- •Московский государственный строительныйуниверситет
- •§2. Некоторые свойства пределов функций
- •§3. Эквивалентные функции
- •§4. Таблица эквивалентных функций при X→0
- •§5. Свойства бесконечно малых функций
- •§6. Непрерывность функции в точке
- •§7. Вычисление предела функции в точке
- •§7. Вычисление предела функции при X→∞
§2. Некоторые свойства пределов функций
Пусть: Cпостоянное число,
предел функции f(x) существует в точкеa,,
предел функции g(x) существует в точкеa,.
Тогда: ,
,
,
,
, если.
Предел постоянной величины равен значению этой величины. При вычислениях, константу можно и рекомендуется выносить за знак предела. В условии, когда функции f(x) иg(x) имеют конечные пределы в точке, функцииf(x)+g(x),f(x)∙g(x) также имеют пределы в этой точке. При дополнительном условии, существует предел функцииf(x)/g(x).
Указанные свойства пределов функций будут соответственно справедливы в точке aслева (x→a–o), в точкеaсправа (x→a+o), приx→–∞ и приx→+∞.
§3. Эквивалентные функции
Определение 7. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x→a, если .
В этом случае пишут f(x) ~g(x) приx→aи говорят, что приx→aфункцияf(x) асимптотически ведет себя как функцияg(x) и наоборот, функцияg(x) асимптотически ведет себя как функцияf(x). При вычислении пределов с использованием эквивалентных функций применяют следующие теоремы:
1. Пусть f(x) ~g(x) приx→a, тогда, если один из этих пределов существует.
2. Пусть f(x) ~f1(x) иg(x) ~g1(x) приx→a, тогда, если один из этих пределов существует.
Можно сравнивать функции f(x) иg(x) в точкеaслева (x→a–o), в точкеaсправа (x→a+o), приx→–∞ и приx→+∞, при этом вычисляют пределы в соответствующих предельных точках. Например, если, то говорят, что функцииf(x) иg(x) эквивалентны в точкеaслева и приx→a–oфункцияf(x) асимптотически ведет себя как функцияg(x). Если, то говорят, что функцииf(x) иg(x) эквивалентны приx→+∞ и пишутf(x) ~g(x) приx→+∞.
§4. Таблица эквивалентных функций при X→0
1. sin(x) ~ x; 6. ax ~ 1+x∙ln(a); 11. sh(x) ~ x, ;
2. cos(x) ~ ; 7. ex ~ 1+x; 12. ch(x) ~ , ;
3. tg(x) ~ x; 8. loga(1+x) ~ ; 13. th(x) ~ x,;
4. arcsin(x) ~ x; 9. ln(1+x) ~ x;
5. arctg(x) ~ x; 10. (1+x)α ~ 1+α∙x.
§5. Свойства бесконечно малых функций
Определение 8. Функция α(x) называется бесконечно малой при x→a, если .
При вычислении пределов применяют следующие свойства бесконечно малых функций:
1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при x→aесть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции α(x) на ограниченную функциюz(x) приx→aесть функция бесконечно малая.
Следствия: а) произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;
б) произведение бесконечно малой функции на константу есть функция бесконечно малая;
в) частное от деления бесконечно малой функции на ограниченную функцию, предел и значения которой отличены от нуля, есть функция бесконечно малая.
3. Пусть α(x) – бесконечно малая функция приx→aи не обращается в нуль, тогда функция– бесконечно большая приx→a.
Соответственно определяются бесконечно малые функции в точке aслева (x→a–o), в точкеaсправа (x→a+o), приx→–∞ и приx→+∞.
§6. Непрерывность функции в точке
Определение 9. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .
Определение 10. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если , гдеΔx=x–x0 и Δf=f(x)–f(x0).
Определение 11. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .
Определения 9, 10 и 11 эквивалентны.
Точка x0это конечное число, которое принадлежит области определения функцииf(x). Нет смысла задаваться вопросом о непрерывности функции приx→–∞ и приx→+∞. Однако, явление непрерывности функцииf(x) в точкеx0слева и в точкеx0справа существует.
Определение 12. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 слева, если . В этом случае.
Определение 13. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 справа, если . В этом случае.
Некоторые свойства непрерывных в точке функций:
1) Пусть: f(x) непрерывна в точкеx0,;
g(x) непрерывна в точкеx0,.
Тогда: непрерывна в точкеx0,;
непрерывна в точкеx0,;
непрерывна в точкеx0(при условии),.
2) Если: g(y) непрерывна в точкеy0,
f(x) непрерывна в точкеx0и
y0=f(x0),
тогда функция g(f(x)) непрерывна в точкеx0.
3) . Это означает, что под знаком непрерывной в точке функции можно переходить к пределу.