книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

300

МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

J(u )

в)

дать описание метода скорейшего спуска для минимизации

при условиях (2) — (4), t/==L2[0, Г ];

г)

дать описание методов условного градиента, проекции гра­

диента

для минимизации J (и) при условиях (2) — (5);

Н (гр, и ) = v i]ju + р « 3 .

У к а з а н и е .

Заметить,

что #(ф , и)

выпукла

по

и,

J (и) = -----------—----------,. и воспользоваться

теоремой

2.1.3

(ср.

с работой

[105]).

I (и)

2.

Пусть

требуется

минимизировать функционал

i

Pk {u) =

k^\x(s, Т, и) — y(s)\2ds

о

и укажите методы минимизации функционала J h (u) = J (и) + Р к (и)

при условиях (2) — (5).

3.

Как ввести

в

задаче (1) — (5)

штрафной функционал на огр

ничение sup |л- (s, /) |<

1?

Рассмотрите

Q

РА(и) == £ J J |шах {х (s, t) —

1; 0} la dsdt.

Q

§ 7. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Пусть имеется однородная упругая,

гибкая струна

длины I

с закрепленными концами, на которую действует внешняя

S 7]

Оптимальное управление

процессом

колебания

струны

301

J («)'== Pi J

|xt (s, Т,

и) — у0 (s) I2 ds +

р0 J I л (s, Т , и) — ух(s) |2 ds, (1)

о

о

при условиях

xtt =

xts +

и (s, f);

(s, t) 6 Q =

{0 <

s <

l,

0 <

t < T},

(2)

* (0 ,

t) =

x(l, 0

= 0,

0 < f < 7 \

(3y

x (s, 0) =

ф0 (s), xt (s,

0) =

фl (s),

0 <

s <

/,

(4)

u = u ( s , t ) e u ,

(5)'

где £/— заданное

выпуклое ограниченное

замкнутое множество из.

W{2 в(Q);

ф; (s),

t/i(s) (i = 0, 1)— заданные функции Ha_0<s.</,

Ф о (5 ),г/о (5)б ^[о ,/];

?1!(s), y1( s ) 6 ^ [ o )/],

Ф; (0) = ^ ( 0

=

=

Hi (0) =

Hi (!) = 0 (£ =

0, 1);

х\=

* х

дР '

д*х

;.Ро. р! =

const > 0 ,

р ? ]+ р ? > 0 .

ds2

Здесь

WiP) (G)

пространство

Соболева

[210J функций 2 =

2 (sx, ■..

sm),

определенных

на

множестве

G cz Em,

обладающих

всеми

обобщенными частными производными [до

порядка

р включительно,

и имеющих конечную норму

I|z|L( >

dri+ - + rmz{s)

2 ^ > '/l

2

I

dsf1.. . dsrrn

wp' (О) - ( Г

a

(Xrl+r,+...+rm<p

•

m

Пространство W2Pl(G) является гильбертовьш

со [

скалярным произве­

дением

sf(

2

dri+ —+rm z (s)

( З О + . - . + ^ т у ( s )

*

m

(Z. У ^ у З ) ^

°<Л+-+гт <Р

dsf1. . . d s rm

ds[‘

. . . 3s 'm )

В частности, в

W^iQ) норма имеет"вид

U (s > 0 ИдагО) (Q) —

( I й IIl ^Q) + 1 u s I I , (Q) +.11

/ж

WV [0, /]: IIф0(s)\wC^ Q = (|]фо (

S

)

+

II4

(s)||it0in + .IIФ '(8)l! i[W]У К

ренцируемых функций <p(s), у

которых

производная

ф<Р-1)(в)

абсолютно непрерывна, a q><P)(s)eL2[0, /].

Итак, будем

рассматривать

задачу

(1)

— (5). Отметим, что в

частном случае,

когда y0(s)

= 0 на

[0, Z], p0 = Pi —1

мы име­

если

же при этом, in f/ («) =

0,

то можно

говорить

о полном

Ыб£/

успокоении струны в момент Т.

Под обобщенным решением задачи (2) — (4), соответствующим

управлению

и = и (s, t) 6

(Q),

будем

понимать

функцию

x(s,

t)==x(s,

t, и), такую, что:

а

начальное

условие

х (s, 0) =

q>0(s)

также

удовлетворяется в

3)

i

среднем, т. е. J | jc (s , f) — <р0 (s)|а d s ^

0

при ^ -* - +

0;

4)

о

справедливо интегральное тождество

i

j <Pi(s) Ц (s, 0) ds + J J [^ tj, — * ST]S +

иц] dsdt = 0

о

Q

при всех Т) = t] (s, t) 6 W™ (Q),

Л (0, t) =

л (l, t) =

ц (s, T) = 0.

Пользуясь методикой,

используемой

в

работе

[150],

можно

доказать, что при всех

« ( s ,0 € L a(Q),

Ф1(5 ) е М 0 ,/ ], <p0 ( s ) 6 W2 * [0, /],

Фо(0) = Ф0(0 = 0

решение задачи

(2) — (4) существует,

единственно и удовлетворяет

неравенству

i

oS<T (I 1х (S’ ®|

2

+

“IwQ) +

+.11Фо'ЦОр,,!] +

IIФ1 11с-.Ю.ч);

Со =

const >

0.

(6)

А если же функция u{s,t) 6

(Q), Ф о (в )6 ^ [0 ,/ 1 ,

Ф1( 5 ) 6 ^ 1)[0,/]

<Pi(0) =

фг (/) = 0

(i = 0, 1),

то можно показать,

что x ( s ,t )

непрерыв­

на в Q,

принадлежит W p (Q),

при

каждом

t

определены

значения

xt (s, t)

почти всюду на [0, /],

xt 6 L2[0, /],

и x(s,

t)

непрерывна по t

в норме L2[0, /];

кроме того,

справедлива оценка

304 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл, 6

соответствующие

этим

управлениям

решения

краевой

задачи

(2) — (4). Приращение

функционала

тогда запишется в виде

i

J {u + h ) — У («) =

2р0 1 [я (s, Т, и) — «/x(s)]Ajc(s , T)ds +

i

о

+

2Pi j [*< (S, t,u) — y0(s)] Axt (s, T)ds +

о

i

i

+ Po J I Ля (s, T) |2 ds +

J

|Дя, (s, T) |a ds.

(8)

0

0

Так как функция Ax(s,

t) является

решением

краевой

задачи

(2) — (4) при ф0(э) = ф !(у ) = 0 , u=ft(s,

t), то к Ax(s,

t) применима

оценке (7) и поэтому

Ро f I Л я(s, T)\*ds +

f |Axt(s, T)j* ds =

I Ля(s, T )& <

C?| ft&<i> .

0

0

2

Это значит, что первый дифференциал функционала

(1) при усло­

виях (2) — (4) имеет вид

(J'(u), h) =

2(x(u) — y, х ( и + h) — x(u))x =

l

о

i

+ 2pi J [x, (s, T, и) — y0(s)] Ля, (s, T) ds.

(9)

о

На практике может оказаться более удобным следующее вы­

ражение для первого дифференциала:

С1' (“). h) =

t, U)h(s, t) dsdi,

( 10)

Q

где ф (s-, t,

u) = *j>(s, t) является обобщенным

решением краевой

за­

дачи

Ч>« = Ч>.«, (s. t)£Q ,'

(11)

[ф (0 ,0 =

Ф (/,0 = 0 1 0 < ^ <

Г ,

( 12)

где

4»(s,

4><(s, T) = — c0(s),

C < s < / ,

(13)

c0(s) =

2p0 [x (s, T, и) — yx(s)], Cx(s) = 2px [xt (s, T , u) — y0(s)],

0 < з < Л

(14)

§ п

Оптимальное управление процессом колёбанця струны

305

(1) в точке и =

u[{s, t) £

(Q) при условиях

(2) — (4)

требуется

последовательно

решить

краевые задачи (2)

— (4) и

(11) — (14).

боте [150].

В силу теоремы 1.4 решение u = u *(t)

задачи (1) — (5)

суще­

ствует, и согласно теореме 2.1.3 и формулам

(9) — (10) для

опти­

мальности и* (t) необходимо и достаточно,

чтобы

, t, и*) [и (s, У) — и* (s, f)] dsit = 2 (х (и’) — у,

х (и) — х (и*))х > ] 0

где г|>(s, t, ип) — решение задачи (11) — (14)

при u = un(s,t).

Далее

полагаем

u„+1 (s, t) = ип (s,

t) + а п [ип (s, t) —ип (s,

0 ],

(s, t) 6 Q,

где <xn = min{l, a *}> 0 ,

a* =

— Я t

(s, t, Un) [un-(t) — un (01dsdt

_________________________ Q_________________________________________________ •

2РоИ I ^ (-s, t. un) —x (s,

t, un) |zdsdt + 20* JJ| xt (s,t, u j — xt (s, t, un) |2 dsdt

Q

Q

(J ' (uri)> un

Un)

> o

2II X («„) — x (u„) ll|

(если a* = 0 или x(s,

t,

un) = x ( s ,

t, й п),

to

un(s,

t ) = u * ( s ,

t) —

dh .

_dg

( ''< “)•■‘ >

- Ш * * +

*

ds

dt

=

<17)

Q

где g = g ( s ,

t) — решение задачи

Неймана

для эллиптического

уравнения

Jg - + - g L - g = - ' l > M ) ,

M ) 6 Q ,

(18)

dgio.t) = _gg(/. 0 =

о

о

- 8<>s,0)

=

d8-(-s’D

= 0 , о< s < 7 .

ds

ds

^

dt

dt

(19)

§

7]

Оптимальное управление

процессом

колебания

струны

307

З а м е ч а н и е .

Все изложение этого

параграфа

велось

для

случая Ро>0,

P i> 0 .

Если

р0 = 0

или

Pi = 0, P o + P i > 0 ,

то в

(5.1)

надо принять

B =

W2l){Q),

X = L 2[0,

/];

причем

х (и) = х (s, Т, и),

х (0) =

л: (s, Т,

0), Ки = у (s, Т, и)

при Pi = 0,

р0=1,.

а

если

же

Pi =

l,

р0 = 0, .то x ( u ) = x t (s,

Т, « ),

x (0 ) = x ;( s , Т,

0), K u = y t{s,

Т,

и). Здесь y(s, Т,

и) — решение за ­

дачи

(2) — (4)

при (p o (s)= (p i(s)= 0 ,

u = u {s, t); x(s, t,

0)

—

реше­

ние

(2) — (4)

при u = 0. Заметим также,

что

если P i= 0,

Ро=1, та

в

(1) — (5)

достаточно требовать

U c z L 2 (Q),

ф1 (s) € L2 [0, /], Фо (s) 6 Wp [0, /],

Фо(0) =

Фо(/) =

0,

а

вместо

(7)

пользоваться

оценкой

(6).

Предлагаем

читателю

подробно рассмотреть эти случаи самостоятельно.

Формулы

для

градиентов

функционалов,

определенных на

сываемыми уравнениями с частными производными,

рассмотрены

в работах [35, 37,

38,

40— 43, 49— 51,

53, 62,

71, 72,

76— 78,

90—

92,

102,

104— 108,

121,

122,

124,

135,

136,151,

158,

159,

162,

163,

173,

183— 185, 202, 203, 208, 209, 237, 270]

и др.

Упражнения. 1. Описать метод условного градиента для зада­

чи (1) — (5) для случаев а)

§о=1, Pi = 0 и б) Ро= 0, Pi = l.

2. Пусть 71(«) = /(u) +

p2||«(s, /)ll^o)(Q), где р2 =

const> 0 , J(u )

взят

из (1). Доказать, что функционал

Ji(u)

при условиях

(2) —

(5)

является сильно выпуклым

в

Описать

метод услов­

ного градиента для

минимизации Ji(u)

при условиях

(2) — (5).

S п

Постановка задачи

309

х =

А(х)х +

В (х)и + f(x),

х >£„;

x(t0) = x0,

(1)

где х=.{х\ ...,

хп), и = ( и 1, ...,

иг) ;

Л(т), Б (т ), f( х)

—

заданные

матрицы порядка

п х п ,

п Х г

и пХ 1

соответственно,

элементы ко­

торых определены

при x ^ t 0 и кусочно-непрерывны

на

каждом

конечном отрезке

т — время; начальный

момент t0 и

начальная точка Хо предполагаются известными.

Пусть заданы функции аД т), (ЗДт),

2, •••. г,

определенные

при всех x ^ to

и на каждом конечном отрезке t o ^ x ^ t < o o , удов­

щие

t] (например, аДт) = — 1, рг-(т) = + 1 ,

x ^ t 0, £ =

1 ,2 ,...,г).

Для каждого t, t0s^t<Z + oo, рассмотрим множество

Ut =

{и — и (т) в 1$* [t0, t\: а г (т) < и1(т)

<

рг (т),

£ = 1 , 2 ,

. . . , г,

почти всюду при t0

<

х < t).

(2)

вательно, слабо компактно в

L2r) [t0, t\.

Каждому u = u (x )^ U t

соответствует и притом единственная

траектория х = х (х , и), U ^ x ^ t ,

системы

(1).

Напоминаем,

что

траектория или решение х{х, и)

задачи

(1)

представляет'

собой

* ( т ) =

^[A(s)x{s) + B(s)u(s) +

f(s)]ds + x0, t 0 <£x<£t.

(3)

Пусть в

пространстве Е п задана

точка у.

Задача быстродей­

ствия заключается в том, чтобы найти такие Т*

и и* = и* (x )^ U T* ,

чтобы х(Т*,

и * ) —у, причем для любых других Т и u=u(x)'^ U T,

для которых

х ( Т , и ) = у

(4)

1. Имеет место представление

х(х, и) =

х(х, и0) +

у(х,

и — и0), £0 <

т < £ ,

(5)

где х(х, и0) — решение задачи

(1)

при некотором u0 — Uo(x)^Ut

(например, и0{х) =

(a t (т),

...,

аД т)),

а у(х, и—и0) —

решение (1),

когда

/(т ) = 0 ,

Хо= 0

и

вместо и

взято

и(х)— и0{х).

При желании

можно воспользоваться

известной формулой Коши