствующая

траектория

[* » ] * = ( * * = * ,

xh+1,

xN)

из

(10) удовлетворяет фазовым ограни­

чениям (11). Нетрудно видеть,

что если ХоФ 0 ,

то Ак( х ) ф 0

хотя

бы при одном XI= Gk. Введем функцию

inf

I k (.х, [u jfe) = Bk (x),

k = 0 ,

1, ..., N— l называемую функцией Веллмана задачи

(5) — (8).

Вк (*) = inf

[F°k (х, и) +

Bk+l {Fk (x, u))],

k = 0, 1, . . . , А/— 1,

“&Dk(x)

BN( x ) ^ Ф(х),

(13)

где Dh (х) — множество всех тех

для

которых существует

хотя бы одно управление [Ui]fe=

(uh, uk+u

...,

u^_i) е Д й(х) с ком­

понентой ик— и. Очевидно,

что множество Dk (x) и ДА(х)

оба пусты

или непусты одновременно,

и поскольку xk+l= F k (x,u),

то для не-

пустоты

этих множеств

необходимо

и

достаточно, ' чтобы

Ah+i (Fh(x, и ) ) ф 0 .

Справедливость

соотношения

(13) при k — N — 1

очевидным об­

разом

вытекает

из условия

B n (х ) з= ф (х)

и

представления

I n - i (x ,

[« Jat_ i) =

^ _ 1 ( х ,

и )

+ Ф (FN- i (х,

и ) ) , верного для любого

Докажем

(13) при k,

0 ^ k < £ N — 1.

Для этого сначала убедимся в

том, что

B k (х) <

inf [F°(x,

и) +

Bk+l (Fk (х, а))].

(14)

“£Dk(x)

Возьмем.

произвольное

u £ D k {х)

(разумеется, предполагаем,

что

А г(х) Ф

0 ) . Тогда xk+i — F k (x, и) и Afe+i(xft+i)=£ 0 . По определе­

нию Ди- i(хк+1) = inf

7ft+i(xfc+1,

[u jft+i), для любого е > 0 найдет-

ся управление i«f]fc+16 A ft+i^+i),

такое, что Вк+1 (хш ) < / fc+1 (xfe+1,

184

ДИНАМ И ЧЕСКО Е

ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

ПРОБЛЕМА

СИНТЕЗА

[Гл.

4

[ufjfc+1)'<

Bk+i (хк+1) + е. Поскольку [u jft =

(и, иЕк+и . . .

, u^-i) 6 Вк(х),

то Вк (х) <

4

(х, [и,]Л) =

F l {х,

и) + 4+1

(JCfc+1.

I«fjfe+i) <F°k(x,

и) +

+ Bk+l(xk+i) +

e, =

F°k(x,

и) +

Bk+i (Fk (x,

u)) + e. В силу произволь­

ности u £ D k {x)

и величины е > 0

отсюда

следует

неравенство

(14).

Теперь

покажем, что в (14) на самом деле знак

неравенства мож­

но заменить знаком равенства. По определению inf

1к (х,

[и*]*) =

Вк(х),

4 м

для

каждого

е > 0

найдется

такое

управление

[yf]fe 6.Д* (х),

что,

Но

Вк(х) 'С 4 (х > [^-’i ]*) ^

Вк (х) -f- е.

поэтому

[ui]fe+i =

(wfe+i . •••. ^ - i )

6 Afc+i {Fk (x,

vk)),

ВI {x, v t ) - r B k+i(F k (x, ft)) <

F k (x, vt) +

4 + i (Fk (x, vk),

[uf]ft+i) =

— 4

(x >

'C Bk (x) + 8.

Так

как vk 6 Dk (x), то отсюда имеем

inf

[Fk (x,

u )+ B k+i(F k{x,

u ))]< B A(x) + e ,

u € D k (x)

или

в силу

произвольности е > 0

inf

[Fft (х,

и) +

В к+1 (F k (х,

и))] < Вк (х).

( 1 5 )

u £ D k (x)

4

>

Из

(14) — (15)

немедленно следует соотношение

(13).

Пользуясь уравнением Веллмана

(13), можно последовательно

определить

функции

В к (х)

и

их

области

определения

Хк,

k = N , N— 1,

...,

1,

0.

А именно B N(x) =

Ф (х ),

XNs=GN— известны.

Если известны Вк+i(x)

и Afc+i

( k ^ N — 1),

то

для

определения

Вк (х) нужно решить

задачу

минимизации

функции

ср (х,

и)

=

= F l(x ,u )+ B k+\{Fk (x,u)) переменных

и— (и1,...,

иг)

на известном

множестве

Dk (x) =

{и : « е 14,

Fk (x, и) e

4 +i},

Для

этого

могут

быть использованы методы глав 1, 2. Очевидно, функция

В к (х)

определена

в точке

х тогда

и

только

тогда,

когда

Dk (x) ф 0 .

Таким образом, при определении значений

В к(х)

одновременно

находится и область ее определения

X k =

{ x : x e G k, Dk (х) =£ 0 }

= { х : х 6 С?*, Ак ( х ) Ф 0 } .'

Так

как

Ак ( х ) ф 0

х о т я бы при одном

x e G *,

то ХкФ 0 ,

k = N ,

N - 1, ....

1„0.

Заметим, что для широкого класса задач оптимального управ­

ления знак inf в правой

части

(13)

можно

заменить на min. Об

этом говорит

186

Д ИНАМ И ЧЕ СКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

ПРОБЛЕМА

СИНТЕЗА

[Гл. 4

=

Ф (Ут, uk (у,п))- Так *как

uk (ym) 6 Dk (ут) 6 Vk, то

в

силу

компакт­

ности Vk

последовательность {uk (ут)} (rn = 1, 2,

. . . )

имеет хотя бы

одну предельную точку v EVk. Можем считать,

что сама последова­

тельность

{uk (ym)}^ - v (т-4-оо). Поскольку F k (x,

и)

непрерывна,

X k+i

замкнуто и, кроме

того,

F k (ym, uk (ут)) 6

то lim F k [ут,

«ft (ym))=

Fk (*>v) € ^fe+1.

Это

значит,

что

и 6 Dk (х).

Тогда

■»

НшВ* (х) =

Пш Bk (ут) =

lim ф (ут, uk (ут)) >

ф (х,

v) >

z-*x

т->оо

m->oo

>

inf

ф (х, и) =

Bk (x). Полунепрерывность Вк (x)

на

доказана. А

условий (13)

и, кроме того, пусть

также

известны функции

« i(x )E flfi(x ),

x&Xfc, k = 0 , 1,..., JV— 1,

на

которых достигается

задач

(5) — (8) и (9) — (12) выписываются

совсем просто. А имен­

но оптимальное управление

[ы{]0

и соответствующая траектория

[х{]0

для задачи

(5) — (8)

определяются следующим

образом:

сначала из условия

inf В0(х) =

В0(хо)

(16)

х € Х 0

находят х0 € Х 0, затем последовательно полагают

и о = и„ (хо), х , = F 0(х0, Wq),

= и х ( x l ) ,

Ха = F x ( х * ,

и \ ) , . . .

%ы ~

F h— 1(хм— i, Un—i)

(17)

Оптимальное управление

и траектория

\x\\k

для

задачи

(9) —■

(12)

определяются аналогично

Xft — х, Uk — ик (xk) , x^_j_i — F к (Xk, Uk) , •••

xN ~

F n—i (xn—\,

Un—\).

(18)

Для доказательства .этих утверждений

введем вспомогательные

функции

Ri(x,

u) = 5 i+i(F i(x ,

u)) — B i (x )+ F ° (x , и),

i =

0,

1 , . . . ,

N — 1.

(19)

Очевидно, уравнение Веллмана (13)

тогда можно переписать в экви­

валентном виде

§ Ц

Схема Р. Веллмана. Проблема синтеза для дискретных систем

187

inf

Rk(x > и) ~

0,

k =

0,

1 , . . . ,

N — 1;

BN(x) =

Ф(х).

и 6D t W

(20)

Кроме того, с помощью функций

(х,

и)

значение

функционала (9)

на любом управлении [щ]к 6 А* (х)

и х £

Xk выражается так:

h

(*,

[«/I*) =

" £ Ri (xi,

щ) +

Bk (x)

(21)

i=k

при

всех

& = 0,

1 , —

,

N — 1.

В самом деле, учитывая

равенство

Вм (х) 23 ф (х),

из (10),

(19)

имеем

N— 1

N—1

^

Ri ixi,

Щ) =

\.Bi+\ ixi+\) — Bi {xj) +

F° (xh

щ)\ =

B n (xn) —

i=k

i—k

~

ВЛ Х) +

£

F°i(xi,

щ ) = 1 А(х,

[ui]k) — Bk {x)l

i=k

что равносильно

(21).

Т е о р е м а

2. Пусть выполнены условия теоремы

1

и множе­

ство

G0

ограничено. Пусть найдены функции Bk(x) из (13) и их

области

определения

Xh,

а также

функции

u = u k (x),

x e X h,

k = 0 , l , ... ,N — 1,

на которых

достигается

нижняя

грань

в

уравне­

нии

(13)

(или (20)). Тогда

оптимальное управление [« * ]0 и тра-'

ектория

[хг]0

для задачи

(5) — (8)

определяются

соотношениями

(16),

(17).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего заметим,

что существова­

ние

*о 6 Х 0, удовлетворяющего

условию

(16), следует

из

полуне­

прерывное™ снизу Во(х) на ограниченном

замкнутом

множестве

JfosGo. Далее, из определения щ(х), [ц*]0,

[x*J0

и эквивалентно­

сти записей уравнения Веллмана

(13)

и (20)

имеем

Ri (Х1

«г) = 0 ,

i = 0,

1, . . . ,

N — 1.

(22)

Возьмем

произвольные

х ^ Х 0,

управление

[г^]0е Д 0 (х)

с соответ­

ствующей траекторией {х,-]б из

(6). Так как Ui^Di(Xi), то из урав­

нения (20) и определения щ(х)

следует

inf

Ri [xt, и) =

Ri (х{,

щ (jcj)) =

0 < R i (xir щ),

(23)

“6£,(*£>

i = 0, 1, . . . , N — 1.

С помощью формулы (21) при £ = 0 с у ч е т о м

соотношений (16),

(22),

(23)

получаем

188

ДИНАМ И ЧЕСКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА

СИНТЕЗА

[ Г л . 4

N —1

/о (X, N o ) /o(-V'0 ,

= ^ [^i (Xit ^i)

Ui)]

-j-

+

B0 ■—■B 0(Л'о)

0

для любых х £ Х 0 и [ы;]0 6 Д0(х). А

• Т е о р е м а -3. Пусть

известны В к {х),

х ^ Х к из (13), а также

нии

(13) (или (20)).

Тогда

оптималные управления

и тра­

ектория

[-Vf]* для

задачи

(9) — (12)

определяются

формула­

ми

(18).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольное

управление

й е

Аи(х) и соответствующую траекторию

из

(10).

Очевид­

но, соотношения (22), (23) остаются справедливыми

и здесь при

всех

i— k, £ + 1 , ...,

N— 1. Поэтому

оптимальность

[щ\к

устанав­

ливается с помощью формулы

(21)

так же,

как в теореме 2.

^

Заметим, что

inf

I k (х ,

[щ]к) — I k (x,

[ и] к) =

Вк (х). Это сле­

дует

из формулы (21)

с учетом равенств

(22). Тем

самым

пока­

зано, что

функции

В к {х),

определяемые

из (13),

в

самом

деле

являются функциями Веллмана для задачи

(5) — (8).

4. В

теории оптимального управления и ее приложениях важ ­

дится в точке V фазового пространства. Такая функция u(x, t)

на­

зывается синтезирующей.

Теорема

3 показывает, что решение уравнения Веллмана

(13)

равносильно

решению проблемы

синтеза

для задачи

(5) — (8).

В самом деле, функция ик (х), на

которой

достигается

нижняя

жение объекта -определяется

условиями Xi+i — Fi(Xj, «,-(*,-)), i = k ,

ft+ 1, ..., N— \, xh= x , (если x

ф Хк,

то Вк{ х ) — 0 , т. е. движение

с соблюдением условий (10) — (12)

невозможно). Достаточные ус­

5. В

практических задачах получить

явное

выражение для

функций

uk (x), на

которых достигается

нижняя

грань в уравне­

нии (13)

или (20),

часто бывает затруднительно,

да к тому же в

£ 1\

Схема Р.

Веллмана.

Проблема

синтеза для

дискретных

систем 189

Т е о р е м а

4.

Пусть

функции

Bk (x),

x £ X k, k = 0,

1

N,

удовлетворяют

уравнению

Веллмана

(13),

и функции ukm (х) £ Dk (х),

m = 1, 2,

,

таковы, что lim Д£ (х, uini(x)) =

0. Пусть,

кроме того,

т-*оо

lim В 0 (хот) — inf В0(х).

Постро-

найдены точки хйп1d Х 0, для которых

т -*оо

х £ Х 0

следую­

им управление [w£„J0 и соответствующую

траекторию [х£т]0

щим образом:

и0т

Рцт (Лот) >?- -'-lml

ix 0nu

^om) >

и 1т

^1т {Х1т) > ••• >

X 'i\ m — В j\ ; — 1 (.V д/— 1 t m , ^ Л '— 1 , ш ) *

чи

(5) — (8), т.

е.

П т /0 (х0т,

[и/т]0) =

inf

inf /0 (jc,

[щ]0) =

&

т-»оо

х£Хо До(*)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную

точку

х £ Х 0 и

произвольное управление

[и£]0 £ Л0 (х)

с

соответствующей траекторией

[*,]„ из (6). С помощью формулы (21)

при k — 0 .тогда имеем

h (xi No)

N —1

i (x im> u im )] "b

|/о!(ЛОт»

[u im]o)

^

(x i>

u i )

R

i=0

+

B0{x) — B0(x0m),

in]=

1,

2___

В этом равенстве можно перейти к

пределу

при т-^~ оо,

так как

правая часть по условию имеет предел. В

результате

получим

No) —lim/0(Xom, [u/m]о)

N—1

h i X,

Щ) +

ГП-*оо

i=0

+

B0 (x) — inf B0 (x) >

0,

x B X „

так

как

# £(x£,

u£) > inf

Я £(х£> и) =

0 в силу (13) или (20). Из

произвольности х е Х 0 и [ыг]6 6 Л0 (х)

следует

/0* >

lim/0 (х0т, [u£mJ0).

т —>оо

•

С

другой

стороны,

/0 (х0т,

[uim]Q) >

/о,

in = 1,

2 , ------

Поэтому

П т /0 {хот, [^£т]о) =

/О-

А

ТП-*00

Т е о р е м а

5.

Пусть

функции

£ f (x),

uim(x),

t'=&,

£ + 1 ,

N— 1, m = l , 2,

удовлетворяют

условиям

теоремы 4. Построим

управления

и соответствующие траектории [х,-,п]ь следующим

образом:

x km

х < ^km

^ km {x km )’

x k + i , m

— В ^ ( х кт,

Ukm),

иА+1, m = u k + l , m (x k + l , m ),

■ ■ ■ , Xjifm = F ^ —i (Xjy—i, m ,

Mjv- I , * ) .