книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

управлении

функция Я £(х{, ф£, и)

может

и не достигать

своего

абсолютного максимума по u eF,-.

П р и м е р

1.

([231], стр.

170). Пусть фазовое состояние си­

стемы описывается уравнением

Xj-j-i = х1+

2u t ,

y t + 1

= — х\ +

y t

+

и? ( i =

0,

1);

x0 =

3;

y 0

= 0.

Требуется минимизировать функционал 1(и0,

щ ) = — у2=ф(хг, Уч)

при условии

[щ]

=

К ,

«х) е и = {(«о. «х): I щ I < 5 (1 =

0;

1)}.

Нетрудно вычислить явное выражение

I

(и0, «х) =

3 (ы0 + 2)2 — ы? +

6.

Откуда следует,

что оптимальное

управление («о. Mi)

имеет вид

« о = — 2, и* — 5

(возможность

щ =

— 5

предоставляем

читателю

рассмотреть самостоятельно), а оптимальная траектория

*о =

3,

х[== — 1, х2 — 9;

уй=

0; у\ = — 5;

у\ =

— 19;

минимальное значение функционала равно / *= — 19.

Составим функцию

Я £ (xt, yit фх„ ф2£) =

Фхг (х{ + 2 uL) +

ф2£ (— х* +

У(4 - и?)

(i =

0 , 1).

Система (7)

имеет вид фщ- i =

Фх£ — 2ф2£х {, ф2)£- 1

=

ф2£

(i =

1; 0);

фхх =

----- -— =

0 , ф2х =

-------—

=

1 .

0Уг

Подставив

сюда

оптимальные

(х£, г/*),

получим фп =

0, ф’ 0 = 2;

Ф21 = 1;

фго = 1.

Тогда

Я 0 (xj, i/о, ф’о, Фго,

м) =

(м +

2 ) 2 — 7.

Как видим,

на оптимальном управлении и=ио = — 2 функция

Но (х0, t/о,

Ф10 , фго,

м)

достигает своего

абсолютного

минимума, в

то время

как

ее максимальное значение при

|м|^5

достигается

282 МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ

\Гл. В

4.

Рассмотрим задачу оптимального управления

линейн

Fi (*i,

Щ) =

Atxt +

В м + f t, i = 0 , l ........... N — \,

(24)

где Au B it fi — заданные матрицы порядка nXn, n X r

и nX 1

со­

ответственно.

Т е о р е м а

4.

Пусть

функции F°, Ф удовлетворяют услови­

ям теоремы 1.

Тогда функционал (1) при условиях (2), (3), (24)

дифференцируем в

[0 , N] и его градиент /-'([«{]) в точке

[и,-]

вычисляется во

формуле

F ( Ы )

= {—

----- t = 0, 1, . . . , N — l j,

(25)

ф, - 1 =

Д-ф,---------- *

дх

* = 0 ,

1, . . .

(26)

Ф//—1 = '

дФ (xN)

дх

.матрицы Л*, В}

получены транспонированием матриц Alt Вс.

„

дФ

dF°

dF°

условию

Если, кроме того, ------,

------- ,

-------удовлетворяют

дх

дх

ди

-Липшица по совокупности (х, и ) ^ Е пх Е г,

то градиент

Л([ц<])

ти функционала (1) при условиях

(2),

(3), (24).

Т е о р е м а

5.

Пусть

выполнены

условия

(24), функция

•'Ф(х)

выпукла

по х на

Е п, a F°t {x,u)

выпуклы

по совокупности

.переменных (х, и), т. е.

;FQi(ax

+ (1 — а) у,

а и +

( 1 — а) v)

< o F ? (х, и) + (1 — а) F°{y,

v) (27)

ври

любых х,

у ^ Е п,

и,

v e .E T,

а е [ 0 ,

1] и i = 0,

1, N— 1.

Тогда

функционал ( 1) выпуклый на Lir) [О, Щ .

Если

при этом

функции

Ф,

F°

удовлетворяют

условиям

теоремы

1,

множества

V{,

i = О, 1,

N— 1,

выпуклы,

то для опти­

мальности управления

[«,•]

необходимо и достаточно,

чтобы

dF° .(х*, ис)

£*■ %, щ — «.ij

> о ,

щ e v h t = 0, 1, . . .

, N — 1.

ди

(28>

Если же вместо (27) имеет место неравенство

F°i (ах

(1 — а) у, аи +

(1 — a ) и) < а .F? (х, «) +

— (1 —- а) F°i {у,

V) — а ( 1 — а)х| и — v f ,

x = c o n st> 0

(29)

при любых х, у ^ Е п, и,

Vi= Е Г,

а е {0 ,

1] и-/=0, 1,

1,

то функ­

ционал (1)

сильно

выпуклый

на L^r)[0, N]

и

задача

(1).— (3),.

(24) имеет и притом

единственное решение на любом замкнутом

выпуклом множестве

£/С17.2Г>[0, N].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Решение задачи

(2),

(24),

очевидно,

об­

ладает свойством

ЛГ; (a[«t] +

(1 — a) [и£]) = а*д[цг]) +

(1 — а)х:£ ([а£])> i = 0 ,

1 , . . .

N,

при любых

а и

любых [ыг], [пг] 6

[0, N].

Тогда

выпуклость

/ ([« J)= a

£

|Щ|2 +

р £

|xt j2+ ух% (а, Р, у =

const)

i = 0

i= 0

при условиях

(2),

(24)

дважды

дифференцируем в

[0, N],

Доказать, что

если

при этом

а,

р, у ^ О , то /([ыг-])

выпуклый,,

2 8 4

МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

х (и) = л: (0) + Ки,

и б В,

( 1)

где К — линейный ограниченный оператор из В в

Х\

№ 11* < | *| И в , и е в ,

1л :| = sup | 7 и * .

IWK1

Пусть U — заданное выпуклое замкнутое . множество из В, у —

некоторый заданный элемент из X.

_

Рассмотрим следующую задачу: минимизировать функционал

J(u ) = ||x(u) — yfx

при u £ U .

(2 )

* ( а и + (1 — a) v) = ах (и) + (1 — a)x(v) при всех

и, v £ В в а £

Ех

(3)

Отсюда и из выпуклости И* — yfx

по переменной х следует выпук­

лость функционала 1{и), Кроме того, из (1) имеем

А х (и, h)5=x{u +

h) — х (и) == Kh,

ЦД*(и, A )l* < ||* ll№ > u ,h C B .

(4)

Приращение функционала I (и) тогда можно представить в виде

/ (и + h) — J (и) = |х (и + К) — у I2 — Iх (и) — у |2 =

=

2 (х (и) — у, Д л: {и,

h)) х + |А * (и, h) fx =

=

2(x(u) — y ,K h ) x +

( K h ,K h ) x ,u ,h £ B .

(5)

Из этого представления, и из (4)

следует, что J (и)

— дважды

не­

(J' (и), ft) == 2 (л: (ы) — у, x ( u + h ) — х(и))х , u , h £ B

(6 )

или если воспользоваться

оператором К *, сопряженным с К

(см.

[131], стр. 279), то (/ '(«),

h.) zs=2(K*(х(и )—у), h). Следовательно,

градиент Г (и) выражается формулой

Г ( и ) ^ 2 К ' { х { щ - у ) , и е В ,

(7)

ром, действующим из

Х * = Х в В*, причем

||/С*|| = ||/(||

([131],

стр. 279), то из (7) следует, что

/'(«) удовлетворяет

условию

Липшица

IIJ' (и) -

J' (v) ||в.<

2 \\КГ\\и -

vis.

2(х(и*) — у, х(и) — х(и*))x = (J' (и"), и — и") > 0 при всех u £ U .

(8 )

+ а 2 ||Дх(ц, h ) f, u ,h ^ B , — о о < а < + оо,

(9)

то g (a )

представляет собой

квадратный трехчлен ^переменной а,

— о о < а <

+ о о , и достигает своего минимума в точке

(x(u) — y , x ( u + h) — x(u))x

(J'(u),h)]

а = а (и, К) = ------------------------------------

5------— =

----------------------=— .

\\x(u +

h) — x{u)fx

2 1 | Ддс(а, Л)|^

( 10)

286

МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И

В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х

ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. 6

спуска для минимизации J

(и) == ||jc(m) — г/||2 на Я

приводит к после­

довательности

«л+1 =

ы„ — сбл

я =

0 , 1 , . . .

,

(11)

причем параметр а „ ^ 0 , определяемый из условия .

m ingn (а) =

gn (а„), gn(а) = J {ип — а J' («„)),

а^О

здесь может быть выписан в явном виде. А именно, если

A jc(w„,

J

(un) ) ^ x { u n

J' (ыл))

х(ип)=^0,

то согласно формулам

(9),

(10) g n(a) достигает своего минимума

на числовой оси при

а =

а п = а

(ип, —J ’ (u„)) = -j

ИУ' (ип) |2 1|А х (и„, — J ’ (ип)) Ц" 2 >

0.

Если

ап =

0 , то

J'(un) = 0

и

в

силу

(8 )

и„ = ы*

есть

точка

минимума

J {и)

на

Я ,

и процесс

(И )

на

этом

заканчивается.

Если

ж е а „ > 0 ,

то

в

( 1 1 ) принимаем

а п =

ап,

и процесс

про­

должаем дальше. Наконец, если

Дх(ип, — J'{un) ) =

0 , то из

(9)

при и = ип,

h = — J'(un) имеем

g-n (a) = / (u ) = const

при

всех

a,

— o o < a < + ° o . С учетом формулы

(2.1.4) тогда

gn(a) ss (J' (un — a J '

(un)),

— J' (un)) =

0

при всех a. В частности,

gn (0) =

— \J' (un) f

=

0 или J ’ (un) =

0,

что в силу

(8 ) приводит к оптимальности ип= и*. Таким

образом,

если при некотором п

или

Ах (ип, — J' («„)) =

0, или а п = а* (ип, — J' (ип)) = 0,

то «п= ы*

— точка минимума J (и)

-на Я , и процесс (И )

заканчи­

288

МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О Н АЛ ЬН Ы Х ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. 6

Если

а„ =

0,

то /п («п) = 0 ^ (/ '(«„),

и— ип)

при

всех

ыеС/,

и в силу

(8)

ип— и* есть точка минимума J(u)

на

U, т. е.

про­

цесс на этом заканчивается. Если

a n> 0 , то квадратный трехчлен

g n (а)

достигает своего минимума

на

О г^а^Ц ,

очевидно,

при

Наконец,

если х(ип) = х ( и п) ,

то

в

силу

(12)

снова

/„(«п) = 0 ^

^1(/'(ц „),

и— ип)

при всех

u^U ,

что

в силу

(8) означает опти­

мальность

ип— и*,

и процесс на

этом заканчивается.

Из теоремы

2.3 следует,

что lim J ( u n) =

J*.

Неравенство

(2.6.6),

которое для

Л - > оо

рассматриваемой задачи запишется в виде

0 < У(ип) —

< |/„(ц„) |= 2 (л:(ип) — у,

х («„) — х («„))

0 (я -*о о ),

*

задачи (3.39—

41)

(другие приложения см. в § 6, 7).

4.

Пусть

требуется

минимизировать

функционал

[94,

135,

161]

J(u) =

\ x (T ,u ) - y \ En2

.

(13)

при условиях

х =

A (t) х -ь В (t) и +

/ (t), t0< t < Т\

х (t0) =

х0,

(14)

u =

u ( t ) e U ^ L i r)[t0,T\,

(15)

где х = (х*,

...,

хп),

и = (ц 4,

..., ur)\

U— заданное выпуклое множе­

ство из Lir)[t0, Г ];

A(t), B (i)

—

заданные матрицы

порядка пХ п

При

любом и = u (t)^ Lir) [^о, Т] [соответствующее

решение за­

дачи (14)

представимо в

виде

х (t, и) =

x(t, 0) + У(t, и), t0< t

< Г ,

(16)

где x(t,

0) — решение

(14)

при u = 0 , y{i,

и) —. решение (14)

при f-(i) =

0,

хо= 0 . Пользуясь

неравенством

(3.26) при Ах = у ,

h ( t ) = u ( t ) ,

получим оценку

_____

т

(17)

sup

\y(t, ы )|< С х

U u (t)\ d t< C 1V T — tQ |и (t) I (r)

t-i

l 2

Uo.rj

S 5]

Минимизация квадратичного функционала.

Примеры

289

Равенство х(Т,

и ) = х ( Т ,

0 )+ у (Т , и)

можно

рассматривать

как представление (1)

при

B ^ L i r)[t0, Т], Х = Е п,

Ки = у ( Т ,и },х (0 ) = х (Т ,0),

х(и) = х (Т ,и ).

Очевидно,

К и = у ( Т ,

и) — линейный оператор

из L 2r){

[70, Т]

в Е п,

ограниченность которого следует из неравенства (17).

Как видим,

задача (13) — (15) является частным случаем, задачи

(2).

Далее,

задача

(13) — (15)

удовлетворяет

всем

условиям

тео­

ремы 3.4. Поэтому выражение для градиента

здесь

расшифровы­

вается так:

и),

(18)

где ф (/, и)

является

решением задачи

ф = - Л * ( 0 ^ ,

*0 < * < Т , Ъ(Т) =

- 2 [ х ( Т , и ) - у ] .

(19)

Первый дифференциал в силу (6), (18)

представим в Биде

(J' (и), И) £= 2 (х (Т, и) —■у, х (Т,

и + h) — х (Т,

и))Еп =

т

=

-

j (5* (t) ф (t, и), h (t))Bf dt.

(20)

*0

задача (13) — (.15) имеет хотя бы одно решение u = u *(t)

на любом

выпуклом замкнутом

ограниченном

множестве U из

l}2 |/0» Т],

причем для

оптимальности u*(t) необходимо и достаточно выпол­

нения неравенства

г

- j (Я* (0 ф (t, и*),

и (t) -

и* (t))Br dt =

^0

= 2 (х (Т , и*) -

у, х (Г,

и) — х(Т, и'))Еп > 0 , и (0 € £/,

Метод

скорейшего

спуска

для

задачи

(13) — (15)

при U =

= L2r) [/0, Т]

имеет вид

Ия+1 (0 = ип(0 — СС„ J' (и„),

п =

0 , 1 , . . . ,

j' («„) S

-

5* (0

ф (/, ия), *0 <

* <

7\

(21)

где ф(*, ип) — решение

задачи (19) при u = u n(t),

а„ = с ^ > 0 ,

г

*

.(■

|В *

(0 ф (/, ип) || dt

J

-г

-------- *2______________________ __ =

2 1х ( Т , ип

J

‘ (u/j))—

х (Т t ип)