11

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_

Кафедра высшей математики теория пределов методические указания

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наукВ.Н.Борзунов

Примеры решения задач по теории пределов

§1. Основные определения

Определение 1. Число A называется пределом последовательности , если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех натуральных выполняется .

В этом случае пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу A.

Пример.1. Используя определение предела последовательности, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, за число можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных , выполняется , следовательно . 

Пример.2. Используя определение предела последовательности, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, При всех натуральных , выполняется , следовательно . 

Пример.3. Используя определение предела последовательности, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, за число можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных , выполняется , следовательно . 

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→a и говорят, что предел функции f(x) в точке a существует и равен числу A.

Пример.4. Используя определение предела функции, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число δ(ε)>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , будет справедливо неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Таким образом, за число δ можно принять число или любое другое положительное число, меньшее, чем . При всех x, для которых справедливо , выполняется , следовательно . 

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) в точке a слева, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→a–o и говорят, что предел функции f(x) в точке a слева существует и равен числу A.

Определение 4. Число A называется пределом функции f(x) в точке a справа, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→a+o и говорят, что предел функции f(x) в точке a справа существует и равен числу A.

Определение 5. Число A называется пределом функции f(x) при x→–∞, если для любого можно вычислить число x_o=x_o(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x<x_o, выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→–∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→–∞ существует и равен числу A.

Определение 6. Число A называется пределом функции f(x) при x→+∞, если для любого можно вычислить число x_o=x_o(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x>x_o, выполняется .

В этом случае пишут или f(x)→A при x→+∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→+∞ существует и равен числу A.

Пример.5. Используя определение предела функции, доказать, что .

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число x_o(ε) такое, что для всех x>x_o, будет справедливо неравенство , то это значит, что Рассмотрим . Неравенство имеет два решения: или . Поскольку вычисляется предел f(x) при x→+∞, то выбираем первое решение x_o= . При всех x>x_o, выполняется , следовательно . Второе решение соответствует значениям x→–∞, предел f(x) при x→–∞ также равен , .