МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_

Кафедра высшей математики элементы линейной алгебры методические указания

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наук Е.Е.Ассеева,

доцент Т.А.Мацеевич,

доцент, кандидат физико-математических наук И.Б.Раскина,

ассистент А.Н.Федосова .

Глава 1. Матрицы.

§ 1. Основные понятия.

Определение 1. Матрицей размерности (читается на ) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов:

.

Числа называются элементами матрицы , индекс указывает номер строки, индекс - номер столбца, на пересечении которых находится элемент . Так, например, элемент стоит на пересечении четвертой строки и пятого столбца.

Для обозначения матрицы используются следующие символы:

, , , , ,

Определение 2. Матрица называется квадратной матрицей - ого порядка, если (число строк равно числу столбцов):

.

Элементы , где , называются диагональными элементами матрицы .

Определение 3. Квадратная матрица называется диагональной, если (все элементы матрицы, за исключением, быть может, диагональных, равны нулю):

.

Определение 4. Диагональная матрица называется единичной, если все ее диагональные элементы равны единице ( ). Единичная матрица обычно обозначается буквой :

.

Для обозначения единичной матрицы используют также символ Кронекера:

символ Кронекера.

Определение 5. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:

.

Матрицей – столбцом называется матрица , состоящая из одного столбца (размерность ):

.

Матрицей – строкой называется матрица , состоящая из одной строки (размерность ):

.

Определение 6. Две матрицы и называются равными, если

1) размерности матриц совпадают;

2) соответствующие элементы матриц равны:

Пусть задана матрица размерности . Заменим 1-ую строку на 1-ый столбец, 2-ую строку на 2-ой столбец и т.д., -ую строку на -ый столбец. Такая операция называется транспонированием матрицы .

Определение 7. Матрица, полученная в результате транспонирования, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается символом .

Пример. Транспонировать матрицу

,

.

§ 2. Определители второго и третьего порядков.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:

.

Этой матрице соответствует число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы .

Для обозначения определителя используют символы:

, .

Определение 1. Определителем 2-го порядка матрицы называется число:

. (1)

Например,

.

Введем понятие определителя 3-го порядка. Пусть

.

Определение 2. Минором элемента матрицы называется определитель, который получается из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца. Минор элемента обозначается символом .

Например, для элемента матрицы минором служит определитель

.

Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, умноженный на :

. (2)

В качестве примера вычислим алгебраическое дополнение элемента матрицы

.

В нашем случае , вычеркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим

, .

Определение 4. Определителем 3-го порядка матрицы называется число

. (3)

Поясним это определение на примере:

, тогда

Для вычисления определителя 3-го порядка можно использовать, так называемое, «правило треугольника», а именно:

Например,

.