Московский государственный строительныйуниверситет

_

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наук Е.Е.Ассеева,

доцент Т.А.Мацеевич,

доцент, кандидат физико-математических наук И.Б.Раскина,

ассистент А.Н.Федосова .

ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ.

§ 1. Основные понятия.

Определение 1.Матрицейразмерности(читаетсяна) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая изстрок истолбцов:

.

Числа называютсяэлементами матрицы, индексуказывает номер строки, индекс- номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так, например, элементстоит на пересечении четвертой строки и пятого столбца.

Для обозначения матрицы используются следующие символы:

,,,,,

Определение 2. Матрицаназываетсяквадратной матрицей - ого порядка, если(число строк равно числу столбцов):

.

Элементы , где, называютсядиагональными элементами матрицы.

Определение 3. Квадратная матрицаназываетсядиагональной,если(все элементы матрицы, за исключением, быть может, диагональных, равны нулю):

.

Определение 4. Диагональная матрицаназываетсяединичной, если все ее диагональные элементы равны единице (). Единичная матрица обычно обозначается буквой:

.

Для обозначения единичной матрицы используют также символ Кронекера:

символ Кронекера.

Определение 5. Матрица называетсянулевой, если все ее элементы равны нулю:

.

Матрицей – столбцомназывается матрица, состоящая из одного столбца (размерность):

.

Матрицей – строкойназывается матрица, состоящая из одной строки (размерность):

.

Определение 6. Две матрицыиназываютсяравными, если

1) размерности матриц совпадают;

2) соответствующие элементы матриц равны:

Пусть задана матрица размерности. Заменим 1-ую строку на 1-ый столбец, 2-ую строку на 2-ой столбец и т.д.,-ую строку на-ый столбец. Такая операция называетсятранспонированием матрицы.

Определение 7. Матрица, полученная в результате транспонирования, называетсятранспонированнойпо отношению к матрицеи обозначается символом.

Пример. Транспонировать матрицу

,

.

§ 2. Определители второго и третьего порядков.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:

.

Этой матрице соответствует число, которое называется определителем(детерминантом) матрицы.

Для обозначения определителя используют символы:

,.

Определение 1. Определителем 2-го порядкаматрицыназывается число:

. (1)

Например,

.

Введем понятие определителя 3-го порядка. Пусть

.

Определение 2. Минором элементаматрицыназывается определитель, который получается из матрицывычеркиванием-ой строки и-ого столбца. Минор элементаобозначается символом.

Например, для элемента матрицыминором служит определитель

.

Определение 3. Алгебраическим дополнениемэлементаматрицыназывается его минор, умноженный на:

. (2)

В качестве примеравычислим алгебраическое дополнение элементаматрицы

.

В нашем случае , вычеркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим

,.

Определение 4. Определителем 3-го порядка матрицыназывается число

. (3)

Поясним это определение на примере:

, тогда

Для вычисления определителя 3-го порядка можно использовать, так называемое, «правило треугольника», а именно:

Например,

.