книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин

При cos ki -=

1 динамическая нагрузка на упругом звене

имеет

максимум:

М Раях =

М р — ( М . — М с) Ja

(VI.23)

Jp~\~Jо

Эта

формула

после

преобразований приводится

к виду

М F m a x

2 (Мр — Мс) J0

м„

Jp~b Jо

условиях — при

/ = 0

фр = 0

и ф р = 0 находим

м р — м с

(Мр - М с) ./„

(VI.24)

фр

~ Jp +

Jo

1 ~

(Jр+ Jq)jp — Y sin k t ;

(Л « р -л у 'о ,,

Щ — Mc (2

(VI.25)

фр~

c'iJp +

Jtf

^ — cos kt) -f -Jp-}- Jo

2

дущей

массы системы.

Аналогичным образом определяем скорость и перемещение

ведомой

массы:

м р — м с

Mp -—Мс

(VI.26)

Фо =

Jp-}- Jo

Jp-}- Jо

~Y sin k t ;

Мр — Mc

*з

(Mp --M c) Jpjg

- COS kt)

Mc

(VI.27)

ф о

~

Jp + Jo ' T

C'(Jp+Jo)2

c'

(

Нетрудно убедиться в том, что вычисленная по формулам

(VI.25)

и (VI.27) величина

(фр — Фо) =

Ф =

(Мр — Мс) Jp

— COS kt) -j- —jjr .

( 1

с' (Jp 4~ Jo)

совпадает

с полученным

выше

выражением (VI.8 ).

исполнительных

органов

и отнесенных

к

ним

частей

передачи;

с{ и 0 2. — приведенные жесткости

упругих звеньев механизма;

Мр — движущий

момент;

М 1с и

М 2с— приведенные

моменты

сопротивления на исполнительных органах.

При исследовании динамики указанного механизма влияние

зазоров в кинематических парах не учитывается.

Движение такой системы

описывается

уравнениями

Л>Фр +

О (фр — фоі) +

°2 ( ф р —

Фсй) =

M p ,

( V I.28)

У01 фоі —0(ф p - -Фоі) =

—

1с>

(VI.29)

J 02 ф02 —-О (фр-— ф02) =

—■М2с.

(VI.30)

Обозначив

а

с[

с'2

С1

С2

Jp ’

Jp- = U-2о; j 01 = аи,

-" 02 — и22І

Mp

ип

Л*іс .

°22

2С

Jp

’

— ■

Т

>

Л1 ’

J02

запишем

эти

уравнения

в виде

І

Фр =

й1офр

аіоФоі "t" й2оФр ----а 2офо2 — ^10і

фоі —

апфр _ Г

а 1іФоі =

ъ

.

Фо2

й22фр

й22фо2 —

^22>

или в операторной

форме

(Р2 +

Ö10 +

«2о) Фр — «іофоі — «20Ф01 =

hoY,

( V I.31)

(Р2+

Oll) Фоі — Оцфр =

— h l ;

( V I .32)

(p2

a2i) фо2---- а 22фр — ---- h t -

( V I .33)

— (р4 + р2а22+ р2а10+

а10а22+ р2а20+ а20а22) Ь2-f

-j- а22а2йЬ2-j- a20anb3,

где ф£—- обобщенное

угловое

перемещение для любой из масс

системы: і ~

р; 0 1 ;

0 2 .

I сі (Jр ~ J 0 \ ) J 0 2 + С2 (Jр + ^ог)4 л 1Ѵ ,

ф< +

'

ф‘- +

С 1 С 2 ( J p +

J Ü1 + 4 ) 2 ) • • _

C 1 C 2 M m g

(VI.34)

JpJolV02

т/

I I I

0 p j оі^ог

где МИЗб = M p— (Mlc +

М 2с) — избыточный момент

привода.

Понижая порядок уравнения (VI.34),

примем

*1 / 1

C\ (Jp + 4 > l) J02 + °2 (Jp + ^ 02) JQ

4C1C2 (^p + ^01 ~4~ ^02)

JpJQ\Jt>2

0l4o2

Для определения постоянных интегрирования в уравнении

(VI.36) следует

предварительно найти

начальные значения фг;

IV

...

V

Ф» = ФР ФI = Ф,-

и ф,- = Ф/. Эти параметры определяются задан­

ными начальными условиями при t =

0 <р„ = 0 ; ф0 1 = -----

ф0.>

МС2 . . .

~ О и по исходным уравнениям

------- фр

фоі ' фо2

Фоі = 0; Фо2 = 0;

Фр =

;

Фр =

Фоі = Фо2 = 0;

1Ѵ

сХ з б

ІѴ

с# и з б

Ѵ

Ѵ

фоі —

■IІрI-101 >

Ф(Й —

jгpjI02 і

Фоі — Фо2 --- 0-

Фоі

Мизб

I

С1^ІИЗб

(cos kJ — cos kJ)

Jp + ^01 V •Д

•^p^Ol ( * 1 — *2 )

Ліизб

О

“ (Jp + J0i -\- J02) ( ki - k i ) ( kl C0S klt — k2 C0S kl^

<V I -3 ? )

М р і

— с \ (фр

— ф01) =

Уоі Фоі -!- Л41с;

A4

_

^м^изб

I

с1^изб

(cos k2t — cos kj)

m f i

— /

i f

I / -

- h

•Д+Лі+ ^02

'kl\.W.I36 __

(k\ cos k j — k2cos kj)

Mic. (VI.38)

(Jp + ^01 + ^02) (* 1 — *2 )

Одно из возможных максимальных значений динамическая

нагрузка получает

при

cos k 2t — cos k xt = — 1 :

MFl шах

_2Мизб-[0і

Mlc.

(VI.39)

' 01 Т

* 02

максимальная нагрузка

^ F 2max —

2 АІИзб^о

M9

(VI.41)

•ДД^оі+Д

Пример. Вычислить значения

MF для погрузчика непрерывного действия

11 Л . А. Гоберман

161

Для первого погрузчика примем:

Мр — Л4Д — 100 кгс-м (981

Н-м); Jp =

— 0,26 кгм-с2 (2,55 кгм2);

J 0 -- 0,035

кгм-с2 (0,344 кгм2) (все параметры при­

ведены к двигателю); Мс =

30 кгс-м (284 Н-м). Для второго погрузчика: Л4р =

= Л4д = 100 кгс-м (981

Н-м); Jp = 0,26 кгм-с2 (2,55 кгм2); J 01 =

0,015 кгм-с2

(0,147 кгм2);

J 02 = 0,02

кгм-с2

(0,196

кгм2);

М 1С= Л42с = 15 кгс-м (147 Н-м).

По формуле (V. 10)

_

2 (100 — 30) 0,35 +

30 — 16,6 +

30 =

46,6

кгс-м (457

Н-м);

мр ~

0,26 + 0,035

по формуле (V. 41)

9 ,5 +

15 =

24,5

кгс-м (230

Н-м).

Механизм состоит из двух ведущих масс

с приведенными

к исполнительному органу моментами инерции К

и / а и ведомой

массы

исполнительного органа с моментом инерции J0.

Ведущие

массы

связаны с ведомой массой упругими звеньями с

угловой

J \фі +

О (фі — фо) =

Мй

(VI.42)

J о фо

+ (фі — фо) +

с2(фо — фг) = —М с;

(VI.43)

, J 2ф2 — С2(фо — фг) =

м 2.

(VI.44

Обозначим

Мі . и _

м 2 _ > _ мс

Фі 4~ « п ф і

« иФ о = hi >

Ф о----« 10ф і 4 ' « іоф о ~Г « 2оФо

« 20Ф2 =

Ь0\

Ф з --- « 22Ф0 4~ « 22Ф2 =

^ 22>

или в

операторной

форме:

(р2

а и )

Фі — « пФ о =

^nl

(VI.45)

(р 2I 4 '

«1 0

4 “ « 2о) Ф о ---- « іо ф і ----«20 Фг = -----Ь0;

( V I .4 6 )

.

(Р 2 4 -

« 22) Фз — а 22Ф0 =

h i ,

( V I -47)

здесь

р — оператор дифференцирования.

(р2 + а 10

-f- аг0),

Умножим

уравнение (VI.45)

на

величину

а (VI.46) — на а1У и

полученные

выражения

сложим:

K P2 + а и ) (р 2 +

а10+

Ь.го)

— о п а 10] Ф! — ап аг0ср2 =

=

А

(р 2 +

а 10 + Ого) —

« і А -

Умножая

уравнение (VI.45) на а 22,

a

(VI.47) — на а1У и вы­

читая

из первого

второе,

получим

(р 2

0 ц )

Й22фі

(Р 2 4 “ « 2 2 ) «1іф2

=

«22^11

« і А г -

[р 6 4 “

(«22 4 " «10 4~ а 20 "Г «1і) Р 4 “4

4 -

(010082 +

« п « 2 2

4 - ОцОао) р 2] Фі =

= h l [р 4 +

(«22

4 - « 1 0

4 - О го ) Р 2 4 - («10022 4 - «22«2о)1 “

« І і Р А

«11«22^0

«22«20^П 4 - «11«20^20-

VI

С2 ( ^2 4~ 7р) /і Ч~ С1 (7j 4~ 7р) J 2

IV

С1С2(А 4~ ^2 ~Г 70) Фі

Фі

Фі4-

Jі72*^0

.

IV

VI

IV

Фі =

Фі;

Фі = Фъ

Фі =

Фі; Фі =

Фі;

тогда уравнение

(VI.48)

перепишем

так:

IV

с2 А

4~ 7 0) Jt

- j- Су (Jy -f- J0) J2

Фі

7lJ2 h

Фі

I C1C2 V l 4~ 7 2

J.0 ) д|.

_- ClC2

I(44l -{- 4 ia)

M c\

(VI.49)

г

}

I

I

I

-

Фі

I I I

-1

"

1 “ 0

■ JjV2J0

11*

. 163

А.4 -г

с2 (^ 2

+ Jo) А + С1 (Л + Jo) J2

А2 ■

4^2^О

~L clc2 (^l + ^2 ~Ь 'р)

0 .

^1^2^О

Комплексные

корни

этого

уравнения

,

__ 1 f

1 [ с2 (^2 +

J o)

J \ + C1 (^l + ^o) J 0

1>2“ V

2 L

Wo

-i2

± х / [ і

(J2 + ^o) ~Г C1 (Д + ^o) ^2

4CjC2 (J1 -f- J2 + ^o)

J1 J2 J0

(VI.50)

Общим

решением уравнения

(VI.49)

будет

1 4

= Схcos kJ -\- C2cos kJ -f- C3sin kJ +

C4 cos kJ

{(M1 + M2) - M c\

(VI.51)

А +

^2 +

Отсюда дифференцированием

находим

Фі = срх =

CJtxcos kJ — C2kxsin kJ 4-

~|~

2 cos kJ — Cjz2 sin kj\

фі = cpi = —C1& 1 sin &K — C2 ^i cos kJ —

— Сз&2 sin kJ — C4&2 cos kj\

фі =

фі = —C iscos kJ -)- C2£? sin kJ —

и ф2.

этих параметров примем следующие:

Начальные значения

* =

0; Фх =

0;

Фі =

0; Фо =

— 7ТГТ;

С1 * г С2

Фо =

0;

фо = 0.

Далее из уравнения

(VI.42)

находим

••

Мх

сі

,

сі

— О +

Фі = 7^- — 7 ^ Фі + - j - Фо

Фі =

Mt

ci

Mc k\_______ (Mt +

M2) — м с

h

ci + c2

Щ. — k2

Л~ЬЛ+^о

C1

(Мг-

■Mc) + c 2M1

k2

k2I

cos kJ

к 2

L +

C2

А (*?-*!)

*1 '

H

Mc

fei_______ (Mt +

M2) — Mc

C1 +

C2

*1 — ^2

^l +

А + *Л>

— k\

f l ____H

+

1

(Mt + M2) - M c

(VI.52)

4- C2

j \

(kj —

J

1

A + A

+

^0

™ __ ( 2Мі

Мс

. 2 ______ t(Mt -f- м 2) — Мс]

, 2 __

Ф [ Л « - * ? )

( Л + ^ + 'о ) « - * ! )

“ 2 /?(*?-А |)

) C0S V

~

( — i + ^ T ^ -------------Л----- +

2МХ- М е ,2 _

[(Mt +

M2) - M c]

,2 _

(^l +

+ A>) (k\ ~ *4)

c' (2Mt — Mc)

C O S kJ -j-

[(Mt + M2) - M

c]

(VI.52a)

2 J\ {k\-k\)

Л + ^* + -Л)

При cos

= cos k 21 =

1 функция (VI.52) имеет один из

максимумов

Фіг

_ 2 [(M t+ M j - M j

2M1- M C

(VI.53)

Ji~h J2

"Т

2 /j

M

n — а (cp — фо) — M i

— Уіфі.

Заменяя здесь фх по формуле (VI.53), найдем максимальное

значение Мр\\

М р і m a x —

2 уМ I

■

2 [(Mt + М2) -

Мс]

1

Л4С.

(VI. 54)

Л + ^ 2

— ^0

2

Аналогичное выражение получается и для динамического уси­

лия

Мр2 = Сг(фо— ф2),

нагружающего

второе упругое

звено

механизма; максимальное значение этого усилия

M p

<

гцл^ + м ^-М с] J2+ - L m c- 2 M 2.

(VI. 55)

1

2

Величину углового ускорения ф0 = ф0 исполнительного органа

определяем из

решения дифференциального

уравнения

У 1

С2 (^2 + А)) ^ 1 + С1 ( А + Л)) ^2 " ,

С1С2 ( Л + ^2 + Л)) .

Фо =

--------------

--------------ФоН----------

т

------- - фо =

ГТ-7

тО

1

I I I

I I I

*/lt/ 2J0

JіУ 2J0

_

cjc*

[(АІ1 + Л12)-Л 4 с]

(VI.56)

Поступая, как и при вычислении

величин

фх и ф2, находим

•начальное значение ф0 из уравнения (VI.43)

при

с{ = с2 = с.

Фо =

Фо:

Мс

Фо +

Ф2-

■Л)

Фо'

^О

С учетом ранее принятого начального значения ф0 и ф2

получим, что

при

^ =

0

фо = 0 ; тогда

Фо = Фо =

- т -

Ф і -------т- Ф о -------7—Фо +

~ Г Фа =

V

Cj •••

с2 •••

с2 •••

■фо = фо =

*>О

~ г ф і --Г ф°+ ~Гф2= О.

«'О

^0

( Ml

+ ( M,

— M c

Фо == Фо =

^1^2^0(^ 1

4 )

2

с И

[(м1+ м 2) - м с]к\

cos kJ

(/і + ^2 + Л)) ( 4 — 4 )

с '

( Мх ---- 2~ MeJ

У2 -f- ( м

* ~ Т

M c

) J i

J J J

o { 4

- 4

)

[{M, + M2) - M

c]k\

cos kJ

( 7 j +

J 2 - f- / 0) ( k j — k2 )

(Mi + M2) —

(VI.57)

+

При cos k J =

cos k j

= — 1 величина ф0 имеет один из макси­

мумов

2 [(Мг + M2)--Afc]

фо max —

А + ^2 + J0

Соответствующий этому ускорению момент от инерционных

нагрузок, действующих

на исполнительном

органе механизма,

•^офо I

2 [ { M l + M 2) ~ M Z\ J 0

(VI. 58)

J1

•І2 -\- J0