книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

290

МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

[Г а . в

(х (Т ,

и,,)— у ,

х {Т , un — J' (ип)) — х (Т ,

и„))Б

\х(Т, ип - Г ( и п) ) - х ( Т ,

ип)\%п

> 0

(если

а л = 0

или х(Т, ип— J'(un)) = х(Т ,

ип),

то

un (t)s=u* (t) оп­

тимальное решение

задачи (13) — (15),

и итерационный

процесс

на этом заканчивается).

Метод проекции градиента

для задачи

(13)— (15) в

случае

выпуклого замкнутого множества U имеет вид

un+ i= P u(un(t) +

;+ a nfi*(f)t|>(f,

«л)). п = 0 ,

1, 2,

.... где ф(t, ип) — решение

задачи

(19)

при u — un(t),

а параметр

an может выбираться из условия

ei "С ап "С а '

. С = С± У Т С ,

Если

un+l( t ) = u n(t),

то un {t) —u* (t) — оптимальное решение за­

дачи

(13) — (15)

(см. доказательство теоремы 2.3.2). Если множест­

во U имеет вид (3.28),

то проектирование на

U осуществляется по

формулам (3.29).

Метод условного градиента в задаче

(13) — (15)

для выпукло­

го ограниченного замкнутого множества

U из

|Y0, Т\ осуществ­

ляется так: зная

un(t)

(п^ О ),

определяем iin(t)

из условия

- J ( B * ( 0 4 > ( f ,u „ ) , un{t))Erdt=

^0

=

min

Г— f(B * (0

4>(*. и„),

u(t))E dt],

(22)

u€U

L

J

J

*0

что эквивалентно

условию

(x(T, ип) — у, х(Т,

й а ))Е п = min {х (Т, ип) — У, х(Т,

и))Ея,

вытекающему из

равенства

(20)

при замене

u(t)

на

un(t),

h (t)

на u(t)— un {t). В частности,

если

множество

U

имеет вид (3.28),

то явное выражение для un{t)

дается

формулой

(3.30).

Имея

un(t),

далее полагаем

Un+i (t) = ип (t) +

<х„ [ип(/) — ип(^)],

t0 -^.t

, ап =

min {ап, 1} > 0

$-5]

* Минимизация квадратичного функционала. Примеры

291

J (В* (<) г)1 (f, ип) ,

ип(<) — un (t))E dt

a n = -!•------------------

------------------------------

=

2

|■*(T , un)

x (T , ыл)

(л; (Г, ип) — у , х (Г, йЛ) — х ( Т , ип))Е

= ----------------------

Г------------------------------

х (Т , ип)

— > О

|х ( Г , иЛ)

(если а л =

О или х(Т, йп) = х(Т,

ип), то Un{t) = u *(t)

— оптималь­

ное решение задачи (13) — (15),

и итерационный процесс на этом

заканчивается).

5.

Остановимся

еще на

одном частном

случае

задачи (

минимизировать функционал [93, 97, 161]

/ (« )=

\\x(t,u)-y(t)\% ndt

(24)

<о

при условиях (14), (15); y(t) —

заданная функция из L^r) [£0, Т].

Представление (1) для этой

задачи

вытекает

из

равенства

(16), если взять

B ^ L P [ t 0, Г],

X = LP[t0, Т],

х(0) =

*(*.<)),

Ku==y(t, и), х(и) —x(t, и).

Очевидно, K u = y(t, и),

— ли­

нейный оператор из L.P [£„,

Т ] [в Lin) [£0, Т], ограниченность которо­

го следует из оценки (17).

Как было доказано выше,

тогда функ­

ционал (24) при условиях (14)

является выпуклым и' дважды

непрерывно дифференцируемым в

L2r)[t0,

Т].

В

силу теоремы 3.4

градиент этого функционала имеет тот же вид (18),

т. е.

J'( u ) = <

= — В*(/)ф(/, и),

однако ф(£, и)

здесь является реше­

нием задачи

ф = + 2

[ x ( t , u ) - y ( t ) ] - A ' ( t ) ^ ( t ) , f0< f < 7 \

Ф(Т) = 0.

(25)

Первый дифференциал с учетом

представления

(6)

тогда

запи­

шется в. виде

h) = 2 j (x(t, и) — у (t), x (t,u +

h) — x(t, u))Endt =

sup

х1 (t, и) < 1? sup |х (t, и) |<

1?

Можно ли принять

т

Pk(u) =

k j

|max {x1 (t, u) — 1; 0} |2 dt,

to

T

T

Pk (u) = k J max (xl (t, u) ~ 1; 0} <#? Pk (u) = k j

( |x (t, u) |— 1 )dt,

Pk (и) =

k J

|max { |x (t, u) \— 1; 0} |2 dt?

происходит теплообмен с внешней средой.

Требуется,

управляя

температурой внешней среды, к заданному

моменту

времени Т

привести температурный режим в стержне,

как можно ближе

к заданному режиму [35, 40, 104, 107, 162, 183, 227].

Математическая формулировка этой задачи: минимизировать

функционал

/(«) = j| x ( s ,r ) - t/ ( s ) | 2ds

(1)

о

при условиях

ot

=

(s,06Q = {0<s<Z,

0 < f < n

(2)

OSa

i i M

= o , o < K r ; ^ , o ) = o, o < s < / ,

(3)

OS

= V [u (t) - X(/, Q], 0 < t < T,

(4)

§ S]

Оптимальное

управление процессом нагрева стероюня

295

u = u (t)e U = {u = u(t)£Lz[0, Г ], |и(/)|<1

почти всюду при 0 < t < Т),

(5)

где I, Т, v — заданные положительные константы, y(s)

— задан­

ная непрерывная функция на отрезке

Решением задачи

(2) — (4), соответствующим управлению

летворяет

условиям

(2), (3) в обычном,

классическом смысле

[107], а условие

(4)

выполняется в слабом смысле, т. е.

г

-

П т Г Г

^ ^ ----- v(u(t) — x(s, /))] q>(t)dt = 0

s-*i—o J

L

&s

J

о

i

т

И * .

T)\*ds<-Z-^\u(t)\*dt.

(6)

о

о

0 =

д2х

\ xdsdt =

\_ j X2 (S, t)

i = T

ds —

ds2

)

2

<=o

о

Если воспользуемся очевидным неравенством |afe|<a2 4-----

то

296 МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

Т

Т

Т

х{1, t)u(t)dt<Cv

t)di +

^ и2 (t)dt.

О

0

0

Подставляя это неравенство в

(8), сразу

придем

к

требуемой

оценке (6).

является частным

случаем задачи

(5.2). Что­

Задача (1) — (5)

бы убедиться в этом, достаточно в

(5.1)

положить

B =

L 2[0, Т], Х = Ь 2[0,

l],x{u ) = x (s, Т, и), х (0) =

=

a-(s, Т, 0) =

0,

Ku = x(s, Т, и),

причём оператор К,

действующий

из L2[0,

Т] в L2[0,

/], очевидно,

=

0 < г < 7 \ *

(9)

где ф(5, ^ ) = tJ5(s ,

t, и) является

решением

следующей

краевой

задачи:

дт|>

d2ip

(S, t) е Q,

( 10)

dt

ds2

’

dV(o,t)

=0| J W

J L

=

— Vip(itt)t о < t < T ,

( П )

ds

ds

il)(s, T) = c (s), 0 < s < / ,

( 12)

где c ( s ) = 2 [ x (5,

T, u) — y (s )],

O ^ s ^ l

Можно доказать

сущест­

вование и единственность

решения

ф(5, t)==ty(s,

t, и)

задачи

(10) — (12), которое удовлетворяет условиям

(10),

(12) в

класси­

ческом смысле, а условиям

(11)

— в

слабом

смысле,

причем

имеет смысл говорить о значениях ф(/,

t ) ^ L 2[0,

Г ], являющихся

пределом в Ь2[0, Т] значений ф(«, t):

s-lim*l—0 I|tJ)(s ,

—

t) |2 dt

Выведем формулу (9)

для градиента. Пусть u(t),

v(t) = u {t) +

+ h ( t ) ^ U , и пусть x{s, t,

u )= x (s , t), x ( s ,t ,v ) = x ( s ,t )

+Ax(s, t) —

§ 6]

Оптимальное управление процессом нагрева

стержня

297

соответствующие этим управлениям решения

краевой

задачи

о

о

(13)

Заметим, что функция Ax(s,

t) является решением краевой задачи

(2) — (4)

при u ( t ) = h ( t ) , и,

следовательно,

справедлива

оценка

i

т

| | Д * (8 ,Г )| « * < - ^ | А '(*)| * Я ,

(14)

о

о

вытекающая из

(6)

Учитывая это обстоятельство и условия

(10) — (12),

имеем

i

т

j с (s) Ax (s, Т) ds = J

ф(s, Т) Ax (s, Т) ds = j

( j

(фДх) dt^j ds =

= Я ( ‘f ^ + 16 ^

= Я h ■ S - + ^

“ =

=

\

( г 1 7 А*

+

1т г ) С

'

=

[l' t ) M '(/’ t] +

0

4

0

T

•+ ф (/, t)v[h(t) — &x(l, t)]}d t= v ^ф(/, t)h(t)dt.

(15)

0

Так

как

c (s )= 2 [x (s ,

T, u) — y (s)],

то

формула

(13)

с . учетом

(14),

(15)

запишется в виде

J ( u + ti) — j

(«) = J

Vij?(/, t)h{t)dt +

0 ( |

| Л .

о

Сравнивая

полученное

выражение для приращения функционал.а.

с (1.1),

находим, что

градиент J'(u)

выражается

формулой (9),

а дифференциал

(/'(u),

К) имеет вид

т

I

( J 1(«), h)Lt[0,T] =

v

и) h(t)dt =

2 j

[х (s, Т, и) — у (s)] Ах(s, Т) ds.

о

о

условиях (2) — (5)

требуется

последовательно

решить

краевые

задачи

(2) — (4) и

(10) — (12).

Для решения этих краевых задач

можно

использовать различные приближенные

методы,

в част­

227];

интегралы (1),

(16) вычисляют с помощью квадратурных

формул [19].

Заметим, что приведенное выше доказательство равенств

(7),

(15)

носит формальный характер, поскольку законность всех

про­

деланных при выводе

(7), (15) операций осталась необоснованной;

строгий вывод (7), (15)

см. в работе [35].

В

силу теоремы

1.4

оптимальное решение u = u *(t)

задачи

(1) — (5) существует,

а согласно теореме 2.1.3 и формуле

(16)

для

оптимальности u*(t)

необходимо и достаточно, чтобы

т

ента для приближенного

решения задачи

(1 )— (5). Пусть

un(t),

О ^ ^ Т ( п ^ О ) известно.

Определим

un(t)

из условия

f Ф(I,

“«)

(0 dt = min

Г ф(I, t, ип) и (t) dt,

где ф(в, t, ип) — решение задачи

(10) — (12) при и = и п.

В

рас­

сматриваемом случае

un{t) легко выписывается в явном виде

1,

если ф(/, t,

ип) < 0 ,

“л Н

- >

;

если ф(£, t,

ил) > 0 , ' 0 ;< < < Т .

Далее, г полагаем

ип+х (t)

=

ип (t) + а„ [ип(t) — ип(if)]' 0 < t <

Т,

где

«л = m in {l; а * } > 0 ,

г

ф)(/, t, a)[un {t) — un {t))dt

v J

2 J

|дс (s, Г , un) — x ( s ,T ,

un) |a ds