книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

§ 4]

Регуляризация

с

помощью аппроксимации

множества

351

П о э т о м у

< С = c o n s t ,

£

= 1 , 2 , . . .

, и

1 н п й

(uk) < й ( ы ”) .

k-*x>

Тогда из

(3)

следует

J (и*) ■< J (и*) -< J (и*) + 2

+ вк +

+ («л +4) й (w*)+ §k C ,

k = 1, 2, ... .

(5)

Теперь

ясно, что если в

(2.3) принять /а(и) из (>1),.(2),то тео­

ремы2.1— 3

сохраняют

силу, причем доказательстватакже

ос­

лась замена исходного функционала

/(«) новым функционалом

J a (u) = / (и )+ а й (« ), который затем

приближенно минимизиро­

ва пространства В; 2) J

(и) — слабополунепрерывный снизу выпук­

лый функционал на U-, 3) функционал й(м) определен на 0, слабо­

полунепрерывен снизу и равномерно выпуклый на U, причем мно­

жество S c = { u

\u^U ,

Q (m) ^ C }

слабокомпактно в В

при любом

C = co n st,

для

которых

S c ¥=0;

4)

последовательности

{6а},

{/а}

таковы, что

6а> 0 ,

Jk^> J* = inf J (и),

8fe->-0,

4 - ^ *

(£-> оо );

ц££/

5) последовательность

{«а},

£ = 1 ,

2, ...

определяется

из

условия

Йа=

inf

й (и) < й (uk) <

Йа+

б*, uk в Uk, k =

1, 2,

. . .

,

(1)

u&uk

где Uk = { u : u £ U , J (и) ■< J k}. Тогда {uk}

минимизирует J (и)

на U и

тигает своей нижней грани на U* = {« : u £ U,

J(u) = J*}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из теоремы 6.1.4

следует, что и * Ф 0 .

Кроме того, U* выпукло, замкнуто и ограничено, и на нем слабо­

полунепрерывный снизу

равномерно выпуклый функционал й (и)

при условиях

хш =

Xi +

Д*£ [ A lx l + В.щ + fi],

i =

0 , 1

,

, N'— 1,

(5)

[«;] =

(и0, ult . . . , uN- 1), щ 6 V,

i =

0,

1, . .

, N — 1:

(6)

где

hti = ti+1— ti,

Л = •<4(^ + 0),

Bi = B(ti + 0),

=

+ 0 ).

При каждом

фиксированном

N^.1

задача

(4) — (6)

может

граммирования

(гл.

4). Предположим, что при каждом N ^ . 1

и за ­

данном разбиении

{0 },

< О г = Т

получено

дискретное

управление [щ8^] =

(UqN, ■••,

дающее

приближенное

реше­

ние задачи (4) — (6)

в следующем смысле:

I n -<-0/([ы8а/])

+ Ель

(7)

где /jv—нижняя

грань

функционала

(4)

при

условиях

(5),

(6), а

последовательность

{ejv} такова, что

е ^ > 0 ,

ejy->-0 (N->-0 0 ).

Т е о р е м а

1.

Пусть при всех достаточно больших N точки

разрыва матриц A{t),

B(t), f(t) принадлежат множеству узловых

точек {£,-} и пусть

max

= dN < — ,

С = const > 0 ,

N = 1, 2, . . .

0<£<W—1

N

Тогда lim I*N =

J ‘, где J* — нижняя

грань функционала

(1) при ус-

N-*30

того,

последовательность

кусочно-постоян­

ловиях (2)]— (3). Кроме

ных “управлений и'н (t),

N = 1 , 2 , . . . ,

получаемых

с помощью дис­

кретных управлений

[ц£е^] . из

(7)

по

правилу

(t) = u.*N при

t[ ■<t]<^ti+i, i — 0, 1, •••, N — 1, минимизирует J{u),

т. е.

lim

J (u aN\{t)) =

J\

n-*oo

Для доказательства этой теоремы прежде всего заметим, что:

1) верна оценка

l*(f, “)| < C lf f0 < f < 7 \

(8)

где Ci = co n st> 0 не зависит от t и выбора u(t)

из (3). Эта оцен­

ка

вытекает из

неравенства

(7.1.6)

с

учетом

ограниченности

И (ОН. 11-8(011.

1/(01 и множества V]

2) верна оценка

\x{t, и) — х{%, ы)|.<С2|*— т|,

0 < 0 т < 7 ’,

(9)

где

C2= c o n s t> 0 не зависит от t, т е [0 ,

Т] и выбора u(t)

из (3).

# Л

Разностная аппроксимация для одной квадратичной задачи

357

| х (О ы )-х (О ц )| < С 3 ( | | и ( 0 - « ( 0 1 2^ ) ,/,1

(10)

*0

где C 3 = c o n s t> 0 не зависит от t

и выбора u(t), v(t)

из (3). В

са­

мом деле,

функция y ( t ) = x ( t , и)—x(i,

п) является

решением

за­

дачи

(2)

при / ( 0 = 0 , х0= 0 с заменой

и на u(t)— v(t), и оценка

(10)

является следствием

(7.1.6)

(ср. с

(7.1.7));

4) функционал J (и)

из .(1)

при условиях (2) — (3) удовлетво­

ряет условию Липшица

|/(ы) — У (п )|< С 4||ц(0 — w(0llLW,

(П )

где C4= c o n s t> 0 не зависит от « ( 0 . о (0

из (3). Неравенство

(11)

является простым следствием оценки (10)

и вида функционала

(1).

Впрочем, вместо (11) нам для

дальнейшего достаточно было бы

непрерывности J {и)

в b ir) [t0, 7 ].

Л е м м а 1.

При

выполнении условий теоремы

1 для любого

управления u(t)

из (3) и любого числа 6 > 0 найдется такой номер

е[£о, Т] меры

рТИп, что Т— 10— pMf^Cri и u(t) непрерывна на М

Возьмем г )> 0

столь малым, чтобы т)D2^ y 2, где D = sup

|и— v\-r-

u.vS V

диаметр множества V. Положим v ( t ) = u ( t ) при f e M n,

а на каж­

летворяет условиям (3) д

силу определения v(t) и выпуклости V.

Далее

|И 0 — »(0|£<г)=

| I “ (0 !— v(t)\2dt^D°~ •11 < Y 2-

2

воряющее условиям теоремы

1, и положим [« ;]=

(«о, «ь •••,

m,v- i)

с Ui=v(U),

i = 0 ,

1,

N— 1.

Пусть М = (д ;о ,

xN) — решение

задачи

(5),

соответствующее

выбранному [ы,-], x(t,

v) — решение

задачи

(2) при u = v ( t ) . Покажем, что

шах |х£ — х (th v) I -» О

0<i<jV

при N-+oo. Из

(2),

(5)

имеем

i

‘ k +

l

х {ti+l, о) = -v0 + £

j

[А (т) * (t , i >) +

В (т) v (t ) +

/ (t )] dr,

k=0tk

i

**+l

И Л + Bkv (tk) + fk] dr,

i = 0,\,

. .. , N — 1.

=

*o +

£

f

(12)

\x(ti+u v) — xl+i I < £

j

(\A(r)x(r,v) — Akxk \

*=° *k

+ \B{r)v{x) — Bkv(tk) I + \f(r) — fk \)dr.

Пользуясь неравенством треугольника, ограниченностью и ку­

сочной непрерывностью A{t), B(t), f(t), определением

Аи В и fu

непрерывностью v(t)

и оценками

(8) — (9), из предыдущего

нера­

венства нетрудно получить

\x{ti^-\,v)

|^ dfjAmax

I "Ь

(1),

(13)

/г—0

где Атах ■- sup ||Л(011, Олг( 1 ) > 0

не зависит от t и о^ (1)->-0 (W ->oo).

?0<«Г

§ П

Разностная аппроксимация для одной квадратичной задачи

359

Из (13)

и леммы 6.4.1 при cpft= | x ( 4 , v)—Хй|, a = o N(l), b = d NAm&x

имеем оценку

•

\x(th v) — x£| < o w(l) (1 + d NAmaxy, i = 0,\, . . . ,N.

Ho dN<

—

по условию,

поэтому (1 + dNAmaxY <

exp (CAmax) и

N

Ix (ti, v) — xi \ ^ o N{l) exp {CAmax}, i = 0 ,

l, . . . ,N,

(14)

так что max

\'x(th v)— хг |->0,

(N-*-oo).

Из

(1),

(4) следует,

что

0 < K N

J {v) — I N ([щ])

0 при N-y-oo,

поэтому

|'Jr(r>) — /лг([иг])| < —

при

g

всех УУ>Л^. Окончательно с учетом оценки |J

{и) — J (о) |■< —

име­

ем |/(«) — /лг([«г])| < 8 при всех N > N ±. А

Л е м м а

2.

Пусть выполнены условия теоремы 1, пусть [« ,]=

— (uo, ...,

Un-\)

удовлетворяет условиям

(6)

и «jvt(0— ыг ПРИ

^t-<.ti+u

/ = 0 ,

1, ..., N— 1. Тогда для любого б > 0 найдется такой

номер N2, что

| J(Uw( 0 ) - / W( N ) | < 6

при всех N ^ .N 2.

xN) — решение зада­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть [х ,]= (х0,

чи (5),

соответствующее

[«*],

x(t, uN) — решение задачи (2)

при

х (tl+u uN) = х0+

£

J

[А (т) х (т, Uff) + В (т) uk + 7

(т)] dx.

k=0 tk

Вычтем отсюда почленно равенство (12)

и после простых преобра­

зований по аналогии с (14) получим

хг 1 < М 1 )

exp (CAmax),

i = 0,

1,

. . .

,N,

(15)

где

oN( l ) - y + О (

N

оо).

В частности,

отсюда

при

i = N имеем, что

\х(Т,

uN) —xw|->-

—>“0

{N-y-0 0 ), а тогда

из

(1),

(4) следует

\J { u N(t)) — /jv([«i]) |

при всех N ^ N 2. А

т е о р е м ы

1.

Возьмем

произвольное

Д о к а з а т е л ь с т в о

е > 0 . По определению I*

— нижней грани /(и)

при условиях

(2),

( 3 ) — найдется ue (t), удовлетворяющее

условиям

(3)

и / *< ;

^ / ( и 8(У ))^ / *+ е/ 2

(здесь,

например, можно взять иа’ (t) = « * (t) ,

на

котором J (и* (t)) = / * ;

существование

оптимального

и * (t)

см.