книги из ГПНТБ / Самохин А.Ф. Эксплуатация цифровых вычислительных машин [учеб. пособие]

кодов состоит

в том, что если Л -значная

кодовая комбинация

йП1

принадлежит к данному коду,

то и комбинация

Qn.f ,

Qп-2 • П0ЛУченная циклической перестановкой

В циклических кодах двоично кодированное

Л -разрядное чис

до представляется полиномом ( П-1 ) - й степени

некоторой

пере­

менной X

. Коэффициентами при этом являются двоичные

знаки

способность

кода.

Кодовым полиномом

называется полином

степени,

меньшей

Пи +/П ,

если он делится без остатка

на порождающий полином

степени

т .

Принятая кодовая

комбинапия

И (х) ,

если

нет ошибок, равна

F(x) , т .е .

Н(Т.)$0 -Т (х) , и,

следовательно,

Н (х)

делится

на Р(х) без

остатка.

Если же

в слове

возникла

обнар,ужимая

ошибка, полином Н(х) не

будет

делиться

на

Р(х) без

остатка,

что и-служит признаком ошибки.

Образование кода осуществляется следующим образом.

Информационный полином

G(x) степени,меньшей

Пи , который

нужно закодировать, умножается на

X 171 ,

что

соответствует сдви­

гу на

ТП

разрядов влево. Полученный таким образом полином де­

лится

на

? (х ) для определения

остатка

Р (х )

.

Остаток

складывается

по модулю 2

с

X m ■Q (x)

и таким образом полу­

чается

кодовый полином.

F ( x ) - x m G(x) ©

Р (х ) .

(3 .7 )

Покажем,

что Т (х )

при этом делится

на

Р (х ) ,

а Л(х)

представляет контрольные знаки и занимает

не

более /77

млад­

ших членов полинома

F ( х ) .

Можно записать

x mG(x) = Q(T> Р(х) ® Ъ(Я),

где Q (х )

-

частное от деления

СС^-б (X)

на Р (х ) .

Так как сложение и вычитание по модулю 2 -

одно и то же, то пе­

ренеся Р(Х)

в левую часть, мы получим

F (x) = ccmG(x) ®R(x)=Q(x) P fx).

I О О О I I I О О I 1 0 1 0

информационная

контрольные

часть

разряды

Этот алгоритм при последовательной передаче кодов реаяизу-

ei с.г достаточно просто.

Проблема

разработки

циклического

кода сводится к нахождению

■° >р сдающего

полинома, обеспечивающего

выполнение ноставлепной

Закодированное

слово,

содержащее

ошибки, можно записать и виде

И ( а ) = Г(х) ® Е (х ) ,

где

£ (эс)

-

модель

ошибок, т .е .

полином той же степени,

что

F(x)

,

имеющий ненулевые члены в каждой ошябо’йюй позиции

полинома

Н М .

Если

И (X)

не делится на

Р ( х )

,

имеется ошибка.

Если Н(х)

делится

на Р(ос)

, то либо ошибки нет, либо

ошибка такова, что Е (х )

также дичится на

Р ( х ) .

Следова­

тельно, модель ошибок обнаружила только

тогда, когда

Е ( х )

не

делится на

Р (х ) .

Такал образом,

порождающий полином Р (я )

должен бить выбран таяш , чтобы

Е(Х)

при контролируемых

ошибках

не

делилась

на Р ( х )

. Кроме того , полином

Р(х) не

должен быть кратным

X ,

т .е .

должен обязательно иметь нуле­

вой член, так как в противном случае и кодовый полином не бу­

дет никогда иметь нулевого члена, т .е .

в

одной позиции кода

всегда

будет

ноль.

Но такая

позиция

не

несет

информации: и,

сяе—

довательяо, бесполезна.

Рассмотрим

нахождение

Р (х ) для обнаружения одиночных

ошибок.

В этом случае,

очевидно,

модель ошибок будет

иметь вид Е(х)=Х

(ошибка произошла в

*

-й

I

не делится на лю­

i

позиции). Но ОС

быточностью,

является

Р (х)

= 1+ X .

Остаток

от деления кодового

полинома на /+ X имеет нулевую

степень,

т .е .

в коде будет

о,дин контрольный знак. Можно пока­

ном с четным числом членов,и, следовательно,

в кодовой

комби­

нации всегда будет четное число единиц.

В случае минимального

кодового

расстояния

d = 3

для

обнаружения двойных ошибок, очевидно, модель ошибок будет

Е ( х ) = X 1+

= х 1( / + x J l ) .

Л этом случае полином

ш

должен быть выбран таким, чтобы

( i + X^~L ) не

делилооь на

Р(х)

(

х {

не делится на

Р(%) , так

как

последний не кратен

X

) .

Порождающие

полиномы для кода

с

d -S

при различной длине кода имеют вид:

- 5 6

-

ДЛЯ

Л

£

7

Р ( х )

=

для

п

£

/5

Р ( Х )

=

X

4+ X + i

ДЛЯ

п

б з ;

Р ( л )

=

х *+ х 2* -1

В таблице

3 .5 приведен семизначный циклический код дяя

чисел

от 0 до

9.

Таблица 3 .5 .

Число Двоичный код Циклический

Число

Двоичный код Циклический

код

код

0

0000

0000

000

5

0101

0101

100

I

0001

0001

ОН

6

ОНО

ОНО 001

2

0010

0010

НО

7

О Ш

О Ш 010

3

ООН

ООН 101

8

1000

1000

101

4

0100

0100

I I I

9

1001

1001

НО

Здесь так же, как в коде Хэмминга, на четыре информационных

знака приходится три

контрольных. Этот

код может быть использо­

ван для исправления ошибок,

так

как между остатком

(контроль­

ответствие. Ошибке в любой из

П

позиций соответствует один

из 2

- 1 ненулевых остатков.

Схема для кодирования и декодирования последовательного

кода

по порождающему полиному

Р (х)

’ +J

показана на

рис.

3 .6 .

В основу работы схемы положен алгоритм,

рассмотренный

в примере

(3 .8 ) . Как видно из

примера,, даш шеажучшжя о статка,

достаточно в старшем значащем разряде шящщуаюзй® ■акаа я в

двух

разрядах, отстоящих от него на две шашициг. иэвеяшчь с о -

кодируемое число последовательно, разряд за разрядом,

с т а т н ­

ый разрядами вперед, поступает

через элемент НИИ на выход и

через сумматор по

m od2

- на вход сдвигающего регистра. При

поступлении

на триггер

кода единицы элемент lij открывается

и следующий CItj

проходит

на входы сумматоров по mod 2 .

Благо-

даря этому

происходит сложение

по

mod 2

очередного

разряда

кодируемого

числа

и содержимого

Т р

передаваемого на

,

с

единицей, т .е .

происходит

инвертирование

содержимого

двух

раз­

разряда, сдвигаясь нз Т4 , теряется. При поступлении на

сле­

дующей едишщц операция повторяется. При поступлении п

сдви­

Я

п

п _пп . .

п ,

, . .

, ,

t

си0 vJu U l A A A А А Л Л А А Л Л А А A *

сиг

А А А А

i

!/

1

1—1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

А А

A

си5

I

г г

т,

h

-

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 А 1

1 1/

1 1 1 I I I

I "I

П

1 1

Н И Н Т

1 , "ТГ П

1 1

ъ

1

'

1

1 Т I

f 1

т

*

TV

П I Н - Л ь - Г Л л п

Т 2 . I

T V

Тц.

| 1 Г 1 [ 1 Т 1 Т г

-г*—г1

1

1

ГЛ

1

ГЛ

ГЛ

ГЛГЛ

гл

гл

1 1 ?

i i i h

5

i n

n

n h

h

h i i;

1

2

3 ц

6 7

8 д

Ю и п

13

<4

IS /5

/7 /8