Задание 2.

Даны матрицы:

, , .

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

Найдем определитель матрицы A:

следовательно, обратная матрица существует.

Определим алгебраические дополнения :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Найдем (обратную матрицу к матрицеА):

.

Проверка:

Задание 3.

Данасистема линейных уравнений:

Решитьэту систему:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

Решение.

а) Найдем определитель системы :

В этом определителе заменим 1- ый столбец столбцом свободных членов, получим определитель :

.

Вычислим определитель, который получается из определителя системы заменой 2-ого столбца столбцом свободных членов:

.

Аналогичным образом, заменяя в определителе системы 3-ий столбец столбцом свободных членов, получим :

.

Найдем значения x, yиz по формулам Крамера:

;

;

.

Ответ: , , .

б) Рассмотрим матрицы:

- матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных;

- матрица свободных членов;

- матрица неизвестных.

Тогда, в матричной форме система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

.

Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:

.

Для матрицы взадании №2 ( пункт д) нами была найдена обратная матрица:

.

Найдем матрицу :

.

Ответ: , , .

в) Выпишем расширенную матрицу системы :

.

1. Проверяем: .

2. Мысленно умножим элементы 1-ой строку на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки, получим:

.

3. Проверяем: .

4. Мысленно умножим 2-ую строку на «1» и сложим с 3-ей строкой:

,

получаем матрицу ступенчатого вида (см. определение 2 §7 главы I).

5. Составляем систему уравнений, соответствующую матрице :

.

Подставляем в предпоследнее уравнение системы :

,

отсюда

.

Из первого уравнения находим

.

Ответ: .

Задание 4.

Пользуясь критерием Кронекера – Капелли, исследовать систему линейных уравнений на совместность, и в случае совместности найти ее решение методом Гаусса

.

При переходе от 1-ой матрице ко 2-ой мы поменяли местами 1-ую и 2-ую строки для простоты вычислений, затем мысленно умножили элементы1-ой строки на «-2»; «-1» и «-5» и результат прибавили соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, получили 3-ю матрицу. Затем перешли к 4-ой матрице: 1-ую и 2-ую строки оставили без изменения; умножив элементы 2-ой строки на «-2», затем на «-3», прибавили результаты умножения соответственно к элементам 3-ей и 4-ой строк. Затем убрали нулевые строки и перешли к матрице ступенчатого вида. Мы одновременно приводим к ступенчатому виду основную и расширенную матрицы и .

По определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы I)

.

В силу критерия Кронекера – Капелли система уравнений совместна. Переходим от последней матрицы к системе уравнений:

.

Из последнего уравнения выражаем :

.

И, подставляя это равенство в первое уравнение системы, получаем:

,

отсюда имеем:

.

Таким образом, полученная система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения независимым переменным и, мы каждый раз будем получать частные решения системы.