Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

2 7 0 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

I Аф (*)1 < л тахj I Дф (Т) I dx + L I Ах (Т) I +. L | ( I Ах (t) \+ \h(t)\)dt.

. t	w
Используя оценку (26) и лемму	1, приходим к оценке (35). А
При необходимости нетрудно выписать явное выражение кон
станты Липшица для градиента	через величины Лшах, .Вшах, L,

Т— 10; предоставляем сделать это читателю. Напоминаем, что зна ние константы Липшица для /'(и) может оказаться полезным при использовании некоторых методов минимизации.

Укажем достаточные условия выпуклости и сильной выпуклос

ти функционала (39) при условиях			(40).
Т е о р е м а	5.	Пусть выполнены все условия теоремы 4.			Пусть
функция Ф (х)	выпукла по х на Е п,		а /°(х, и, t)	выпукла по сово
купности переменных (х, и), т. е.
/° (ах + (1 — а) у,		аи + (1 — а) v, t) < а/°(х, и,		t) + (1 — а) f° (у, v, t)
				: .. ...	(44)

при любых а, Os^cts^l, х, у е Е п, и, у е £ ,. и t ^ [ t 0, Г ]. Тогда функ ционал (39) при условиях (40) является выпуклым и достигает своей нижней грани на всяком выпуклом замкнутом ограниченном

множестве U из Lir)[t0,		Т], причем для оптимальности u = u *(t ) е
в задаче	(39) — (41)		необходимо	и достаточно выполнения
неравенства
.	“*«)■<>	-	1 Г (0 ф(г, и*),	u ( t ) - u ' ( t ) y rd t > 0 ,
*0			u(t)eu.	(45)
			u(t)eu.	(45)

Если u*(t) — внутренняя точка множества U, то условие (45) равно сильно условию

J' (иГ) s=		ди		-------u*) = 0,	t0 < C t< T .
		ди						(46)
								(46)
Если же вместо (44)		имеет место неравенство
	/°(ах + (1 — а ) у,			а и + ( \— a ) v ,	*)< a / °(x ,		и,./) +
	+ (1 — а)!°(у,	v,	t) — а ( 1 — a)x\|u — о\|2,			%— const> 0		(47)
при всех a, O ^ a ^ l ,		х,	у ^ Е г, и, v ^ E r,			Г ],	то функционал
(39)	является сильно выпуклым на bir) [t0, Т],					и	задача	(39) —
(41)	имеет и притом единственное решение на любом замкнутом,
выпуклом множестве I) с :				\|70, Т].


£ 3]	Задача, оптимального			управления	со свободным			правым концом			271
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			Нетрудно проверить,				что решения зада
чи (40) обладают свойством:
	x(t,		— a)v) = ax(t, и) + (1				— a)x(t, v)
при	любом	а и любых u=u(t),v=v (t) £ W [ t 0,T\. Тогда выпуклость
[сильная выпуклость]			/(«) на L2r) [/0, Т]			является простым след
ствием выпуклости Ф (х)				и условия (44)		[условия (47)]. Сущест
вование-оптимального			управления		ы =й*(7)		в	задаче		(39) — (41)
на всяком-		выпуклом	замкнутом		ограниченном				множестве		U из
L P	[tQ, Т\	тогда следует из теоремы 1.4;				условия			(45),	(46)	выте

кают .из теоремы 2.1.3 и формулы (42). Последнее утверждение вытекает из теоремы 2.1.7. ^

П рям ер 1. Пусть требуется минимизировать функционал

/(“) = т 1 ( * 2 + “а)Л

при условиях х = — ах + и, 0 •<£<^Т, x(0) = x0, u =										u(t)(z Ьг[О, Г ],
где а, х0,		7’ > 0		— заданные числа.
Здесь		Ф г=0		и /° = —	(х2 +	и2)	удовлетворяет условию				(47),
				2				Т]
поэтому /(а) сильно выпуклый						и на	L2 [О,	Т]	достигает		своего
минимума в единственной точке u = u* {t). Поскольку
				н г — Y (х2 + и2) + ф (— ах + и)
и задача	(43)		имеет вид ф = аф -Ь х, ф (Г) = 0 ,					то
				J' {и) в — Ж - = — и (f) + ф (t).
					ди
Условие	(46)		тогда приводит к оптимальному управлению u*(t) =
S3 i\|)(i£), 0гс;г^7\ Этот же результат был получен в										примере 3.2.1
с помощью принципа максимума.
Две-.интересные задачи вида						(39) — (41)		рассмотрим в следую
щем .параграфе.
Упражнения. 1. Пусть1
1
J (и) = J	(Ф — axz) dx, где				х =	и (t) £ Lz [0 ,		1],	х (0 ) = 0 ,, а =		const,
о
При каких значениях параметра а функционал J (и)										будет выпук
лым? Сильно выпуклым в L2 [0,						1]?	Будет ли J (и)			непрерывным
в L2 [0, 1]?		Дифференцируем ли он в L2 [0, 1]?

272	МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И				В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х				ПРОСТРАНСТВАХ	[Гл. 6
	2. Пусть: а)		функции f°(x,			и, t),	f(x,	и, t), Ф (х) непрерывны
по	(л:, и,	t ) ^ E nx E rX[to,			Г ]; б) f(x,		и, t)	удовлетворяет условию
Липшица		(4);	в)	\г(х,	«+/г,	t)—f°(x,		и,	t) \|^C(\|/i\|2-j-\|«\|\|ft\|),
C = const. Доказать,				что тогда		функционал			(1) при условиях
(2)	непрерывен в		b P [ t 0,		7 ].
	3. Пусть: а) /°(х, и, t), Ф (х)					непрерывны по совокупности сво
их аргументов при (х, и,					t ) e E nx E rX^[to,			Г ];	б) /°(х, и, t) выпук
ла по и.		Доказать,		что тогда функционал				(39) при условиях		(40),

(41) достигает своего минимума на любом выпуклом замкнутом

ограниченном множестве U из	L P [t0, Т].
У к а з а н и е . Показать,	что J (и) слабо полунепрерывен

снизу в L p [ t 0, Т].

4. Пусть выполнены все условия теоремы 5 (кроме, быть мо

жет, условия (47)),	U —■выпуклое замкнутое ограниченное мно
жество из L p [ t 0, Г],	g(x, t) — непрерывна по (х, t ) ^ E nX [/о, Т]

и выпукла по х. Если существует хотя бы одна траектория x(t, и),

удовлетворяющая условиям (40),						(41), и такая, что g (x (t,u),t)z^L 0,
g (x (t),	то	задача		(39) — (41)		при	дополнительном		условии
	0=S=0,			имеет решение. Доказать.
5.	Пусть
	Д (х, и,		t) =	(х, 0	+ £ / а /(*,		t)ul(i = 0 , 1 ,...,«),
					i=1
где Я ,	/г/ непрерывны			по [(х,	t ) e E n x [ t 0, Т ],			\|/‘(х, 0 1 < Л М +
+ As, \|/г/(х, ЯI <			Мг = const > 0 ) . Доказать,					что тогда	функцио
нал ( 1)	при условиях (2 ) достигает своей нижней грани на любом
выпуклом замкнутом ограниченном множестве U								из L p [ t 0,	Т].
У к а з а н и е .			Доказать слабую непрерывность J (и) в Ь р [70, Т\.
6 .	Пусть выполнены все условия теоремы 5 (кроме, быть м
жет, условия		(47)), и пусть
		U = { u = u ( t ) e L p [ t 0, T ] :u ( t ) e V
почти всюду		при t o ^ t ^ T } ,			где	V — выпуклое множество из Е т.

Доказать, что тогда принцип максимума (36) является необходи мым и достаточным условием оптимальности в задаче (39) — (41).

У к а з а н и е . Доказать выпуклость функции —Н (х, ф, и, t)		по и
и воспользоваться неравенством	(45).
£-1 7. Пусть заданы у (t) £ b P [t0,	Т] и точка у 6 Е п. Доказать,	что
функционал

тт

J(u) = a J|«(*;|»df + р.||х(*, и) — y(t)\2dt + у|х(Т, и) — у |2

§ 4]	Градиент функционала	дискретной		системы. Условия оптимальности			273
(0)	<у]= const) при	условиях		(40) дважды		дифференцируем	в
£\|r)j[/0, Л - Доказать, что		если	а ,	Р, у > 0,	то	J (и) при условиях
(40)	выпуклый, а если же а >		0 ,	р, у > 0 ,	то	сильно выпуклый в

L p [ t 0, Т].

8 . Пусть требуется минимизировать функционал

	/ ( « ) = ] “[(a (t),	х) +	Ь (t, и)] dt +	(с,	л (Т))
	t .
при условиях
	x = A ( t ) x + B(t,	и),	t0 < t < T \	x(t0) = x0,
	u(t)eu = {u = u(t)e Ыг) [t0, T]:u(t)ev
почти	всюду при to^ts^iT}, где V— заданное				множество из Е г,
A(i)	— матрица порядка пХ п с кусочно-непрерывными					элемен
тами,	a(t) и B(t, и) — кусочно-непрерывные				/г-мерные	вектор-

функции, b{t, и) — кусочно-непрерывная функция, х0, с — задан

ные векторы	из	моменты	t0,	Т заданы.	Доказать, что для
оптимальности пары (u(t), х(^))				необходимо и достаточно выпол
нения условия
(ф(0 . B(t,	u(t))) — b(t, и (i)) =			max [(ф(^),	B (t, u)) — b(t, и)],
				u£V
где
		Ф = — A*(t)ty +	a(t), ф(Т) = — с.

У к а з а н и е . Заметить, что при этих условиях в формуле (18)

R= 0 .

§4. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИОНАЛА, СВЯЗАННОГО С ДИСКРЕТНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМОЙ. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

1.Рассмотрим следующую задачу оптимального управлени дискретным временем: минимизировать функционал1

1 (1“Л) =		£	F ° (*£.		“;) +	Ф М			( 1)
при условиях		£=0
при условиях
xi+i = Fi(xh	щ),	£ =	0,	1,	. . . ,	N — 1;	х0 =	а,	(2)
[“;] = («о. •••.	u n -\) : Щ е Vh				i =			— 1,	(3)
где xt = {х\, . . . , х"),	щ =	(u\, . . .		,	u\), функции		=	( f } ........... F?),
F°, Ф. предполагаются	известными,			V£ — заданное			множество		из Er,
натуральное число	1 и начальная точка а заданы.

274 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. й

Задача (1) — (3) уже изучалась нами выше. В § 4.1 с помощью динамического программирования исследовалась проблема синтеза для этой задачи, в § 5.3 рассматривались достаточные условия оптимальности. В настоящем параграфе сформулируем достаточ ные условия дифференцируемости, выпуклости функционала ( 1) при условиях (2 ), (3), а также выведем необходимые условия оптимальности. Будем пользоваться следующими обозначениями:

dFt

дх

1 • --о

дх .

	dF\		ЗД!		dF\		3F> '
	дх1	’	дхп		За1 ’	’	ди г
				1
	6FЧ		3F?	ди	8F?	‘	3F1
	6FЧ		3F?		8F?	‘	3F1
_	За:1	’	дхп	_	ди1 ’	" ' ’	диг
/	ЗД°		dF°i	3F?	/ 3F?		3F? \
V За:1		’	За*	ди	\ За1	' ‘ ‘ ’	д и г /
		З Ф	_ / З Ф	З Ф \
		д х	V За:1 ’	’ д х п ) ’

Через LW [О, N] обозначим гильбертово пространство вектор-

функций дискретной переменной [«,] =						(«о, Щ, ..., Ujv_ i)			со скаляр
ным произведением
			ЛГ—1
		(£“;]- ivi])L(r) =		£	(“*•		° i K
				1=0
и с нормой
			( = 0
Пусть U — множество всех дискретных управлений [ « J									=	(ы„, ■..
... ,u N—i), удовлетворяющих условию					(3);		очевидно U CZ			[0, N].
	Заметим, что функционал (1) представляет собой функцию Nr
переменных и0, щ, ..., ujv- i.			Если функции fi( x , и) непрерывны, а
i7?,	Ф	полунепрерывны	снизу	по		совокупности		переменных
(x,	u ) ^ E nx V i, множества		Viy i —0,		1,	...,	N— 1, замкнуты и огра
ничены в Ет, то функция /([«г]) полунепрерывна снизу,									и сущест
вование		оптимального управления		[щ\, на котором				функционал
( 1 )	достигает своей нижней грани при условиях (2 ),							(3),		следует
из теоремы 1.1 .
	Для	приближенного, решения задачи					(1) — (3)	могут быть

использованы методы гл. 2 , однако непосредственное применение этих методов может встретить затруднения из-за большого числа


§ 4]	Градиент функционала дискретной системы.				Условия оптимальности	275
переменных.			При рассмотрении задачи		(1) — (3) в пространстве
Ь Г [ О, N]		будем иметь дело с N векторными переменными, и ме
тоды § 2		здесь могут оказаться более удобными.
	Выведем формулу градиента функционала (1) при условиях
(2),	(3) в пространстве			[О, N],
	Т е о р е м а		1. Пусть	функции F°, F h	Ф непрерывны по	со

вокупности своих аргументов вместе со своими частными производ

ными по переменным

х,

при

меУц-,

i = 0, 1, ...,

N— 1.

Кроме того, пусть

|Д,(х + Дх, u + h) — F t (x,

и)1ял < £ (| Д *| £/!-НЛ|£г)

(4)

при всех х, х + Д х и всех и, u + h ^ V i,

i=.О,

...,

N— 1.

Тогда функ

ционал ( 1) при условиях

(2 ),

(3) непрерывен и дифференцируем

в норме Zir)[О, N], причем его градиент

1'{[щ ]) в точке [ щ ^ и

представим в виде

/'([Ц|])=

/ =

1 , . . .

Л ^ - 1 } б 4 г>[0,

N],

где

(б)

Ht (x,

ф, «) =

- * ? ( * ,

«) +

(Ф,

F t (x,

и)),

д£ L ) ,

(х0, х\,

..., xn)

(6)

[л:,-] =

—

дискретная

траектория

задачи (2 ),

соот

ветствующая

выбранному управлению

а вектор-функция

[фг] — (Ф-ь Фо, .... фя- i)

определяется из условий

ф;- 1

dH i(xj,

% ,

щ)

i =

0 ,

1 ,

N - 1;

(7)

дх

Флг-

i =

дф (*jv>

------- ----- ■

дх

[u£] + ,[hi]^ U ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть [м,-],

пусть

[х,] и

[Xi] + [Дх£] — соответствующие

этим

управлениям

дискретные

траектории задачи (2 ) }

/({«,-])

/ ([«ij+ l^ J) = / ( [ « J ) +А/ —

соответствующие значения функционала (1).

Из (2) следует, что

приращение [Дх£] удовлетворяет условиям

Дх£+1 = F t (х£ + Дхг,

щ +

ht) — F t (х£,

щ) (i =

0,.

1, . . .

, N —

1);

Так как

Дх0 =

0 .

(8 )

Ф (х + Дх) — Ф (х) — ^ ЭФ(* + 9Ал:) , А х ) , 0 < 9 < 1 ,

2 7 6 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О Н АЛ ЬН Ы Х ПРОСТРАНСТВАХ \Гл. 6

то из ( 1) получаем

N—1

А/ =

[ F U x i +

Axl, щ + ht) — F°i (xh

“£)I +

( ^

- ,

AxN) + R lt

-4= 0

где

О )

(

дф

+ Ш м)

дФ(%)

( 10)

дх

С учетом соотношений (7),

(8 )

[имеем

(

дФ (Хш,) .

X N

( ------ ^

------. & X N J

= —

( %

_ ь & X N ) = —

[(Ф ;,

A ^ i+ l) —

i=0

N— \

—

( ф (_ 1 ,

AjCj)] =

— 2

(4*1.

F i (X l +

«£

+ Ю

—

P l ( * l , Щ ) ) +

£=0

N — I

■ A *,).

i= 0

Подставляя

полученное выражение в

(9)

используя

функцию

Hi(x, ф, и), получим следующее представление для приращения функционала:

ЛГ—1
А / = - £	Г # ;(л:; + Ал:,, ф„	Uj +	At) — Я £(*£, ф£( щ) —
г=о L
	_ ( dHi(Xl' J h	Щ) ■■ Ajc() ]		+ /? i -
Из формулы конечных приращений следует
Я г (* £ + Д*£) ф£, u£ +		ht) =	Я, (х£>	ф£, ы£) +
_\|_	^ dfff f a + 6 tA*b Фь иг +		бЛ )	Дд.^

i = 0, 1 , , N — 1.

Подставим это равенство в предыдущее представление для А/; будем иметь

§ 4\

Градиент функционала дискретной системы. Условия оптимальности

277

N-

A / - - S

( dHi (\ %’ Ц‘° ■,

R = Яг + Ъ +

^8.

(П>

i=0

JV—1

„

y i

( З Я , ( Х [ + S f A x / , T fe , ц / + 9 Л )

д Я Д ^ , % , щ )

2 —

iZj

дж

<3х

’

{=о

( 12).

N- 1

/ dHi (Xi + 0/Д*/, %, Щ +

Qihi)

dHi(X{,

%, щ)

и \

R» = -

( ----------------~ iu

■

j=o

(13).

Для оценки остаточного члена R формулы (11)

нам понадобится

одна лемма, представляющая собой дискретный

аналог леммы.

Гронуолла.

Л е м м а

Если некоторые величины ф*, / = 0 ,

1.......

удов

летворяют неравенствам

0 < Ф 0 < а , 0 < ф г+1 < а + b £ фт , i = 0,

1, . . . , N — 1,

т = 0

(14>

то справедлива оценка

0 < ф ; < а ( 1

+ by,

i = 0 , l , . . - ,

(15>

если же

N— 1

+ Ь

i = 0,

0<ф г_1 < а

Л фт ,

1 , . . . , IV— 1;

0 < ф ^ _ 1 < а ,

m ~ i

(16).

то верна

оценка

b)N~l~l,

1 =

1 , . . . , N

- l .

фг

(1 +

(17>

Доказательство

можно

провести по индукции.

При k = 0

по

условию О ^ф о^й. Если неравенство О ^ ф т ^ а Ц + б) ”1 верно при.

всех тп = 0, 1,	i, то из	(14)	следует
0 <	фг+i <	а + 6	£ а (1 + 6 )т = а ( Г + 6 )+.
			т = 0

Аналогично можно убедиться, что из (16) вытекает оценка (17). Д»

278

МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В

Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х

ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. в

Продолжим

доказательство

теоремы 1.

Из

соотношений

(8 )

для

[A^i]

с учетом условия

(4)

имеем

£ .

г i

I А х ‘+ 1 1 =

|£ (Ax'n+i — Л*т) |<

|Ах,пI +

т= 0

т=О

(|Д*т |+

|Ат | )< (1

+ L )

|Алгт |+ L

\hm\.

т =0

т = 0

т — О

Полагая

(14), (15)

а = L £ |^ |, А = 1 + L, Фг = |

£=0

получим оценку

N—1

| A * i l < C i

£ \h}\, ^

= 1 (2 +

7.)",

t =

0, 1, . . .

,N .

(18)

£=0

Из

условий

теоремы

следует

непрерывность

функций

дФ

dHi

по совокупности своих аргументов. Тогда с уче-

-------,

—— ,

——

\дх

дх

ди

том оценки (18) из выражений

(10),

(12),

(13)

заключаем,

что

остаточный член R в формуле

(11)

имеет порядок о (|| [Л;] ||).

Та

ким образом, в формуле ( 1 1 ) для приращения функционала пер

вое слагаемое является линейным ограниченным					функционалом
относительно [А,-]		на L P [ 0, ЛГ], а второе слагаемое имеет порядок
о (II [At] II).	Это значит, что функционал			(1) при условиях (2), (3)
дифференцируем и его градиент имеет вид (5). Д
2 .	Зная	формулу	градиента,	нетрудно	расписать мето
пп. 1— 5 -§	2 применительно		к задаче	(1) — (3). Например, метод

проекции градиента здесь приводит к построению. последователь

ности •[«,•]п—'(иоп,		uN- i , n) по формулам
ui,n+\ =	Pvt(щ,п +	an	dHi (xin,		uin)	0,	1,	. . . , N -	1,
			du
			n = 0 ,	1 , . . . ,
где a„ > 0	выбирается как в п. 2			§	2 , [ * i ] n = :(*on,			.... x N , n ) ,	[фг]п —
— (ф_1, п,	..., ajjjv-i, п)	—	решения		задач (2) и		(7) соответственно

при [Mi] =|[«г]„-

Приведем достаточные условия для того, чтобы градиент функ ционала ( 1 ) при ограничениях (2 ), (3) удовлетворял условию Липшица.

§ 4] Градиент функционала дискретной системы. Условия оптимальности 279

Т е о р е м а 2. Пусть	выполнены		все	условия теоремы 1 и
пусть функции
'дФ	d fj	dF°t	щ
дх ’	дх ’	дх ’	ди ’	ди

удовлетворяют условию Липшица по совокупности (х,

u ) ^ E nx V i 7

i = 0 , 1,

N— 1,

с константой L >

(эти условия полностью анало

гичны условиям

(3.5— 9), и поэтому подробно выписывать их здесь

не будем). Пусть, кроме того,

\Fl (x, ы ) | < Л + 4 М >

Л . Л = const> 0

(19)

при всех х ^ Е п, u<=V\-,

и множества

Vi, i —0,

1, ..., N— 1,

из

(3)

замкнуты и ограничены в Ет. Тогда

градиент

функционала

(1)

при ограничениях (2), (3) удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично

доказа

тельству

теоремы 3.2;

предлагаем

читателю

провести

его

само

стоятельно.

Перейдем

к выводу необходимых

условий

оптимальнос

для задачи ( 1 ) — (3).

Т е о р е м а

3. Пусть выполнены все условия теоремы

Пусть

[ui] — оптимальное управление,

[xj]

— соответствующая

ему тра

ектория системы (2 ),

т. е. I ([«*]) =

inf / ([«<]),

где нижняя грань

берется по всем

[и*]

из условий

(2) , (3). Пусть

[фг]

—

решение

задачи (7), соответствующее управлению [«»]• Тогда необходимо выполняются неравенства

dHi (*, ф. к*)	N — 1	(20)
Щ — Ui < 0 , i = 0 , 1 ,	N — 1	(20)
; ди
при всех «г^Уг, для которых’« { ] + а («4 — «’) € F f	при любых	а,

0:£3а;?:1, причем если		ut	* —i внутренняя точка множества		Vu то
		dHi X*. Ф ■“*)			(21)
			ди

функции Н[(х, ф, и) определяются равенствами (6 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Положим в формуле (11) xt ='х1, ф, = ф^
= и}; получим
д /	N—1	дНш(х*п , ф; , ит)			( )
	— 2
			ди	К + °№ ]ID -	22

т = 0

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ