книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы
.pdfsup ITai (n) — t L(h)||i, «-*-0, • M -+00. |
(5.43) |
6 < д < 1 —6
(Там, где безразлично, какая именно ветвь операторной функции
Тм (и) рассматривается, мы опускаем значки ± .) Доказательство. В силу леммы 5.1-3 нам достаточно
доказать утверждение теоремы для оператора К1(р) gfu. Но
К1(р)Ям = К1(р) AA~l gM, причем в силу леммы 5.17 и оценок
5.38
|
|
К1(р) А £ Сд.а, |
А~хglM£ С2,<х> |
|
|
||||
что и доказывает нашу лемму. Оценка |
(5.43) есть следствие |
||||||||
оценки 5.38 и того факта, что |
|
|
|
|
|
|
|||
|
glM(r, г’ , |
t) — gl{r, |
г', |
t)\0, |
М-+-СЮ. |
|
|
||
Лемма 5.19. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
Оператор (Е — Т^(ц))-1 |
не |
имеет особых |
точек |
при |
||||
Р (Ё [0, |
1]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
при M < oo |
оператор (Е — Тм (р))-1 |
не имеет особых |
||||||
точек на отрезке [5, |
1— б], б > 0 ; |
|
|
|
|
|
|||
3) |
операторы (Е — т£г (р))-1 имеют простые полюсы в точ |
||||||||
ках р; = ехр(— ik\), |
kj — собственные значения оператора Н-1п1- |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о этой |
леммы является |
тривиальной |
|||||||
модификацией доказательства теоремы 5.4. |
|
|
|
||||||
Следствие. Пусть б > 0 таково, что на |
отрезке [б, |
1— б] |
|||||||
лежит п, /г > |
1, чисел ехр(— k)t), |
пусть |
М < оо |
и достаточно |
|||||
велико. |
Тогда |
в некоторой окрестности |
отрезка |
[б, 1 — б] у |
|||||
оператора (Е — Тм1 (р)) есть точно п полюсов pf (М)1, все они простые, имеют отрицательные (положительные) мнимые части и удовлетворяют соотношению
limpf (М)1= ехр (— k)t). М—>оо
З а м е ч а н и е . Тот факт, что полюсы p f (М)1 простые, вытекает из
одномерности собственного подпространства оператора ffjnt отвечающего
собственному значению kj, |
* |
|
|
Положим по определению |
|
|
|
X‘f ± {М)-=-----Х- log pf (М)1, |
(0 < |
arg logz < 2я). (5.44) |
|
Так как оператор {Е — Тм1 (р))-1 |
имеет |
полюсы в тех и толь |
|
ко тех точках, где уравнение |
|
|
|
100
' (£ — |
= 0 |
(5.45) |
имеет нетривиальные решения из Ва, то точки |
± (Л4) — это в |
|
точности те точки, где уравнение |
|
|
(Е— Т%(к))Ц = 0 |
(5.46) |
|
имеет нетривиальные решения из La, причем все решения урав
нения (5.46), отвечающие данному значению X = (М), полу чаются из решения ф* (г) уравнения (5.45) по формуле
фЛ, (г, 0, ср) = ф*(г) Р\",] (cos 0) е‘"'ф, |
— I < m < L |
||
Так как у оператора (Е— Тм+ (р))” ’ |
все полюсы |
простые, |
|
'то у каждой точки р = ё~‘^ есть такая окрестность, |
в которой |
||
при достаточно больших М лежит в |
точности один полюс |
||
(М)1= ехр(— (к)± {М)1). Таким |
образом, у каждой |
точки /Ц |
|
есть такая окрестность, в которой |
при |
достаточно больших М |
|
лежит в точности один полюс оператора (Е — Тм{^))~1и в слу чае сферически-симметричного потенциала,, введенные в 5.44 чи
сла hf(M) совпадают с введенными формулой (5.44) числами Xf (М) (конечно, *при правильной нумерации), причем справед ливы все результаты § 2— 6,
Пусть
A ( G m / G o) (р) = Дм (р) = det {Е— {GlM— Go) (|i£ — Go)-1). .
|i£[0, I]
определитель возмущения [13] операторов G m , Go. В силу ут верждения 5° из [13, стр. 205] справедливо равенство
Д'и (р) = det (Е— (рЕ — Gor1( G m |
— Go)] = det (E— Tlu Qi)) |
|
и из леммы 5.18 в силу теоремы |
11, стр. 202 |
и утверждения |
8°, стр. 207, книги [13] вытекает |
голоморфна |
по р в области |
Лемма 5.20. Функция Дм(р) |
||
р£(0, 1) ив достаточно малой окрестности отрезка [8, 1— 8] она имеет аналитическое продолжение Ам+ (ц) из верхней полу
плоскости в нижнюю и из нижней полуплоскости в |
верхнюю |
||
(Дл,- (р)), причем справедлива оценка |
|
|
|
'sup |
|ДАт± (Р) — ДгД± (р)|^0, |
М-*оо. |
(5.47) |
6<|Х<1—6 |
|
|
|
Лемма 5.21. Справедливо равенство |
|
|
|
Д „±-(р) = |
А± (GLt/Go) (Ц) П U - |
ехР (-¥ ))• |
(5-48> |
|
/= 1 |
|
|
101
До казательство. В силу леммы 5.16 разность
GL— Gext = Gint
ядерна, поэтому справедливо равенство
A (GL/Go) (ц) = A (GL/GLt) (И) -A (GLt/Go) (ц),
но
Gjnt (цЕ— Gixt)-1 = М-1 Gjnt.
откуда аналитическим продолжением и получаем (5.48).
В силу теоремы 3 из [14] и принципа инвариантности вол
новых операторов для фазового сдвига бм(X) |
операторов Нм и |
||||
Но справедливо равенство |
|
|
|
|
|
- |
6 ^ ) = |
argA ir(e-w) |
|
.(5.49) |
|
(наша нормировка фазы такова, что |
|
|
|
||
S(HlM, Hlo)(X) = exp(2i8lM(X))). |
|
||||
Из (5.49) и лемм 5.19'— 5.21 вытекает |
|
|
|||
Теорема 5.11. |
Пусть выполнены |
условия, I—'II, е)> 0 вы |
|||
брано так, что на интервале |
[Я,-— е, |
1/ + е] |
есть |
только одно |
|
собственное значение X= Х;- |
операторе Н\пt. |
Тогда |
существует |
||
такое Mj < оо, что при всех Л4 > М{ фазовый сдвиг бlM{X) опе раторов Нм, Но представим в виде
6м (X) = arc cos ( — ReXt |
(yVtj— -— \ + бм {X), |
(5.50) |
||
|
V \Xl? + ( M) - X \ |
j |
|
|
где X\’ + (Л4) — введенные формулой (5.44) .числа и |
|
|||
i im И |
I ®А1 (Ь) - Sext(X) 1= |
0, |
lim X}' + (M) = |
Xj, |
М-»оо |A—A.J 1<е |
|
|
M-*oo |
|
6ext (X)— фазовый сдвиг для операторов Hloxl, Н10.
Г л а в а 6 . ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ РАСПАДА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ И ШИРИНЫ КВАЗИУРОВНЯ
§ 1. Постановка задачи
Пусть Xj — точ-ка точечного спектра оператора Н, ф(х, Xj) — соответствующая собственная функция. Если ча стица, описываемая гамильтонианом Я, в начальный момент времени находится в состоянии ф(л:, Xj), то она будет нахо
102
диться в этом состоянии бесконечно долго. При М-»-оо спек тральная функция оператора Нм сильно сходится к спек тральнойфункции оператора Н, поэтому естественно рассмат ривать функцию
Ум(х, t, bj) = exp (— itНм) ф(х, lj) |
(6Л) |
как волновую функцию квазистационарного состояния (эта функция была бы стационарной, если бы оператор эволюции системы ехр(—itHM) немного поправили и заменили бы на оператор ехр(—itH)).
Вероятность Рм{1) того, .что частица, описываемая вол новой функцией (6.1), в момент времени t будет находиться
в состоянии ф(х, ij), есть |
* |
|
|
Рм(0 = |(Ф (, |
b,), |
exp (— UHM) ф(, Ч )) I2 = |
|
= {2n)~ZN|j |
exp (— ik2t) |ф.м {k, bj) |2 dk |2. |
(6.2) |
|
Наша задача состоит в том, чтобы вычислить асимптотику функции Рм{1) при t-yоо. Очевидно, что интеграл (6.2) мо жет 'быть записан в виде
Рм (^)<)=|j“ *-ш (ф. (£(чфя))^|
и поэтому в силу теоремы Винера [15]
|
р 11о§ рм0) |
d t < ^ оо. |
|
|
|
1-И2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, вероятность |
Рм{Ц не может |
убывать |
||
экспоненциально при |
Однако именно |
экспоненциаль |
||
ный закон наиболее |
естествен |
с физической |
точки |
зрения, |
и возникает математическая задача оценки точности, с кото рой он выполняется-. Полученная здесь оценка имеет, грубо говоря, следующий вид
Рм(t) = Ае~™ + О(Г‘/а),
где величина О(Г1/3) мала при Г->-0 равномерно по t.
Нам удалось оценить порядок величины Г в зависимости от параметров потенциала.
§ 2. Оценка энергетической ширины квазистационарного состояния и понятия квазиуровня
Сначала оценим вероятность Р (о) того, что система, опи сываемая волновой функцией (6.1), будет найдена вне интер
103
вала энергий [X;—ст, Х,--Ьа]. Из общих принципов квантовой механики вытекает, что
Р (а) = {2n)~N |
f |
|$м (k, |
Xj) |2 dk, |
|
Ift2—Xy|>o |
|
|
||
где |
|
|
|
|
■флг (A. Xj) = j u A,(x, |
k) ф(x, Xj) dx. |
|
||
Из теорем 1.8 и 5.2 следует |
|
|
|
|
Лемма 6.1. Справедливо неравенство: |
|
|
||
|
|
|
N—2 |
|
Р ( ° ) < 1 + 4/Г |
(d(M)M'/*/2) 2 J |
х |
||
X [1 — ехр(— od (Д4)/2 |/Л4)]~2ехр( |
М — Xj |
|
||
Ум |
|
|||
если |
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
d{M)M'd>2\{N — 2), |
|
|||
где |
|
|
|
|
d{M) = 0,5 р ({*, V (х) < |
М), |
{х, |
V (х) = |
оо}). |
Данная оценка является мажорантной и все входящие в нее величины вычисляются в явном виде по потенциалу.
Из леммы 6.1 вытекает, что в том случае, если
1, _М _У rf(Л4) > 1,
'Ум
описываемая волновой функцией (6.1) частица' с вероят ностью порядка ^1— ехр ^— М d (М) ^ будет найдена
в интервале энергий {X,—«т, Х/-Нсг], где а~ехр (— М — d (М)\
\ |
2 /М |
1 |
причем эта оценка равномерна по времени. |
Следовательно, |
|
волновая функция частицы в энергетическом представлении со временем остается локализованной достаточно четко и имеет смысл говорить о частице в состоянии (6.1) как о квазистационарной, что является косвенным оправданием нашей
модели. |
|
|
V(x)=oo}, |
— |
Напомним, что по определению Q—{x\ |
||||
связная компонента |
множества RN^Q, содержащая беско |
|||
нечно удаленную точку, Q2 = Rn'^ (Й U Qi). |
|
|
||
Теорема 6.1. Пусть mesQ2> 0 , р ^ , |
П2)> 0 , ||ф||2= И ' |
|||
а > -у , suppcpg Q2, |
|(Е+ Д)аср |2 = С< |
оо, |
IIР (X) IU = |
1> |
ф/ = (ф, Ф(, Х})) 02(М, т) —\\Gm(т) — G(т) |2. |
Тогда справедли |
|||
во неравенство |
|
|
|
|
104
F (Нм) cp — ^ cp7 (2я)~* |
J |
F (k2) uM(, Щфм (k, Ц dltU2 < |
|||
Xj<X |
\ k ~ X j\ < a |
|
|
||
exp (Vr) 0 (M, t) |
[£ e x p (2 (^ -X )T ) |
'U |
C,UE + H)a y b |
||
|
(1+A,)®-W4 |
||||
< 1 — exp (— fft) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В |
силу теоремы 5.1 собственные |
|||
функции точечного |
спектра |
оператора |
Я |
образуют полную |
|
в L2(Q2) систему, поэтому |
|
|
|
|
|
/?(Яд,)Ф= £ |
ф/ ( Я м)Ф(А/) + Е |
Ф / (Ям)Ф(А;), (6-5) |
|||
где ф .= (ср, ф(А^>. ф (А/) — собственные функции Я. Второе слагаемое в (6.5) оценивается так:
I v ф/ (нм)ф(а,)|[< Е 1ф/К(Е (1+ |
х |
|
kps-X |
h>% |
|
|
N |
|
X- ( S -<1 + |
+ ">“ 'РЬС(Я=) <* + Л) 4 |
■<6'6) |
причем в силу теоремы 4.1 константа в (6.6) зависит лишь от области Q2. Первое слагаемое в (6.5) преобразуем так:
Е [ф;Я (Нм) Ф (А,) = Е Ф/ |
J F ^ |
U*! ^ ^ ('k’ ^ |
^ = |
|||
Xj<k |
|
xj<x |
|
|
|
|
= |
£ |
Ф/ (2*Г"' |
J |
F(k2)uM(,k)^M(kyh)dk+ |
|
|
+ |
E |
Ф/(2я)- " j |
F(ki)UM(,k)$M(k,h)dk' |
(6-7) |
||
Оценим норму слагаемого: |
|
|
|
|||
|E |
ф/ (2я)—ЛГ |
J |
F (Щ (им (А) Фм А, V ^||2 < |
|
||
А;.<А |
lfe=—?.jl>0 |
|
|
|
||
|
< |
Е I фуIf(2it)_w |
J I ^ |
x>) i2dk\u < |
|
|
|
|
1 |
|
ifc’—m >° |
|
|
|
|
< ( E ( 2 « r W |
J |фм(йДу)|г^ ) ,/а. |
(6.8) |
||
|
|
\“<X. |
|fc2—Xjl>a |
|
|
|
105
Правая часть неравенства (6.8) оценивается по теореме 5.2. Подставляя оценки (6.6) — (6.8) в . (6.5), подучим утвержде ние теоремы.
Следствие. Если выполнены условия теоремы 6.1, то
IF (Нм) Ф - |
Ф/ (2n)~N |
f |
F (,k2) им (,/г) фм (k, Я;.) dkII < |
|
||||
|
я,-<я |
|
|Л2—Я3-|<а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N \ / сЦМ) М \ |
N— 2 |
|
|
< [l-e x p (-a d (M )/2 l/M )j-1|' 1 + 4/Г |
2 |
X |
||||||
|
■) |
|
||||||
|
/ |
М — Я |
|
|
|
|
|
|
|
X ехр \ |
2 уж - w |
) ) ( S |
|
0 '" + |
|
|
|
|
|
|
|
Яу<Я |
|
|
|
|
|
+ С||(£ + |
Я)“ ф||2(1 + Я) 4 |
|
(6.9) |
||||
В неравенстве (6.9) выберем Я достаточно большим, а потом выберем большое М. Тогда мы увидим, что для разложения функции ф в непрерывном спектре оператора Н существенны лишь узкие участки в окрестности собственных значений Я,-, эти участки —о, Я,+ц] имеют смысл «квазиуровней» опе ратора Н.
§ 3. Вычисление асимптотики вероятности распада квазистационарного состояния
Рассмотрим интеграл |
|
|
|
|
|
||
afj (М, a, t) = (2n)~N |
j |
ехр(— ikH) |ф;И(/г, Я,-) |2dk. |
(6.10) |
||||
|
Ik’— Яу|<(Т |
|
|
|
|
||
Лемма 3.1. Пусть 2|Яf |
(М)— Я/ |<(а<6/, М > уИ)., |
где Ь,- |
|||||
и Mj — константы леммы 5.7. |
|
|
|
|
|||
Справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|£!; (М, о, 0 - А3.(М) exp ( - iXf (М) /) |< |
Cj (а + а1/. + |
Г,-\(M)/a\t |
|||||
где |
|
|
jv _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М М ) = |
|
( Я + ( / И ) ) 2 |
|
X |
|
|
|
|
П(/И) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Г |
п, |
ГJ ф^'Ф/ |
|
(6. 11) |
||
|/ аИ +) |2( |
с й |
г |
|
||||
|
|П1=1 |
|
|
|
|
|
|
С7-— константа, |
которая |
не. зависит |
от t, М и о, |
величина |
|||
а+(п,М) и функция ф+ определены, формулой 5.22.
106
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Воспользовавшись леммой 5. |
, по- |
||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
фм (k, kj) = j |
uii (x, n, Y'X) op (x, kf dx = |
|
||||
= j |
[exp (i (n, x) l/X) |
+ |
Sj (к, M) (x)] ф~(х, kj) dx -f |
|
|||
+ |
(к- |
к~ (M))~l af (n, M) J y f (x, kf (M), M) x |
|
||||
|
X ф(x, kj) dx = a, (k, M) + (к— kf (M))~1 X |
(6. 12) |
|||||
|
|
|
Xaf(n,M)((pt,4>i)\ |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
I i>M(k, kf |2 = |
(k, kj) |
(k, kj) — |
|
||
|
|
= |a, (k, M) |2 + 2Re {(к - |
kf (M))_1 X |
|
|||
|
|
X af (n, M) <cpf\ -фу) a, (k, M)} + |
|
||||
|
+ \k -kf(M ) Г 21af (n, M) |21(cp+, ф) |2. . |
|
|||||
Интегралы от слагаемых в (6.12) можно оценить так: |
|
||||||
а) в силу ограниченности функции а;- |
(k, М) по k и по / |
|
|||||
|
|
|
| |
|а3-(£, M)|2d&<Ca; |
(6.13) |
||
|
|
|ft=—ХуКсг |
|
|
|
||
б) в силу теоремы 5.9 |
|
|
|
|
|||
|
j |
|/г2 — kf (М) Г 11af (п, М) а; (к, М) |dk < |
|
||||
|Аг—Xyl«J |
|
|
|
|
|
||
|
|
< С ( |
j“ |
\aj(k,M)\2dky*<Co'/*-, |
(6.14) |
||
|
|
Ik2—ХуКа |
|
|
|
||
в) так как по условию 0 > |
2 |Я,у— Я/'ДУИ)], то |
|
|||||
|
|
|
|
. |
N —1 |
|
|
|
|
|
|
е~ш к 2 |
dk |
|
|
|
|
|
(k-kf(M)) (к•— Ху (М)) |
|
|||
|
|
IX—Ху;<а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
2ni exp (— ikf (М) t) (kf (M)' |
: (6.J5) |
||||
|
|
: |
kft(M)-k-(M) |
<С/о, |
|||
|
|
|
|
||||
следовательно, в силу равенства 5.35
107
(2n)~N J |
exp (— ikH) a+ (n, M) a~ (n, M) |
dk |
№2-Я3-|<а |
(X-X-(M)) |
|
|
|
|
— Aj (M) exp (— iXf (M) t) < C/cr. |
(6.16) |
|
Собирая оценки (6.13) — (6.16), получим утверждение леммы. Следствие. Справедлива оценка
11 ехр (— ikH) |фм (k, %j) |2 dk— Aj (M) exp (— iXf (M) i) |<
< C [a + a‘/« + Г,- (M)/a] - j - (1 — exp'(— at))-2 exp (2^/r) 02 (Л4, т). (6.17)
Положим в (6.17) параметр a (/И) = 0 {М)'Р и воспользуем ся оценками теоремы 5.10 и леммы 5.2. Тогда из (6.17) получим
Теорему |
6.2. |
Если параметр |
М достаточно велик, е > 0 |
|||
d{M)W'u yy 1, |
(— ^• + М)М_,/М (М )» 1, то |
|||||
|
|Рм(0 - 1 А3- (М) |2 ехр ( - 2Гj (М) t) |< |
|||||
|
Ум |
|
|
N—2 |
||
< С |
|
|
X |
|||
iff- |
d (М) |
|
|
|||
|
|
|
1—в |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
з |
|
где |
|
|
x e x p ( ~ |
^ |
d(M\ |
|
d(М) = |
0,5 Р ({х, К (*) < М}, {х, v (X) = оо}), |
|||||
|
||||||
константа С,- от М и t не зависит |
и Рм (t) определена форму |
|||||
лой (6.2) |
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Из равенства (5.35) следует, что |
|||||
|
|
|
lim |
As (М) — 1. |
||
|
|
|
М—юо |
|
|
|
§4. Асимптотика волновой функции квазистационарного состояния
Выше мы видели, что о квазистационарном состоянии имеет смысл говорить лишь тогда, когда величина
|А,у — Xf (М) | достаточна мала. Выделим из волновой функ ции (6.1) слагаемые, которые имеют приблизительно тот же
порядок малости.
Теорема 6.3. При всех достаточно больших значениях па раметра М волновую функцию (6.1) можо представить как сумму трех слагаемых
108
фм (x,t, Xj) = exp {—IXf (M) t) Aj (x, M) 4-
+ Bj (x, M, t) + Pj(x, M, t),
где
X (ф/~, фД'^ af{n,M)dt\,
Доказательство. Воспользуемся формулой (6.12):
фм (x, t, X,) = {2%)~N ( j |
+ |
j |
) exp (— ikH) x |
]fea—Я.у1<сг |
|
|fc3—Xjl>a |
|
X uM(x, k) [aj {k, M) 4- (к2 — Xf (M))~laf (n, M j (cp/\ фу)J dk.
Интеграл по области \k2—A,yl>icT в метрике L2 оценивается стандартным образом по теореме. 6.1, интеграл от функции аД/г, М) по области |/е2—Xj|<icr в силу равенства Парсевалля не превосходит величины Ссг1/2. Так мы получаем оценку:
|fc3-Xy|<0
X [к2 - X f (М )]-1 4 (п, М) <ф+ фу) dk ||о <
< С [о'/> 4- (1 — ехр (— от))-1ехр {X,- т) 0(М, т)].
Теперь воспользуемся теоремой 5.4 и формулой (5.7)
им (х, к) 0k2 - Х+ ( М ) ) - 'а + (Л, М ) <Ф+ фу) = |
|
|
= [ехр (— tftx) + 5Г {k, М) (х)] (k2— Xf (М))~1 х |
|
|
X af (л. М) ( 4 , Ф/) + Ф“ (х, Xj) к2, М) соД (X, М) х |
|
|
x(X — Xf(M))~'af(n,M){ |
Ь = к2. |
(6.19) |
Интеграл от первого слагаемого ограничен в метрике L°° ве личиной порядка СДсг1/2), а интеграл от второго слагаемого преобразуем так:
(2it)_N J ф- (х, X, |к2, М) со- (к2, М) (X- Xf (М)) - 1х
\ k*-lj\< a
X af (n, M) exp (—■ik2t) (cpf, фу) dk =
8 А. А. Арсеньев |
109 |