книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач

Подставляя полученное выражение в

(15)

и используя

функцию

Н ( х , ф, и ,

t ) = — f ° ( x ,

и , *) + (Ф. f ( x> и> 0 )>

получим

следующее

представление для приращения функционала:

т

A J ( u ) = — ^ [ Я ( х + Ал:, ф, u +

h ,

t ) — Н ( х ,

ф, и , t ) \ d t +

*0

+

j*(

дн{х’ 2 * u,

t)

’

Ax')d t + Rl-

(17)

to

Из формулы конечных приращений следует

Н(х-\- Ах, ф,

u +

h,

t) =

H(x, ф, и,

t)-f-

^ d H (x + Q A x ,

ц +

е/г, t)

^ дН (х + 6Д х,

ф , u + Qh,

t)

^

О < 0 < 1 .

Подставим это равенство в

(17); будем иметь

AJ

(“) = — ]" ( -

dH(x(t),

ф (<),

ц (0, t)

,

hittydt +

R,

(18)

ди

где

R = R 1 + R2 + RS

^

_

Г / д Н ( х + 8Ах? ф ,

и+ М, t)

дН (х, ф ,

и, t)

д \

^

2

J \

дх

дх

’

J

^0

(19)

^

^ ^ д Н ( х + В Ь х , ф ,

и + №, t)

, дН (х, ф ,

и, t) ^ ^

^ 0 )

Оценим остаточный член в формуле (18). Так как

дх

дх

дх

’

то с учетом условий Липшица (6 ), (7)

имеем

|Д. I <

(1

+ \ Ш L J

( I Ах I2 + I Аде IIАI) dt,

to

где [ф||с=

sup |ф(£, ы )| < оо

в

силу

непрерывности

ф(/,

и) на

§

3]

Задача

оптимального

управления со свободным

правым

концом

261

[4

, Т] (напоминаем,

что

в наших рассуждениях

u = u ( t )

—

фиксированное управление из UCZL%*[t0, Т].

Аналогично, с уче­

том условий

(8 ), (9) из

(20)

будем иметь

Л е м м а

1. Если

функция <p(^)^Li[4,

7]

и

удовлетворяет

неравенствам

0 <

Ф (t) <

а +

b j

cp (г) dr,

t0 < t < T ,

a, b — const > 0,

(22)

то верна

оценка

и

Ф(t) < aeW -U ,

о <

*0 < * < 7 ;

(23)

если же

г

0 < ф ( 0 < а +

6 j<p(t)dT, ■ / „ < * < 7 a, b =

const> 0 ,

(24)

то верна оценка

t

0 <

Ф( 0 < а е 6<г-'>,

t0 < t < T .

(25)

t

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим R(t) =

b ^ y (x )d x .

С учетом

*0

(22) имеем R = bq>(t) ^ .b ( a + R ( t ) ) , или R— b R ^ a b .

Умножая обе

части этого неравенства на е_6(<—<о),

получил!

(Re~b^i~i^) ■< аЬегьУ—*°).

Интегрирование этого

неравенства

от to до

t с учетом

R (to)—0

приводит к оценке

0 < R (t) er-W-M

а — ае—

#0)> ИЛИ о < R (t) < аеь^-^ — а .

Отсюда

и-из

(2 2 ) сразу

получаем

(23).

Оценка (25)

выводится

из (24)

аналогично с помощью функции

г

R (t) =

Ь J

ф (т) dx. А

t

Продолжим доказательство теоремы 1. Из соотношений (14) для

Лх (t) с

учетом условия (4)

имеем

t

t) — f(x ,

и, /)]<#!<

|Да-(0

1=

[ J

[/(а- +

A.v, и +

А,

*0

<L^ \ & x{t)\ dt + L^\h(t)\dt.

Приняв в (22),

(23)

tО

^0

г

Ф (0 =

|Лл-(0|,

a =

L^\h{t)\dt,

b — L,

придем к оценке

to

т

I А *(9

К

Ci §\h(t)\dt,

C ^ L e ^

- ' •>,

t0 < t < T .

(26)

Воспользуемся

неравенством

Коши — Буняковского

и

перепишем

оценку

(26) в

виде

|Дл- (/) ||с =

шах

|Дл- (0

1<

Сх V T

- 101|h (t) |(r).

(27)

Подставим полученную оценку в

(21)

и окончательно получим

|Я| < С .2|h ( t ) f L(r).

Таким образом,

в формуле (18) для прира­

щения функционала

первое

слагаемое — линейный

относительно

h(t) ограниченный функционал на

Т\,

а второе слагаемое

имеет порядок ||M9f

Согласно

определению 1.1

это

означа-

l 2

его градиент имеет вид ( 1 0 ). А

Итак, для вычисления градиента функционала

(1) при усло­

виях

(2 ) в точке

u = u ( t) ^ U нужно последовательно решить две

задачи

Коши: (2)

и

(12), (13), и найденные при

этом x(t) =

= х

(t,

и), ф (^)=ф (£,

и) подставить в (10). При решении упомя­

2.

Зная формулу

градиента,

нетрудно

расписать

метод

пп. 1— 5 из § 2 применительно к задаче

(1) — (3).

Например,

метод проекции

градиента

здесь

будет иметь вид

дН (х (t, иП),

т|з(<, ип),

un (t),

t)

>

ип+ 1( 0 =

Ри ( и п (i) + ап

ди

п = 0, 1,

.... где а „ > 0

выбирается, как в п. 2 § 2. Пусть здесь

U =

{u =

u(t) 6 l£> Ro,

Т ]: ос; (/) < u£(t) < р; (0,

tb <

t <7\

(28)

где

рi(t) — заданные кусочно-непрерывные функции,

^]р,-(/),

t'='l, 2,...,

г. Нетрудно видеть,

что множество

U

выпукло, замкнуто и ограничено в

L 2r)[t0,(

Т]

и,

следовательно,

в

силу теоремы 1.2 слабо компактно

в 4 г)

Т\-

Проектирование

на множество

U осуществляется очень просто: если функция

z(t) =

(z4t), . . . ,

2T (t))eL ir)[t0,

Т],

то ее проекция

Риг =

{px{t),

...,

pr(t)}

на

множество

U

имеет вид

z£(t),

если

щ (^) < 2/(/) <

Р; (t),

Р; (0 =

a.i{t),

если

z£{t)<^ai(t),

(29)

М 0 >

если

2 *'(0 > P i ( 0 .

i

= l

, 2 , . . . ,

г.

Так же нетрудно выписать для множества (28) явное выражение

для un (t) = {и'„(t), . . .

, urn (t)}

в методе условного

градиента

- „ i ( 0 = |

“ ><')•

если

.

(30)

I

Pi (0.

если

Ji(if) <

o

j

Л (

о

-

-

»- )■%«) . о |

u < t < T '

i =

l

j 2 .......... r .

И?(*. « )1

=

дФ (х (Т , и))

i f f

д/° (х (т , и), и (г), т)

дх

+ J [

дх

— 1|з(т, и)

Гд/(х(т, и), и (т), х)

йт\

дх

Так как

непрерывные функции

дФ I

1 d f0 1

IIJ L

ограниче-

дх |*

1 дх Г

II дх

следует

IФ {t,

т

u)\dx.

ы )| < М (1

+ Т - д + М | | ф ( т ,

t

Полагая в (24),

(25)

<р(0 =

|ф(^, и)\, а = М ( \ + Т — t0) , b = M , полу­

чим вторую оценку (34). Наконец, полагая Дф (£)=ф (£,

u + h ) —

— ф(£, и)

из

(12),

(13) с

учетом

неравенств

(5)— (7)

и

ограни-

ченности

^

^•< М на G, будем иметь

дх

ф(0 = |Дф(0|,

a = C5 $\h(t)\dt, Ь = М . А

*0

4. Воспользуемся некоторыми формулами, полученными при

доказательстве теоремы

1, и дадим простое доказательство прин­

§ 3]

Задача оптимального управления со

свободным правым концом

267

Т е о р е м а 3. Пусть функции f°,

f, Ф непрерывны по совокуп­

по переменной х и удовлетворяют условиям

(4) — (7),

и пусть

множество V(t)

из (32)

не зависит от t : V(t) = V,

t0^ .t^ .T . Пусть

управление u ( t ) e U

и соответствующая траектория x ( t ) ^ x ( t , и),

t o ^ t ^ T , образуют

оптимальное

решение задачи

(1)»— (3),

(32).

Тогда

H (x{t);

ф(*),

u(t),

t) =

max H{x{t),

ф(*),

и,

f),

(36)

uSV

где H(x, ф, u, t ) = —f°(x, u,

t) +

(ty, f(x, u, t)), а ф(^) является ре­

шением задачи

(12)— (13).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим в формулу

(17)

разложение

щ х + Ах, ф, u + h , t) — H (х, ф, u + h, t) +

+ ^дН(х + B bx.J. u + h ,

t) > Axy

o <

0 <

1.

Получим

T

ф (t),

AJ (u) =

— ^[H (x(t),

U(t) + h(t), t) —

to

—H{x(t),

ф(£), u(t), t)]dt + R,

(37)

где R = R i + R 2, R i в з я т о

и з

(16),

R2 определяется

формулой вида

(19). Справедлива оценка

|R |< L |Ах (Г) |2 +

(1 +

|ф||с)L J ( |Ах (t) |2 + |Ах (t) |\h{t)\)dt,

to

получаемая так же, как и оценка

(2 1 ). Используя

оценку.

(26),

имеем

т

t j ,

св =

LC\ + (1 +IIФlb) [с? (Г- g

+

l .

IR I< Сву |h it)Id

to

(38)

Доказательство

равенства

(36)

проведем в

предположении,,

что

u(t) — кусочно-непрерывна на [ д

Г] (для определенности можно

считать

и(*о) = и(*о +

0),

u ( t ) = u ( t — 0),

t0< t * £ T ) .

Пусть равенство (36) не имеет

места при некотором т е [ д

Г ].

Тогда существуют такие »e

F и

а = const> 0 , что

268

МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О Н АЛ ЬН Ы Х ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. 6

Так

как u(t)

кусочно-непрерывна, a x(t), гр(^), Н(х, гр, и,

t) не­

прерывные функции своих аргументов, то

<.

'

и

х [ - а

+

Св||Л (012^ ] < 0 ,

что, однако, противоречит

оптимальности управления u = u (t).

Аналогично

доказывается

равенство

(36),

если

u = u ( t ) ^ L 2) [to, Г ],

u (< )eK ,

но

u(t)

необязательно

кусочно-непрерывно.

В этом

случае

условие

u (t)^ V

и равенство

J (и) =

J /° (X, и,

t)dt + Ф[(х (Т))

(39)

при условиях

x = A (f)x +

B (t)u + - f(t),

t0 < C t< T ,

x(t0) = x0,

(40)

u =

u ( t ) e U ^ L V [ t 0, Т],

(41)

где х =

(х1, . . .

, хп),

и =

(и1, . . . ,

ur), U — заданное множество

из

Vp\tо.

п

A (t), B(t) —

заданные

матрицы

порядка пХ п

и п Х г соответст­

Задача оптимального управления со свободным правым

концом

26ST

венно,

f(t) — известная вектор-функция; моменты t0,

Т и началь­

ная точка Хо заданы.

Т е о р е м а

4. Пусть f°(x, и, t), Ф (х) определены при х е £ п,

и ^ Е г,

Т],

непрерывны по совокупности своих

аргументов

цируем в L p [ t 0, Т],

и его градиент /'(«)

в точке

u = u ( t ) £ L 2{

[t0, Т]

вычисляется по формуле

J ' ( u ) =

^ °(*(0 .

и(Ц,

t)----- t0 < t < T ,

(42)

ди

где x(t) =

x(t, и)

решение задачи

(40) при u = u(t), ф(г!) =

ф(г!, и)—

решение задачи

Ц =

u(i)>

----- АГт ,

t0 < t < T ,

$ ( T ) = - -

дф(* (Т)) - .

дх

дх

(43)

матрицы

A *(t),

B*(t)

получены

транспонированием

матриц

A(t), B (t). Кроме того,

градиент

Г {и)

удовлетворяет

условию

Липшица на Lir)[t0, Т].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Справедливость формулы (42)

устанав­

ливается

дословным

повторением

доказательства

теоремы 1.

Далее, из формулы (42) по аналогии с (33) здесь получим

\J' (u + h) -

J' (и) Ц г) <

{4U J

( |Дх ( 0 12 +| h (t) Р) di +

to

+

2su p rl|5*(0IP ||Аф(0

Р ^ } 7'.

to

Отсюда видно, что

для

доказательства

выполнимости

условия

взять Ci = Дша^ехр (Лт ах (Т— /0)),

где

Апах ” sup

IIA (t) II,

Bmax =

sup IIВ (t) ||.

(0« < Г

/0

Далее, для Дф(/)==i|)(£,

u + h ) — ф(£, и)

из (43) с учетом условия

(7) будем иметь