книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

m m=l

При практических расчетах функцию тока невозмущенного потока т|)0 удобно представить через функцию тока обычно задан­ ного потока "Фх перед решеткой и искомую циркуляцию Г вокруг лопатки. В самом деле, для равномерного потока комплексный потенциал

W0 = w0e~iaz — w0 (cos a — i sin a) (x - j - iy) = cp0 -(- i\\>0,

откуда функция тока равномерного потока я|)0 = wXoy — wUox или, пользуясь треугольником скоростей (рис. 139), согласно которому

- Г л

получим

причем знак плюс соответствует компрессорной решетке, а минус— турбинной.

Циркуляция скорости вокруг лопатки

жение точек наблюдается в области задней кромки, когда вы­

260

M-+N oj

Преобразуем подынтегральное выражение, пользуясь разло­

где s — расстояние по прямой между точками M я N. Вычислим правую часть выражения (258).

После выполнения необходимых расчетов получим

Обычно на практике рассматривается обтекание решетки тон­ ких профилей произвольной формы. В этом случае при произволь-

261

ном угле ßi натекания на передней острой кромке лопатки воз­ никает бесконечно большая скорость и соответственно бесконечно большая вихревая плотность у .

Такой случай был впервые рассмотрен проф. В. В. Уваровым в виде дополнения к разобранному выше методу П . В. Мелентьева. Рассматривая участок лопатки, включающий переднюю

As,

должен быть конечной величиной, так как он входит в качестве слагаемого в выражение для цирку­ ляции вокруг лопатки, которая тоже конечна, по самой сути дела.

Следовательно, указанное на рис. 140 распределение у (s) можно заме­ нить прямолинейной зависимостью вида

Следовательно, в случае «ударного» входа на тонкую лопатку для участка Asx получим

y.La01 àSi = Yi Asx ( 2 l n - ^ - + 1,98) — y0 Asb

Причем величина y0 входит только в первое уравнение си­ стемы (256). Для замыкания системы (256) составляют дополни­ тельное уравнение для точки О (передняя кромка).

Таким образом, можно найти воздействие решетки тонких профилей на поток при произвольном угле натекания.

Циркуляция вокруг лопатки

262

где знак плюс для турбины, а минус для компрессора. Распределение скоростей по контуру лопатки в решетке,

а следовательно, и давлений, находят по известным соотношениям

§ 30. МЕТОД ГОДОГРАФА СКОРОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО

ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ОБРАЗОВАНИЕМ СТРУЙ

Рассмотрим плоское движение несжимаемой жидкости, огра­ ниченной частично стенками, частично поверхностями, на которых давление постоянно. Такие поверхности называют свободными поверхностями струй.

Примерами такого движения могут служить истечения через плоскую щель в стенке, щель в виде насадка Борда с отрывом струи от стенок, через золотниковую щель и т. п.

Во всех этих задачах форма струй заранее неизвестна, ее нужно определить в ходе решения. Зная форму струи, можно найти коэффициент сужения и, следовательно, расход жидкости через щель.

263

На поверхности струи, вытекающей в пространство с постоян­ ным давлением, давление также постоянно.

Считая движение установившимся и потенциальным и пре­ небрегая силами тяжести, можно применить к этой задаче урав­ нение Бернулли:

"Г + Т = c o n s t '

из которого следует, что на поверхности струи скорость также постоянна.

Для плоского течения несжимаемой жидкости существует ком-

IV/ / ч dw плексныи потенциал W (z), производная которого —^- дает так

а плоскость комплексного переменного £ назовем плоскостью

годографа (рис. 141), причем в силу сопряженности скорости

Скоростям точек поверхности струи от А (В) до С, очевидно, будет соответствовать дуга окружности А'С В' радиуса ѵх.

Ранее было установлено, что проекции скорости ѵх и ѵу внутри жидкости не могут иметь экстремального значения. Максимум достигается только на границах. Следовательно, все линии тока

264

в плоскости £ будут изображаться линиями, не выходящими из

Итак, задача определения формы струи сведена к решению интеграла, содержащего комплексный потенциал в плоскости £.

Переіідем к решению задач.

Задача 1. Определить форму струи и коэффициент сужения струи при исте­ чении из щели в плоской стенке (рис. 141).

Перенесем линии тока из плоскости потока г в плоскость £ годографа. Если сосуд с жидкостью имеет неограниченную емкость, то можно считать, что доста­ точно далеко от щели жидкость находится в покое. Тогда это состояние жидкости в плоскости годографа изобразится точкой О'. Линии тока вблизи щели перейдут в кривые, выходящие из точки 0' и входящие в точку С , лежащую на окружности радиуса vi. В плоскости потока точке С соответствует то сечение струи, в котором скорости выровнялись и равны Vi.

Следовательно, в плоскости £, надо осуществить поток, у которого линиями тока служат указанные кривые, диаметр А'В' и дуга А'С'В'.

Очевидно, для-этого необходимо поместить в точку О' источник обильности 2Q (пока неизвестной), а в точку С и ей симметричную С" — стоки с обильностью 2Q каждый. В результате получим внутреннее обтекание круга радиусом vi с обте­ каемым диаметром А'В'.

Комплексный потенциал такого течения

^ ( 0 = - § - ш С — ü - l n ( S - ° i ) — і - 1 п ( 5 + °і)

или

W = [In £ - ln-(S - ѵЛ - In (£ + 0 l ) ] •

Определим дифференциал комплексного потенциала, входящего под знак интеграла в формуле (262):

Картину линий тока в плоскости потока найдем при решении интеграла

или

Второй и третий интегралы находят разложением на рациональные дроби: 1 _ А В

— ~Г'Т,

265

или Л£ — A vi - j - Bt, = 1, откуда Л - f S = О и Л = — 1/і>і, тогда ß = 1/оі, а интеграл

С ( S - о і ) = - - M n £ + - M n ( £ - t ; 1 ) .

Аналогично получим для третьего интеграла

- { + A l n c _ J _ l n ( s _ , 1 ) _

J - I n g + - A in (5 + ^ ) 1 + С ,

0_ і ф р + ^ К - ^ ) ] , , .

266

или, подставляя координаты точек А' и С и значения углов a i и аг, получим

Q = v1d = v 1 h 1 ^ ,

где і>і находят по уравнению Бернулли. Форму струи определяют по выра­ жению (263), где g H г) берут с окружности радиуса t>i.

Рис. 142. Истечение через плоский насадок Борда

Задача 2. Определить коэффициент сужения струи при истечении из плоского насадка Борда с отрывом от стенок. Поступая по указанной методике, перенесем линии тока из плоскости z потока во вспомогательную плоскость £ годографа.

Очевидно, картина линий тока будет соответствовать указанной на рис. 142. Такое течение можно осуществить, помещая источник обильности Q в начало координат О' и двойной сток в точку С на окружности радиуса vi в плоскости

годографа £.

Комплексный потенциал этого течения имеет вид

Картина линий тока определится при решении интеграла:

Используя решение предыдущей задачи, получим:

267

Рассмотрим плоскость годографа. Для точки на поверхности свободной струп можно написать

§ 31. ПЛОСКОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА

Для анализа плоского течения газа воспользуемся уравнением движения идеальной жидкости в форме. Эйлера

Уравнение неразрывности для рассматриваемого случая за­ пишем в виде

Выше было показано, что только для безвихревого, т. е. по­ тенциального течения газа справедливо уравнение адиабаты

-4- = const. р к

268

После этих предварительных рассуждений можно построить уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости

ср {х, у).

В самом деле, в уравнения движения и расхода входят частные производные от давления и плотности по независимым перемен­

Умножим уравнение (266) на vx, a (267) на vy и сложим их:

Заменим сумму справа из уравнения неразрывности, тогда, перенося все в левую часть и используя условие потенциальности, получим

При выводе этого уравнения мы не делали никаких ограни­ чений по величине скорости потока, так что оно справедливо как для дозвукового установившегося адиабатического течения газа, так и для сверхзвукового.

Это уравнение нелинейно, так как его коэффициенты сами зависят от искомой функции ср (точнее, от ее частных производных

по X я у).

269