книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

330

МЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

[Гл. 7

Отдельно остановимся на одном важном частном случае, когда

Ut =

{u =

и (т) в Lir) |70,

tJ : и (т) 6 V почти всюду на [^0, (]},

t^>t0,

(5)

где

V — выпуклое замкнутое

ограниченное

множество из

Оче­

видно, тйкие множества Ut, t> to,

удовлетворяют условиям

I— III

§ 1. Можно показать, что в этом

случае функционал М {с, т) при

всех x ^ U имеет левые и правые производные,

причем [95]

.

дх

-L

== max min (с, А (т — 0)х -f В (х — 0) и -\~f(x— 0)), т>^0;

хбХсднек

------——

'

= min min (с, Л (тф 0),г +

В (т +

0)и +/ (т -f

0)), х > ^ 0,

дх

х£хс,х “sv'

где

Хсл — {х : х ^ Х х,

М(с, х) = (с,

х— г/)},

V взято из

(5).

Поль­

зуясь

этими

формулами,

с учетом кусочной

непрерывности

А(х),

В (х),

f(x), ограниченности V и оценки (1.6)

имеем

inf

дМ (с у х ±

0)

> g ( s ,

л > — °°>

дх

s < T

<

r

где

g(s,

Г) = — [ sup \\А{х)\\-supcr («) + sup ||В (т)|| max |u| +

s <

t < T

u£U T

sCx<CT

uCV

- f SUP \f(v\]

I c l < 0 .

• ( 6)

s < T < r

Тогда

для поиска

минимального

корня уравнения (3) на отрезке

[s, Т]

можно воспользоваться методом

(4)

с g = g ( s , Т).

З а м е ч а н и е .

Согласно

теореме

2.2 оптимальное время Г*

является

минимальным корнем уравнения р (^ )= 0 при t ^ t 0.

Если

известно,

что

p(t)

на

некотором

отрезке {^0,

Л

обладает

левой и

правой производными по t [95], причем

inf

dp(f. f 0)

> g >

— oo,

g =

const < 0,

< о<«Г

at

то

для

поиска Г*

на [£0, Л

можно также

воспользоваться мето­

дом

из

работы

[66]:

tn+ i = t n +

— p{tn),

п — 0, 1, 2 . . . .

Если

T *^[t0, Г], то последовательность

I&

монотонно возрастая,

стре­

{^ },

мится к

Т*.

Если

же

Т * > Т ,

то

tn> T

при некотором п, и тогда

этот же

метод можно применить на некотором

отрезке [Т, Г + Я ],

где / / = co n st> 0 . Вместо функции p(t)

здесь можно использовать,

S 4

Приложения

331

=

dsa

(s,

t ) 6 Q

, = { 0 < S < Z ,

o<

t < 0 ;

(7)-

ox

дх(0,х)

_

0

0 <

t

< Z ,

x (s,

0) =

0,

0

s -C Z;

(8)

ds

dx(l,

x)

= v

[«(t )— x {1,

t )],

0 < x < i ;

(9>

ds

и = « (т )6

Ut =

{и (т)£ L2[0,

Z]: |м ( т )

|< 1

почти всюду на [О,

ZJ},

( 10).

где

Z, v —

заданные

положительные

постоянные; Z >0.

Каж ­

дому

u— u(x)^ U t

при

каждом

Z > 0

соответствует

единст­

венное

решение,

или, как

будем

говорить,

траектория

х —

= x ( s ,

т, и) задачи

(7) — (9)

(определение

решения

этой,

задачи дано в §

6.6). Пусть y = y ( s ) — заданная функция на отрез­

ке

O ^ s ^ Z

и пусть

существуют такие

0 и u,{x)^.Ut,

что

соот­

ветствующее решение x(s,

т,

и) задачи

(7) — (9)

удовлетворяет ус­

ловию

x(s,

Т,

it) — у (s),

0 < s < Z .

(1 1>

одном и = и (т )е !/ т , найти наименьшее.

Сформулированная задача быстродействия (7) — (11) удовлет­

воряет всем условиям I— VII

§

1,.если принять Bf =

L2[0,

Z], L t==

= Ь 2(Q 0, Х = Ь 2[0, /]. В самом

деле, условия I— IV

очевидны; об

условии V уже говорилось в §

6.6 (в представлении

(1.11)

можем

взять uo( x ) = 0 ^ U t при всех

Z > 0 ). Пользуясь методикой

статей

x(s, т, «fe)-vjc(s,

т, и) в L2[0,

Z] при каждом фиксированном т е [0 , Z],.

если только

uh= u h(x)-^ u — u(x)

слабо в

L^O, Z] (k-^-oo), а также-

получить соотношение

i

sup

f |х (s, x +

Ат,

и) — х (s,

т, и) I2 ds —> 0

«eut

J

.

при Дт->-0,

0< -T ,

т - f At <Z .

334

МЕТОДЫ Р ЕШ ЕНИ Я

ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

\Гл. Т

ух (s) =£/0(s) = 0 ,

то получаем

задачу

о

быстрейшем успокоении

струны.

Сформулированная

задача

быстродействия

(13) — (17)

удов­

летворяет всем условиям I— V II из §'1,

если принять

B ^ W ^ iQ t ) ,

X =

L 2{0, /] X L JO , /].

В самом деле, условия

I— IV

очевидны; об условии V уже говори­

лось в § 6.7 (в представлении

(1.11) можем взять tio(s, т ) = 0 e t/ £

при всех £ > 0 ) .

Пользуясь методикой,

используемой в работе [150],

можно доказать,

что если «ft(s,

т)->u(s, т) слабо в W2^ (Q,),

то

i

т, uk) — x(s, т,

jU ( s ,

u)|2ds-»-0,

л

о

dx (s, t, uk)

dx(s,

х, и)

12ds -> 0

(k -> оо )

дх

дх

при каждом фиксированном т е [0 ,

/] и,

кроме того,

i

dx(s, т + Ах, и)

sup

(Y|x:(s,

т + Дт, u) — x(s,

т,

ы)|2 +

дх

uEUt

J \

'

0

dx(s, х, и)

^ds

0

М (с,

t ) =

min

Г i с0 (s) H s ,

t,

u) — y1{s)]-hc1{s)

dX(St tj U)

dx

u£Uu

J I

0

• i/ o ( s ) ] | * ,

C =

{c0(s),

c JsJJe Z ^ O ,

/ ] x i 2[0,

/],

справедливо

представление

i

M(c,

г )

= т т

|

j i l ) ( s ,

t ) u (s , t) ds dx + j”

^ф ( s , 0)cp1(s) —

<31

0) Фо (s ) —

c0(s) yx(s) — Cx {s) y0(s)I ds,

(18)

§ 4]

Приложения

335

где 9 (s ,

т ) — решение задачи

(6.7.11— 13)

(с

заменой

t на т, T

на t). Формула (18) следует из равенства

i

J | 4 ( s ) * ( s , t, и) + ci(s)

U) ] ds = J

Op(s,

т)u(s,

х)dsdx +

O L

Qt

l

0)

d^js,

0)

ds,

dx

9 i(s)^ (s,

но

получить

более

удобную

для

использования в пространстве

W20

(Qt) формулу

М (с,

t) = min С

f

4-

& ds ^ dx

1 ds dx

«ес/ J J L

J

Qt

^(s,

0 ) 9 ! (s)

0)

фо (s) — c0 (s) yx (s) — c±(s) y0(s) J ds,

(19)

где

g = g ( s ,

T) — решение задачи

(6.7.18— 19)

(с заменой t на т,

Т на t).

Для множества Ut из (16) в соответствии с формулой (19) те­

перь имеем

i

М(с, t) =

— \\g(s, т )Ц и ((%)+

°)<Pi(s) —

о

»l>(s,

Q)

(s) — с0 (s) у1 (s) — Cj_ (s) у0(s) J ds,

dx

причем минимум в (19) достигается

при u =

g(s,

х)||.£(s, т) 11^,0)(Q )

При вычислении значений функции

i

p(f) =

maxAtf (с,

t) =

inf Г Г (

I a: (s,

t,

и) — ^i(s)|2 +

c6G

u £ U t

L J \

0

+

dx(s,

t,

u)

■y0(s)

2J

dsj /s,

336

МЕТОДЫ

РЕШ ЕНИ Я

ЗАДАЧ БЫСТР0ДЕР1СТВНЯ

[Гл. Т

I

G =

|с =

(с0 (s),

сх (s)) е Ь2[0, /] х La 10,

I] : J ( |с0 (s) |2 +

О

-i- K (s)| 2) d s < l|

удобнее всего

воспользоваться

выражением

р2 (t) =

inf J (и),

где

i

dx (s, t,

u)

Ци)

=

j

x(s, t, u ) - yi{s)

Г2 +

0

dx

При каждом

фиксированном

t > 0 функционал J (и)

при условиях

(13) —-(16)

был изучен в § 6.7

(см. задачу (6.7.1— 5)

при p0= P i =

графе задач Коши и краевых задач см.,

например, работы [20,

207].

Упражнения.

1. Рассмотреть задачу

быстродействия (1.1),.

(1.4) при условии,

когда и = ь v— (w\ ..., wr)

является параметром,

р (t). Дать описание p-метода для этой

задачи,

доказать его

схо­

димость.

2. Пусть У — некоторое выпуклое замкнутое ограниченное мно­

жество из Ь2[0,

/]. _Рассмотреть задачу

быстрейшего попадания во

множество У при условиях (7) — (10).

Описать

p-метод для

этой

задачи и доказать его сходимость [50].

У к а з а н и е .

Воспользоваться результатами

упражнения

3.2.

ровать J (и) на

U. Пусть существует единственный

элемент и * е ( / ,

на котором /(«)

достигает своей нижней грани на

U:

J(u*) =

= in f/(«) = /*.

Предположим, что с помощью какого-либо ите-

иеи

П р и м е р

1. Пусть

J (и)

и > 0 . Очевидно,

/* =

- inf J (и) = О

1

и достигается

в единственной точке « * = 0 .

По­

н2>О

..., является минимизирующей, но

следовательность Uh=k, k — \, 2,

тем не менее

\и* — «й|=/:•/*-0 (k-+oo),

точнее даже

|и* —

(k-y оо).

П р и м е р

2. Пусть требуется минимизировать

функционал

/ ( « ) = j х2(t)dt

при условиях х = и ,

д:(0) ==0,

о

u = u (t)£ U =

{и (t) 6 Lo_[0,

1]: |и (t) |<

1 почти всюду

на [0, 1]}.

Очевидно,

/* =

inf J (и) =

0

«ес/

338

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНО

ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

[Гл. Ь

xk (t) = - ! (1 — coskt) = — sin2—

0 < * < 1 ,

A = 1 , 2 , . . .

k

k

2

Поскольку

l

0-< / (« *) =

sin4( ~ f ~ ) Л < - ^ — »-0

(ft->oo),

0

T0

{uft} — минимизирующая последовательность. В то же время

1

|и* — ик ||i,[o,i] —

С sin2 ktdt =

-------- — sin 2k^>-4 - (k-> oo).

J

2

4ft

2

о

Как видим, значения J {ик) и J*

при достаточно

больших k

будут

сколь угодно близки, и тем не менее

управления uk (t) не

будут

близки к и* = 0 в норме L2[0, 1].

О п р е д е л е н и е

1.

Задача

минимизации функционала

/(«)

на множестве U банахова пространства В называется корректно

поставленной, если: 1) множество

1Г =

{ и : и е и , J (и) =

inf J(u) = Г }

и е и

непусто; 2) любая минимизирующая

последовательность { ^ е У

такова, что

р (ик, U*) =

inf \\ик — ц||-»-0 (£->*оо).

U E .U *

||ufc- « * p <

— [J(uk) - J ( u - ) \

К

теоремы 2Л.6. Если U компактно в В и J (и)

полунепрерывен снизу

на U, то, очевидно, задача

минимизации

такого функционала

J(u) на U также поставлена корректно.

рующие последовательности

{«й}е£/, для которых расстояние

p(«ft, £/*)->-О (£->-оо) или же

||uk— ы*||->0 (£-»-оо), где и* — неко­

метра а ^ О и определенных на множествах f7as t/ ,

причем J 0(u) =

= / ( « ),

U0= U .

После чего, используя какие-либо

приближенные

методы,

задачу

минимизации J a (и)

на Ua при каждом фиксиро­

ванном

а > 0 решают с некоторой

точностью е = е ( а ) > 0 в сле­

дующем смысле:

определяют элемент

6 Ua такой,

что