Часть |
ОБЩАЯ ДИНАМИКА КОЛЕСНЫХ |
третья |
МАШИН |
Г л а в а |
VIII. В Н Е Ш Н И Е С О П Р О Т И В Л Е Н И Я |
|
И Н А Г Р У З К И , В О З Н И К А Ю Щ И Е |
|
П Р И Д В И Ж Е Н И И К О Л Е С Н Ы Х М А Ш И Н |
33. СОПРОТИВЛЕНИЕ ВНЕДРЕНИЮ КОВШОВЫХ ЗАХВАТОВ В СЫПУЧИЕ МАТЕРИАЛЫ
При внедрении ковша в штабель часть материала, имеющая форму треугольной призмы с углами при основании, равными углу естественного откоса ср материала и углу К среза передних кромок боковых стенок ковша (рис. 39), перемещается по его днищу к задней стенке. Одновременно перед внедряющимся в штабель ковшом образуются ясно различимые плоскости выпи рания, отклоняющиеся от вертикали на некоторый угол Ѳ. Этот угол по мере внедрения ковша не остается постоянным, увеличи ваясь с увеличением глубины внедрения х. Опыты показывают, что величина углов выпирания Ѳзависит также от высоты внедре ния ковша в штабель: чем ближе днище ковша к верхней поверх ности штабеля, тем больше значения Ѳ.
Взаимодействие задней стенки ковша с материалом тоже вы ражается в выпирании некоторой части материала, но теперь из объема зачерпнутой призмы. При определенных условиях этот процесс сменяется всползанием материала по задней наклонной стенке ковша. Взаимодействие последней с материалом обуслов ливает сопротивление «отпора». Составляющими общего сопро тивления внедрению являются также сопротивления резанию, трению элементов ковша о материал и выпиранию его из объема штабеля. Рассмотрим эти составляющие отдельно.
Сопротивление резанию Рр. Внедрение начинается с раздви гания режущими кромками днища и боковых стенок ковша отдель ных частиц материала в штабеле; затрачиваемое при этом усилие принято называть сопротивлением резания. Исследование про цесса «резания» имеет самостоятельное значение, поэтому здесь мы ограничимся лишь указанием на формулу, записанную в об
щем виде, определяющую величину Рр: |
|
Р р = Р р (В8ДН-I- 266сА ), |
(VI11.1) |
где В и b — соответственно |
ширина днища ковша |
и длина его |
боковых ножей, |
см; |
|
6 ДН и 8 СТ— толщина ножей днища и боковых стенок, см; рр — удельное сопротивление резанию, кгс/см2;
kx — коэффициент, учитывающий влияние наклона к го ризонту боковых ножей на сопротивление резанию.
Сопротивление трения элементов ковша о зачерпываемый мате риал Т. В зависимости от места внедрения ковша в штабель за черпнутая призма соприкасается с его боковыми стенками либо двумя, либо одной гранью (см. рис. 39). В произвольно выбранном поперечном сечении ковша с призмой зачерпнутого материала эпюры нормальных давлений одн и стст на его днище и боковые
Рис. 39. Напряжения в материале, находящемся в ковше
стенки имеет вид (с некоторым |
приближением) |
прямоугольника |
с высотой сгдн = уд и |
треугольника с катетами |
у и ост = удп6, |
где д — объемный вес |
материала в ковше, кг/см3; |
пб — коэффициент |
бокового |
давления материала. |
Равнодействующие эпюр нормальных давлений, численно равные их площадям, определяют величину погонных нагрузок qm и qcr, распределенных по длине (или ширине) днища стенок ковша:
для случая на рис. 39, а |
|
|
Чьи = |
= |
qCT= |
0 ,5сгсту = 0,5у дп§, |
для случая на |
рис. 39, б |
|
УАН= |
Одн* = |
У дх] |
q = 0,5у2дп'б. |
В этих зависимостях значение коэффициента бокового давле ния принимается равным щ. Опыты показали, что боковое давле ние в свободной насыпи материала значительно меньше, чем боко вое давление материала на стенки внедряющегося ковша, и эта разница тем больше, чем выше скорость ѵв внедрения.
Величина п'б может быть подсчитана по формуле
пб = п6(1 + і>в).
Равнодействующие эпюр погонных нагрузок определяют вели чину нормальных усилий Л^дн и NCT между материалом, днищем
ибоковыми стенками ковша: для случая на рис. 39, а
Мт, = 0 ,5 <7днХ = 0,5х2Вд tg ф; N ct — 2-0,5qCTx = 0,5х3п'бд tg2 ф;
для случая на рис. 39, б
Ѵд„ — 0 ,5 <7дНВ = 0,5х2Вд tg ф; А^ст = ЯстХ = 0,5х3пбtg2 ф.
Для обоих случаев расположения призмы материала в ковше значения нормальных усилий УѴДН и NCT одинаковы. В дальней шем принято расположение зачерпнутого материала по схеме на рис. 39, а.
Сопротивление движению материала по днищу при отклоне нии последнего от горизонтального положения на некоторый угол
ßопределяется формулой
гдн = Л^дн tg (р + Р) = 0,5*2ßd tg ф tg (р + ß);
сопротивление от трения материала о боковые стенки ковша
|
|
|
F — NCTtg р = 0,5х3дпдѴ tg2 фtg р, |
где |
р — угол |
трения |
между материалом и ковшом; |
V |
= j^S |
^ |
— коэффициент, |
учитывающий уменьшение пло |
|
|
|
щади боковых стенок ковша, когда угол перед |
|
|
|
него |
среза боковых стенок меньше 90°; |
|
|
ß — угол |
внедрения ковша; он имеет знак (—) при |
|
|
|
наклоне днища ковша от основания штабеля |
|
|
|
и знак (+) — при наклоне днища к основанию |
|
|
|
штабеля. |
|
с |
Общая величина сопротивления Т от трения материала о ковш |
учетом |
веса |
GK ковша |
|
T=:2T,H+ 2F + GKig р,
или
Т = х д tg ф [В tg (р + ß) + хпбѵtg р] + GKtg p.
Для удобства расчетов преобразуем это выражение, введя в него так называемый коэффициент заглубления ковша k , рав ный отношению величины Ах разности между глубиной внедре ния X и глубиной ковша /к к величине /к:
тогда |
|
|
Т = х2Вд tg ф tg (р + ß) (1 + m T) + |
GKtgp, |
(VIII.2) |
где |
|
|
mT = - ^ v ( l ± к)п6Ъ<р.^ * |
г ^ . |
(VIII.3) |
Коэффициентом тг в формуле (VII 1.2) учитывается трение боковых стенок ковша о материал.
Если вес ковша воспринимается приводом и трение наружной стороны его днища о материал в штабеле можно не учитывать, то
Т = 0,5х 2Вд tg Ф tg (р + ß) (1 + 2mT). |
(VIII.4) |
Сопротивление выпиранию Р. По своей конфигурации зона выпирания материала близка к плоскому клину, ограниченному со стороны ковша плоскостями сдвига в зачерпнутом материале
Рис. 40. Расчетная схема к определению сопротивления выпиранию
(если его равновесие нарушено), а со стороны штабеля — плоско стями выпирания (рис. 40, а). Угол при основании этого клина
е = 90° — (т — ß) + Ѳ.
Здесь и в дальнейшем принимаем, что днище ковша при внедре нии имеет наклон от основания штабеля. Объем клина выпирания зависит, не только от физико-механических качеств перегружае мого материала, но и от формы и способа образования штабеля, от места внедрения в него ковша. Нами рассматривается наиболее общий случай, когда ковш внедряется в конусообразный или пирамидальный штабель и высота его днища от верхней поверх ности штабеля Достаточно велика.
Тогда объем клина
V |
__о c r2 |
sinа (ф — ß )cos(т — ß — Ѳ) _ |
' DA' А |
’ |
Sin (ф + X — ß) COS (ф + Ѳ) ’ |
|
вес клина |
Qb = |
0,5х2Вд%ь, |
(VI11.5) |
|
где |
|
sin2 (ф — ß) COS (т— ß — Ѳ) |
|
у. |
|
|
sin (cp + |
т — ß) cos (ф + |
Ѳ) |
|
14* |
|
|
211 |
Переходя к рассмотрению сил, действующих в зоне выпира ния, условимся считать материал как в этой зоне, так и в соседних с ней затвердевшим. На рис. 40, а римскими цифрами /, //, / / ' и I I I обозначены соответственно призма зачерпнутого материала, клин выпирания, материал в остальной части штабеля и ковш. Отмеченные на схеме силы являются равнодействующими нормаль ных усилий и сил трения между отдельными частями материала и днищем ковша, они отклоняются от нормали к сопряженным поверхностям на угол трения р.
По данной схеме построен план сил (рис. 40, б); решая его, на ходим
р _ р |
Sin ( Т — ß + |
р12) . |
21 |
сое г» |
5 |
Р\2 —P‘2,1 - Qb |
|
cos (p2,2 — Ѳ) |
COS (T + |
P21 + |
P2’2 — Ѳ— ß) ’ |
откуда |
|
|
|
sin (T — ß + |
p12) cos (P2,2 — Ѳ) |
P = Qbcos (T — ß + p12 + p2,2 — Ѳ) cos P31 •
В этом уравнении p2i = рь и р2 >2 = р'ь — углы внутреннего трения; р3 1 = р' — угол трения зачерпнутого материала о днище ковша; значение этого угла следует принять равным нулю, так как трение материала о ковш учитывалось нами отдельно. Тогда, обозначая дробную часть последнего уравнения через ф, получим
Р= <2ьФ;
—sin (т ~ ß + Pfc) cos(pfc — Ѳ) cos( t — ß + Pé + Pft— ѳ)
или, |
так как рь = рь, |
|
|
_ |
sin (т — ß + pfc)cos(p6 — Ѳ) |
|
1)5 ~ |
Sin (8 — 2pb) |
Величину ф назовем коэффициентом сопротивления выпира |
нию. |
Значение коэффициента ф при е ^ 2рй становится отрица |
тельным или равным бесконечности; следовательно, при этих условиях выпирание материала из штабеля оказывается невоз можным. Как в этом случае, так и в том, когда напорное усилие погрузчика недостаточно для преодоления сопротивления выпи рания, которое велико (что часто наблюдается при перегрузке плотных или слежавшихся материалов), сдвига материала в шта беле по плоскостям выпирания не будет. Принимая для этих слу
чаев Ѳ = 0 и рь = 0, |
получим |
|
ф = |
ф' = tg [(т— ß) + рьі. |
(VIII.6 ) |
Формулой (VIII.6 ), как известно, определяется сопротивление сдвигу тел по наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол (т— ß). Величину я))' будем называть коэффициентом сопро тивления сдвигу. Вес участвующего в сдвиге материала может быть подсчитан по формуле (VIII.5), в которой значение сле дует определять при Ѳ = 0; тогда
|
Qb = 0,5х2ВдІь\ |
|
|
sin2(ф — ß) cos (т — ß) |
(VIII.7) |
|
Sin (ф + |
T — ß) СОБф |
|
|
|
Сопротивление сдвигу |
|
|
|
P' = Q'iß' = |
0,5x2Bd%bty'. |
(VIII.8 ) |
Таким образом, внутренние сдвиги материала при его зачер пывании должны рассматриваться как частный случай его выпи рания. Для хорошо сыпучих материалов сопротивление сдвигу заметно ниже сопротивления выпиранию и поэтому сдвиги мате риала в ковше наступают обычно прежде, чем начнется выпира ние материала из штабеля. При большом напорном усилии по грузчика можно наблюдать оба эти явления; тогда наполнение ковша происходит и за счет смещения в него части материала из штабеля и за счет ссыпания в ковш материала из зоны выпирания. Добавочное сопротивление от трения боковых граней выпираемого
клина |
учитывается |
коэффициентами |
и т'ь. |
|
|
|
mb = 2 ± ( l ± k ) |
V |
S Pf. |
sin (ф — ß) . |
|
|
|
ф |
cos ф |
|
(VIII.9) |
|
т'ь = 2 |
\ 0 ± k) |
"б *S Pf, |
sin (ф - |
ß) |
|
|
|
|
ф' |
cos ф |
|
|
Тогда общее сопротивление при выпирании или сдвигах мате |
риала |
будет соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
Р = 0 ,5 г Д а д ( 1 + m ft); |
|
(VIII. 10) |
|
|
Р'=--0,5д:2Б ^;Ф '(1 |
+ т ) . |
|
(VIII.11) |
В полученные выше зависимости входит величина угла Ѳ, значение которого, как отмечалось, при внедрении ковша не остается постоянным. Поэтому задача по расчету сопротивления выпиранию становится неопределенной. Однако эта неопределен ность может быть разрешена, если за расчетную величину угла Ѳ условимся принимать такое его значение, при котором сопротивле ние выпиранию будет наименьшим, а следовательно, само выпи рание материала из штабеля — наиболее вероятным.
Для определения оптимального значения Ѳ найдем произвол-
ную dP и приравняем ее нулю:
0,5х2Вд |
sin2 pf — ß) cos (т — ß — Ѳ) |
X |
|
sin + г — ß) cos (г|) + Ѳ) |
|
sin (T + pfe)co s(0 — p') "
0 .
cos (t + pb+ p '— Ѳ— ß)
или
dP dQ
|
Здесь через А обозначена постоянная, а через г |
переменная |
|
часть производной |
|
|
|
cos (Ѳ — т + ß) cos (Ѳ — pj) |
(VIII.12) |
|
cos (ф + |
Ѳ) cos (т + Pb + p'b — Ѳ— ß) ■ |
|
|
|
Находя производную и решая полученное выражение относи |
|
тельно Ѳ, приходим к следующей зависимости: |
|
|
Ѳ= Ѳ0: |
T + P ft+ P fc — ф — ß |
(VIII.13) |
|
|
|
ИЛИ при Рь = РЬ |
|
|
|
__ т + 2р6 — ф — ß |
(VIII.14) |
|
|
|
|
Уравнениями (VIII. 13) |
и (VIII. 14) определяется оптимальное, |
|
расчетное значение угла |
Ѳ. |
|
Сопротивление отпору К. На рис. 41 даны расчетная схема (а) и построенный по ней план сил для определения сопротивления отпору (б); зона выпирания на схеме обозначена цифрой IV. Со противление отпору возникает в основном при полном заглубле нии днища ковша в штабель, когда величина Ах — х — /к стано вится положительной. Исходя из этого, вес материала в зоне выпирания (клин ОМБ) будем определять по формуле
Q0 = 0,5Ах%Вд sin2 (ф — ß) cos (а — ß — Ѳ') sin (ф + а — ß) cos (ф + Ѳ') ’
^ИЛИ
Qo = 0,5x2ß 5 |o 7 r ^ |
s |
(VIII.15) |
где
sin2 (ф — ß) cos (а — ß — Ѳ') sin (ф + а — ß) cos (ф -f- Ѳ')
Сопротивление отпору К материала задней стенкой ковша определяем по плану сил (рис. 41):
|
К __ р |
sin |
(а ß Н- Р34) . |
|
|
|
43 |
COS р 81 |
|
р |
__ р |
__(л |
________ cos (р14 |
Ѳ)_______ |
34 |
43 |
Vo cos (а — ß + р43+ |
р14 — Ѳ') ’ |
отсюда
К — П Sin (а — ß + р34) cos (р14 — Ѳ')
Ѵо cos (а — ß + р43 + р14 — Ѳ') cos р31 ’
Рис. 41. Расчетная схема к определению сопротивления отпора
Обозначая |
дробную |
часть этого выражения |
через я|я0 и имея |
в виду, что р3 1 |
= р' = |
0 ; р34 = р и р14 = рь, получим |
|
|
К = Qo^o! |
(VIII. 16) |
|
|
sin (а — ß + |
р) cos (рь — Ѳ') |
(VIII.17) |
|
|
cos (а — ß + |
P + Pi — Ѳ') |
|
|
|
Величину яро, по своему физическому и математическому смыслу аналогичную коэффициенту яр, назовем коэффициентом сопро тивления отпору.
Сопротивление отпору может быть вызвано также всползанием части зачерпнутого материала по задней наклонной стенке ковша. Это происходит в тех случаях, когда сопротивление выпи ранию материала задней стенкой ковша весьма велико (или выпира
ние |
невозможно); принимая тогда в формуле (VIII. 17) Ѳ' = 0, |
рь = |
0 , получим |
■фо = яРо = tg [(а — Р) + р]. |
(VIII.18) |
Массу всползающего материала QÖ определяем по формуле
(VIII. 15), в которой коэффициент | 0 получает значение |о (при Ѳ' = 0)
|
Qo = 0,5х В ö|o |
; |
|
|
s in 2 (ф — |
ß) cos (а — |
ß) |
(VIII.19) |
|
sin (а — |
ß + ф) cos ф |
|
|
Сопротивление всползанию материала К' определяем как произведение веса Qo на коэффициент фо сопротивления всполза нию:
К =0,5/5д|оф о ( 1 + f e )2 • |
(VIII.20) |
Отпор материала задней стенкой сопровождается также тре нием выпираемого или всползающего материала о боковые стенки ковша; с учетом этого сопротивления (коэффициентов т 0 и то) формулы (VIII. 16) и (VI11.20) запишем так:
К = 0,5х2В 0 |0фо (1 + m0) (1 * k)t
К = 0,5x В д|0фо (1 + то) (1 _ ^ )2
здесь
т 0 = |
«6_tg_P ■k |
sin (Ф — |
ß ) . |
|
Фо |
COS ф |
’ |
m0 = 2 |
Пб ^ P k |
s*n ^ — ^ |
В |
_ ij^ |
соіф |
|
Сопротивление трению материала о боковые стенки ковша при отпоре (или всползании) не превышает обычно 2—3% от величины К (или К') и при практических расчетах его можно не учитывать. При выводе этих формул предполагалось, что угол внедрения ß ковша не больше угла внутреннего трения в материале и трения его о днище ковша. В противном случае, задней стенкой ковша, помимо массы Q0 (или Qo), будет восприниматься и часть массы вне зоны выпирания, что значительно увеличит сопротивление отпору.
Оптимальное расчетное значение угла Ѳ' = Ѳо отклонения плоскостей выпирания от вертикали при отпоре находим здесь
так же, как и для процесса выпирания материала из штабеля, решением уравнения
dK |
_ |
* , |
dzK __« |
dW |
~ |
к’ |
dQ' ~ ’ |
где А к — постоянная величина, независящая от Ѳ'; zK— переменная величина уравнения:
__ |
cos (Ѳ' — а - f ß) cos (Ѳ' ----- p&) |
Z k |
cos (a -j- p + pb — ß — Ѳ') cos (<p - f Ѳ') ’ |
Решая указанное уравнение, получим
a' _ a -f (p + рь) — Ф — ß |
°o — ------------ |
5------------ |
Для ковшей с задней вертикальной стенкой отпор обусловли вается только выпиранием материала, и сопротивление отпору равно величине К. Из уравнения (VIII.23) путем замены в нем величины Ѳ' выражением (VIII.24) легко найти условие, при кото ром для ковшей с задней вертикальной стенкой (а = 90°) значе ние К не будет равно бесконечности:
(р + Pt) + Ф — ß <С 90°,
откуда
ß > Ф + (Р + Рь) - 90°. |
(VIII.25) |
Таким образом, если при заданных значениях ср, р и рь угол ß внедрения ковша меньше значения, определяемого неравенством (VIII.25), то выпирания материала задней стенкой ковша не бу дет. В этом случае дальнейшее внедрение ковша либо прекра тится, либо при достаточном напорном усилии произойдет сдвиг материала в штабеле перед ковшом.
Сопротивление внедрению Р вв. Для определения общего со противления Рвн внедрению ковша в штабель остается просумми ровать найденные выше значения Рр, Т, Р (или Р') и К (или К')- Поскольку, однако, сопротивление сдвигу и всползанию мате риала, как правило, меньше сопротивлений выпиранию, вели чину Рвп следует определять по формуле
Рвн = Рр + Т + Р' + К’, |
(VIII.26) |
или |
|
Рвн — Рр {В&дн 4" 268CT&?J -j- х2В сс' GJ\ |
(VIII.27) |
для ковшей, вес которых воспринимается приводом, |
|
Рвн = Рр (Я6д„ + 266СА ) + х*Вдс. |
(VIII.28) |
