книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

Тогда

последовательность

{ик} будет

минимизировать

функционал

J

(и)

на U : lim J (ик) = J*.

/г-» о о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего заметим,

что J h(u) =

=

/(u)+a/t £2(и) ^ J ( u )

— oo при любом w et/ n st/ , поэтому

inf J k (u) = J*k >

— oo.

ueua

Далее по условию теоремы существует элемент и*

{]Ua. По­

вытекающую

из

определения

неотрицательности

£2(«),

<ха> 0 и условия (3):

J* = J (и*) ■< J (ик) •< J (ик) -f- а к £2 (ик) =

J k (ик) ■< Л +

eft

■С Jk (u*) + sk — J (ы*) +

a k ^ (u*) +

•<

■C J (uk) +

aA£2 (u*) +

£k,

k — 1, 2 ...........

(4)

Отсюда имеем

J* — J (u*) <

J (и*) <

J (a*) +

a k £2 (и*) +

eA (ft = 1,

2,

. . . ) ,

(5)

и поэтому J{u k) -> J* (k->op). ^

Т е о р е м а

2.

Пусть выполнены все условия 1—4 теоремы

1 и,

кроме того, 5) J (и) полунепрерывен снизу на

U\ 6)

еа/(xa-»-0

(&-*-.

—уоо)

^например, а к = у ,

sft =

k = 1,

2, . . .

7) множество

S c = {« :w ^ f/ n ,

£2(ы )<;С }

компактно

в 5 при лю­

бом С — const^O

(разумеется,

речь

идет

о случаях,

когда

S c не­

дельная точка и* последовательности

{«л}

принадлежит

мно­

жеству

U** = { и : и 6 U\

£2 (и) =

inf £2 (a)},

иеи*

причем если U** состоит из единственной точки и*, то p (ua,

и* ) —>-Q

(£-*-оо) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

цепочки

неравенств (4)

имеем

7 ( « а) + a hQ(uh) ^ : J (uh) -\-ahQ{u*) + E h, или

£2 (w/г) < £2 («*) +

—

k = 1; 2,

. . . ,

u*eU*(\Ua

(6)

Oft

342

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО

ПОСТАВЛЕННЫХ

ЗАДАЧ

[Г а. 3

По условию 6

—^— >- 0 (£ —»оо),

поэтому

Q(«fe) < C = П (а*) +

sup -^ - < о о , £ = 1 ,2 ...........

ftSsl

dk

Следовательно,

{u * }^ S c, k = l ,

2,

... По условию 7 множество S c

компактно,

поэтому из {ик} можно выбрать хотя бы одну подпосле­

довательность

которая сходится по норме В к некоторому

элементу

и* 6 Sc СП U&CZ U.

Покажем, что й*<=17*. В самом деле,

пользуясь

полунепрерывностью

снизу

функционала

/(«),

из (5)

-при £

= £ m - v o o

имеем

J (и*) < J (Я*) <

lim J (икт) < / (и*),

т~+эо

т. е.

J ( u * ) = J * ,

или ц*е£У*.

В

силу

произвольности

предельной

для

любого

й ^ е!/*. По доказанному

Следовательно,

fl(«*) = inf Й(«),

т. е. й*еС/**. Если t/** состоит из единственной

«ес/*

.. .-

{ыь}->-ы* (k—>oo) в норме

точки и*, то

вся

последовательность

5 .

А

Приведем примеры функционалов й (а ) в различных функцио­

ных задач в соответствующих пространствах.

П р и м е р 1. Пусть требуется минимизировать полунепрерыв­

ную снизу функцию

/(и)

на замкнутом множестве

пусть

U* =

{ и : и 6

U, J (и) =

inf / («) > — оо}

и е и

непусто. Положим й (и ) =

|«— й0|2,

где ы0 — некоторая

заданная

точка из

Ет. Согласно теоремам 1,

2, как нетрудно видеть, Q(u)

является

регуляризатором.

Поскольку Q(«) непрерывен

в Ет, то

любая

последовательность {ик}, удовлетворяющая условиям тео­

рем 1,

2, будет иметь предельные точки м *е£/*, наименее удален­

ные от

«о среди точек U*. В частности, если

U* выпукло, то на U*

строго

(точнее, сильно) выпуклая функция

П(ы) = |и— м012 будет

346

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

[Гл. в

определенный

на линейном

пространстве VMfo, Т]

вектор-функций

u(t) — (ul (t),

..., ur(t) ),

с ограниченной

вариацией [137]

= Т при всех п = Г ,

2,

... Заметим,

что 1Агр 0, Т\ является подпрост­

ранством

[t0, Г ].

и (t) : и (t) ЕU ПV(r) R0. Т\,

Покажем,

что

множество

Sc = {и =

Q (и) < С}

компактно

в L[r) [г“0, Т].

Из

Q (« )< C

следует, что

|Щ (г) < С.

Тогда для каждой функции и (t) ЕSc

найдется точка т Е

Li

Q

Е[/0, Т]

такая,

что

| ы (т)| < --------- . Следовательно,

Т

IU (о I <

I и (т) I +

I и (t) — и (т) I <

<; |и (т) |+ V

(ы) "С ■„ С- — \-С — М<Соо

:<«

т — <о

при всех

t,

£„•<£< Г ,

и всех u (t)£ S c .

Тогда,

считая для опреде­

ленности ы(^) =

0 вне отрезкй

имеем

Л

/* Г-f-T

л г /-{-Т

т

f |ц(* +т)—

j V

(и) dt =

J [ \/

(ы) — V(«)]<# =

(о

*

<»

<0

*•

J

г+т

t

г

f

Г+Т

t

<0+T t

j

\/ (u)dt—

j

V

(u) dt <

2 (С +

M) т

7*

^0

*

U

при всех т > 0 и всех w (t)^ S c.

Таким образом, множество S c

равномерно

ограничено и рав­

ностепенно непрерывно в норме

L[r) [/0, Г ],

следовательно, S c ком-

348

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

[Гл. 8

любом

Из (5)

следует,

что последовательность

{«*}

мини­

мизирует J {и) на U. Из

(6)

имеем

{uk} e s c,

C =

Q(u*) + s u p - ^ .

ak

По

условию 5)

множество

S c

слабокомпактно. Поэтому из

{и

можно выбрать

хотя бы одну

подпоследовательность

{«лт },

кото­

/ (н‘) <

J (;/’) < lim

/ («j,т ) < У («*), т.

е. J(u*) — J ( u ) ,

u'ZU*.

m -» o o

Так

как £2(и)

слабополунепрерывен снизу, то

из (6) при

k = k m-*-oo следует

й (u*) < lim Q (ы*т ) <

Q (и*)

т ~ *о о

0 < 6 ( [ Mft- ? I ) < 2 [ Q ( u * ) +

Q ( « * ) ] - 4 Q ( i i l ± ^ ) > * = 1 , 2 ..........

Отсюда при *-»-оо

следует

6(||их— «*||)->-0, что возможно

только

при |ик—й* 11-9-0. А

П р и м е р 6. Пусть J (и)

— полунепрерывный снизу выпуклый

функционал на выпуклом замкнутом множестве U гильбертова про­

странства Я , пусть

U* =

{u :u £ U ,

J (и) =

inf J (и) > — оо}

uSU

непусто. Положим

Q(«) = ||u— й0\\2,

где й0— заданный элемент Я.

Функционал Q(u)

непрерывен и сильновыпуклый в Я . Слабая по-

лунепрерывность снизу-й(«)

тогда вытекает из теоремы 6.1.3, сла­

бая компактность

множества S c — из теорем 6.1.2,

6.1.10.

Следо­

вательно, Q(u) = \\и— «о!2 является

регуляризатором

для

задачи

минимизации /(«)

на U, и любая

последовательность {uh}

из (3)

§ 3}

Регуляризация

при вычислении

с погрешностями

349

будет сходиться

в норме Н к элементу й *е£/*,

наименее удален­

ному от й0. Задавая

й0 по-разному, можно получить приближения

к различным элементам из £/*.

Таким образом, в задачах оптимального управления

из § 6.5

в качестве регуляризатора можно взять

т

Q (a )= J|u(f)|adf;

^0

в задаче о нагреве стержня из § 6.6 —

т

П (и) = J |и (t) |2 dt;

о

в задаче о колебании струны из § 6.7 —

s !M

= l« t e 0 C < iW

Пр и ме р 7.

Пусть J L(u) — полунепрерывный

снизу

выпуклый

функционал на

выпуклом

замкнутом

множестве

U пространства

L{p ] [tQ, Т] вектор-функций u(t) = (ы1(/), . . . , W Щ)

с

нормой

M

L(r) =

(]\u(t)\PEr dt)l/p,

1 < р <

+

0о;

пусть

^

и

U* — {и: и £ U, J (и) = inf J (и) > — оо)

иеи

*

b

р

9