книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

Из интегрального уравнения для функции Грина t

Gm(-г, у, /) = Go (х, у, *- j* Ут J GqО, ^~ ■О X

л

X[Vt O ) - y - (z )],

Gm O, у, т)Уг

следует, что

Ям О, У, г1) = J JGoО, 2, / —T)[y^(z) —y-(z)]GM(z,r/,T)d2»

поэтому

<t

^dx j [Vt(z)~V-(z)]GM(z, y, x) dzdy = j Ям О, У, t)dxdy.

n

Следовательно,

*

] j Ут j [Ум 0) —У- 0)1 Gm О, У, v) dxdy |< | |Ям О, У, ОI dxdy.

n

13.28Y

В силу оценки теоремы 1.1 правая часть этого неравенства ограничена сверху константой, не зависящей от М. Из оценок

щим от М.

Но последовательность функций |Удг(х)ф(х, 7,) | есть мо­ нотонно возрастающая последовательность неотрицательных интегрируемых функций. Так как ф(х, А) =0 для почти всех х ей , то для почти всех последовательность

60

|VM(x)cp(x, Я,) I сходится к функции %{х, Я), из теоремы Беппо-Леви следует, что %{х, Я) ^ L l(RN). Теорема 3.7 дока­ зана.

В гл. 2 мы доказали (теорема (1.14)), что операторы G(t) образуют полугруппу слабо измеримых по t при ^>0, ограниченных самосопряженных операторов. Из теоремы [5, гл. 22; п. 31] следует, что

о

Из формулы (4.2) в силу единственности спектральной функ­ ции следует, что при Х2><к\ справедливо равенство

61

поэтому достаточно построить спектральное разложение опе­ ратора G (t) при некотором фиксированном ^>0.

§ 1. Исследование дискретного спектра

Пусть <Jd — множество точек дискретного спектра опера­ тора Н, т. е. множество тех точек Я, для которых существует нетривиальное решение уравнения

Следствием теорем 2.1 и 2.2 является Теорема 4.1.

1) Множество (—сю, 0) Пстй конечно. Для того чтобы функция ф(х, Я) и число Я е (—оо, 0) удовлетворяли равен­ ству (4.1), необходимо и достаточно выполнение при некото­ ром <?е[1, с»] равенства

Уравнение (4.5) имеет при фиксированном Я лишь конечное число линейно-независимых решений, каждое из этих решений

принадлежит любому L5, l^ /7-^оо;

2) множество (0, «ОПст^ не более чем счетно; для того чтобы функция ф(х, Я) и число Яе(0, оо) удовлетворяли ра­ венству (4.'4), необходимо и достаточно выполнение при не-

котором <7с f —— j-, ooj равенства

Это уравнение при фиксированном Я>0 имеет лишь конечное число- линейно-независимых решений, каждое это решение принадлежит £°° и равно нулю вне множества Й2. Число то­ чек множества (0, оо)Пстс;, меньших Я (с учетом их кратно­ сти), удовлетворяет асимптотической оценке

§ 2. Построение спектральной функции

Пусть и(х, k) — решение задачи рассеяния (2.1—2.3), {Я,} — собственные значения дискретного спектра оператора Я, {ф(х, Яг)} — соответствующие собственные функции.

Для любой функции f(x-)^L и k<={k, &2£Ё{Я*}} опреде­ лим функцию

62

/г — (Ф (х, к(), / (х)>.

Интеграл в формуле (4.9) понимается в Следующем смысле:

пусть {f)n{k) — сходящаяся в L2 к функции (/) (ft) последо­ вательность функций, каждая из которых равна нулю в окре­ стности множества {к, ft2e{X*}}. Для каждого п интеграл

/„(* )= j и*(х, к) (7)„ (к) dk

lfcl=<X

существует как интеграл Лебега. Утверждается, что последо­ вательность 1п(х) сходится в Л2, причем предел ее зависит

только от If{k) и не зависит от выбора последовательности

(7)» (*);

3) преобразование

_ _N

является взаимно-однозначным унитарным преобразованием про­ странства L2(Rn\Q) в ортогональную сумму пространств

Е2@1т, где т— мощность множества {Я,}. Обратное преобра­ зование дается формулой

63

В этой формуле интеграл ло k лонимаетсятак же, как в (4.9),

каком-нибудь фиксированном ^>0, поэтому исследуем опера­ тор

а D(p0) — расположенный в нижней полуплоскости замкну­ тый прямоугольник с высотой h> 0 и основанием [р', р"].

Лемма 4.1. Если ре£>(р0), Imp<0, то функция. Д(р, G(t)) представима в виде

где оператор Л(р) непрерывен по р при peD(po) в равно­ мерной операторной топологии пространства

(Предполагается, что в множестве Д(ро) введена топология, индуцированная топологией комплексной плоскости, т. е. все множества вида {z, (\z—z0\<е)ПЕ)(ро)} считаются откры­

тыми.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Во всех точках р, где оператор Д(р, G(t)) существует, он удовлетворяет второму резоль­ вентному уравнению

R (р, G(*)) = R (р, G0 (0) - R (Р, G0(9) gR (Р, G(0). (4.12)

Легко показать и обратное: если оператор i?(p, G(t)) — решение уравнения (4.12), то он является резольвентной опе­ ратора G(t) [5]. Подставив в уравнение (4.12) формулу (4.11) мы получим, что оператор Л(р) удовлетворяет уравнению

A (p) = — R (p, G0)gR (p, G0) — R (p, G0)gA (p),

из которого следует, что

А (р) = — (Е + R (р, G0) g)-' R (р, G0)gR (p, G0). (4.13)

64

ч'

=У — Г (<7 О1 — ie, Д), [Я (Т1— is,G0 (i)) —

2я£ J

Из теоремы 6.6 следует, что в равномерной операторной топо-

логин пространства ~U ^L\ 1/р— 1/<7> ^ +1 ^ справедливо

2N

равенство

66

удовлетворяет уравнению

и (k, р) — R (р, G0) (G - G0)e‘by + R (р, G0) (G - G0) к (/г, p). (4.20)

(В силу теорем 2.1 и 2.2 решение этого уравнения существует

=11 [х (е- <^+ie)i, k) (х) — ф (х, k, А.)]/ (х) dx |=

=II / Ik' II и (e-(^+ie)', А) (х) — ф (х, k, X) Iр -*■0, e-v + 0, (р' = pip— 1).

Лемма доказана.

Следствие. При f^L и k2£ {X} справедливо равенство

q {e~kH— i0,f) (k) = j [u(x, k) f (x) dx, .

где u(x, k) ■— решение задачи рассеяния (2.1) — (2.3)

Из формулы 4.18 следует, что для любых X', X", удовлет­

множестве (—оо, оо)\ {Х }, получим равенство .

68

где / 4= (Ч>(■«» h )’>/(*)>•

Из формулы (4.23) следует, что отображение f- + u f= [(2 n )- N/2(7)(k),{m

есть отображение L в L2® / mi где fn — мощность множества точек дискретного спектра оператора Я (с учетом кратности). Докажем, что это отображение можно расширить до отобра­

жения L2(^jv\fi) вЯ2ф /т- Пусть f(x) — произвольный эле­ мент множества L2(RN'\Q) и fn(x) — последовательность функций из L, сходящаяся, в L2(/?w\£2) к f(x). Каждой функ­

ции fn (х) поставим в соответствие элемент L2 ® lh

f n - > - u L = № r NI2(f)(k),{m-

Из формулы (4.23) следует, что

( / „ - / ffl,P ( Q ) ( /„ - /m)) =

= (2k)-'v f I (?„)!(£)-;(7m) (k)\2dk + y \ (/J £- (U c I2. '

. ^

поэтому последовательность [(2я)-ЛГ/2 (/„) (/г), {(/„)£}] фундамен­ тальна в L2® C и в силу полноты L2®/m сходится к некото­

ражения U для этого достаточно доказать, что Глюбой последо­ вательности {/„ (х)}, сходящейся к нулю в L2, соответствует последовательность [(2я)~N/2 (fn) (к), {(/„)г}]> сходящаяся к нулю в £2ф/т> что есть тривиальное следствие формулы (4.23).

Итак мы доказали, что отображение расширяется

до однозначного отображения L2(RN\Q) в £2® /т - (Это рас­ ширение будем обозначать тем же символом U.)

69