книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

Поэтому

U G0 (х, i, t — т)РG0[(g, у, х)рЩ Чр =

N

N

N

{ x - y f

= p~N(4я (t — т) 4ят)

2q

р 2р (4jt^)

2р ехр^-

At

N_

___N_

_N_

___W.

N

2P (4я)

t

2P

2 (t — x)

2" X (t)

2<? G0 (x, £/, f).

Lx (g)L“ (g)L°° [0, £],

и для этого решения выполнена оценка

sup

|со (х, у, х) |< С (t, IV (х) |9) < оо,

x.y£RN, Т6[0,<]

где константа C(t,

||V(x)||q) конечна при

всех ffe[0, оо),

IIV(jc) ||в<оо и зависит только от t и ||У(х)||д.

при достаточ­

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу оценки (1.4)

но большом п оператор Ап, рассматриваемый

как оператор

в банаховом пространстве(§)-Ц °®£°°(0. ^]*

имеет норму

-| т- = Дu + Vm {x) u, t > 0 , х б Rn \

dt

u(x, + 0) = и0{х), и(х, t)£ L°°.

(1.5)

1

_

(X(т) — тх (1)) +

<otf (х, у, t) = § {exp (f J Vm (2Vt

0

+ X + ( y — x) T)dr)j.

(1.6)

ПустЬ

_

l

<р№(х, у, t,x{%))= exp(f JVAf(2/<

(x{x) — xx(l)) +

1 "С

*(х, у, t) <^.С (t, IУ (■х)||9),

причем

величина

C(t, ||У(х) ||9)

зависит только от t и

|У(х) ||q и конечна при всех te[0,

оо) и ||У(х) ||9<оо;

5)

функция ©H(x, у, t) симметрична по х и у

GM(х , у, t) --= G0 (х, y,'t) +

<

g, t — t) VmШ Gm(i, У, x)dl,

+ jdT jG 0 (x,

о

а отсюда следует,

что

функция солг (х, у, t)

удовлетворяет

интегральному уравнению

(х, у,

t) =

t

g, f — t) x

1 + GiT1(х, у, t) j dx J G0 (x,

0

X VM(l) G, (g, у, x) (x>m(£, г/, т) dg.

(1.7>

Из формулы

(1.6)

следует, солГ'(л:, t/, 0 G-LJ (g)L“ (g)L“ [ОД].

ния (1.7), принадлежащее ДТ ® 7.”

[0, *],

причем

это-

решение удовлетворяет оценке

О <

со^ (х, у, t) < С(t, IV» (х) I,) <

С(t, |V (х) |?) < оо.

(1.8)

При

фиксированных х, y^RN

и /> 0

функционалы

Ф^Г* (х, у, х (т)) образуют монотонно возрастающую последо­

(ФаГ’ (х, у, t, х (т)))р =

1

_

exp [tp tj Vm (2 У t (х (т) — хх (1)) +

о

+ х + ( у — х) х) dx'j

и потенциал pV(х)

(a, R)

при

р > 0, если

только

V(х) еЛН (а, R), то второе утверждение леммы есть

след­

ствие первого и теоремы Лебега.

есть

следствие того, что

Третье утверждение

леммы

1

_

фм} (X, у, t, х (т)) = exp

(х (т) — тлГ(1)) + _

О

+

X+ (у — х) г) dtj,

(1.9)

со$° (х, у,

t) = <? {фй-*(х, у, t,

х (%))}.

Лемма 1.5. Если функция V(х)

удовлетворяет условиям

1)

при любых фиксированных x ,y £ R N, х (т) в C[o,i] (RN) и

/> 0 существует конечный предел

Ф(+) (х, У, t,x(%)) =

lim ф]-И(х, у, tx ( т));

. М-»оо

2)

функционал <р(+)(х, у,

t, х(т)) интегрируем по Винеру

с любой степенью р е ( 0, оо),

причем

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Лемма 1.5 следует из того факта,

что последовательность

функционалов фФ неотрицательна

и монотонно убывает при А1->-оо.

Пусть функция V(х)

удовлетворяет условиям Л (a, R),

ФЙ;^) (*, у, t, х (т)) = exp [— t j

(21Л (x (т) — xx (1)) +

0

+ x + (y — x)x)d%\,

(1.10)

фк(п) (x, У, t, x(x)) = exp p J vV(n) (2Vt

(x(x) — xx{l)) +

0

+

x + (y — x)x)dxj,

Фл {x, у,

t, x (x)) =

cp<+>(r0 ФН } =

=

exp [ — t j

(2 V i

(x (x ) — xx(l)) +

x + (y — x) T )d x j,

0

(o„ [X, y , f )

= 8 {ф „

(X, y, t, x (г ))}.

Лемма 1.6. Если V(x)^A{a, R), то

1)

при любых

фиксированных х, y^Rw и t^S) почти

8 { |ф — ф„|р}->-0, п— оо;

3)

рассматриваемый

как функция х, y^Rn и £>0

ин­

теграл со (л:, у, t) = &{y{x,

у, t, я(т))} есть измеримая

функ­

ция и

на произведении

пространств Rn<S)Rn &)[0, £]

и

по

каждой

переменной в отдельности при фиксированных

ос­

тальных;

4)

каковы бы ни были точки х, y^RN и t^O, сущест­

вует предел

где величина С (t, ||V<-> (х) |q)

зависит только от t и |К<-> (х) |?

и конечна при всех ^ 6 £0, с»)

и ||V<-) (х)||?< о о ;

б) функция ш (х, у, t)

симметрична по х и у:

со (х, у, t) = ш {у, х, t).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое утверждение леммы выте­

кает из формулы

Ф„(*, у,

*,х(т)) = Ф<+>п) ср(-)(п)

П->оо

Этот предел не

зависит от

выбора

последовательностей

Mi{ri) и М2(п),

а функция со(х, у, t) обладает

свойствами,

описанными в пунктах 3—5 леммы 1.6.

В дальнейшем будет удобно взять

IM signl/W , \V{x)\>M,

GM(x , у , t) = G0(x, y, t) i

1

_

(x (t) —

|exp [ — t j

VM{2\ft

0

Iim GM(x, у, t) = G(x, y,t).

П.11)

M-*00

v

1

Пусть G(x, y, t) определена как правая часть

равенства

( 1. 11) ,

Тогда

Q = Q(+) UQ(~>,

где

Q(+) = {x; E+ (x) = o o ), Q(-> = {x; E<-> (x) =

+ эо ).

Так как Q±= П ^м,

гДе

— {x, Vm(x) = M},

и в силу усло-

М>0

и

замкнуто,

то

вий A (a, R) каждое множество &м ограничено

множество Q ограничено и замкнуто.

условия

A (a, R)

и

Теорема 1.1.

Если

выполнены

У<->(х) = —min{E(x)0}, то

функция g(x, у, t)

удовлетворяет

следующим оценкам: •

1) — С (t, ||И-) (х) |?) G0(х, у, t ) < g

(х, у, t) <

G0(х, у, t),

x,ytRN, t> 0 ,

q>0,bN.

Величина C(t, IIE<~>(x)||9)

зависит только от t и |ЦЛ- >(х)|]9

и

конечна при всех t^.О, ||1А_>(х) ||5<оо;

1),

выполне­

2) каково бы ни было число Ro~>R, е е (0,

но неравенство

ГI g (X, у, t)\dy<£ Сг (t, I

х||9, R, е sup |Е (х) |)

X

J

\x\>R0

X ехр(— i - ^ p ) +

__ 41_

|Ум0{y)\dy

\х— у\N- 2

3)

для любой функции ср (х) 6 1

“ и х е {х,

р (х, Q) > б > 0}

|у* [g (х, у, t) ср (у) dy < Сг (t, |

(х) ||,,

Д, е, sup

|V(х)|б х

J

Р(Л,£2)?6

X

ехр ( —

r

u | ,) +

exp

о

IVm0(у) I dy

II ф {у) ||оо»

\Х— у iN—l

М0=

sup

|У(х)|;

р(лг,Й)^б

4)

любая

функция Цм{х,

у, t) удовлетворяет

оценкам

1—3 с теми же константами, что и g{x, у, t).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Оценка

(1) является тривиальным

следствием формулы (1.11) и оценки (4) леммы 1.6. Дока­

жем оценки (2) и (5).

доказать

лишь

для

Оценку

(2)

достаточно

хе{х ,

|хj <i?0}

где Ro — достаточно велико, так

как при

хе{х ,

она является следствием оценки (1).

Пусть Si — сфера, расположенная на

положительном

расстоянии т]>0

от множества

Q, Si — концентричная ей

сфера, расположенная на расстоянии ^/2 от множества Q, и

пусть £>i и D2 ■— открытые множества в Rn,

несодержащие

множества iQ, границей которых служат сферы Si и S2, при­

чем D2^>Dь Множество D\ может, вообще

говоря,

содер­

жать бесконечно удаленные точки.

функция.

,

Пусть ср (у) непрерывная ограниченная

Рас­

смотрим функцию

фм(х, 0 = | Ом (х', у, t)'ф (у) dy.

Так как Q[\D2= 0 ,

то

|V(х) |фМ 0<°о, x^D 2, и

при "всех

М>М0 функция фм(^,

t)

есть решение краевой задачи

- ^

-

=

ЛфМ- У ( х ) ФЛ1, t > 0, x 6 D 2,

фм|<=о= ф (*), х 6 Г>2,

(U3)

фм{х, t) =

j

GM{х , у, t) ф (у) dy, х 6 dD2.

дф У

m

dt

— ДфУ = — Vm„ (х) фд, (х, t), Л'6 Rm, t > О,

(1.15)

М)

фм {х, + 0) = ф (х),

а функцию фУ (х,

t) — решению краевой задачи

»■

5фУ

(2)

dt — ДфУ = 0,

фУ (х,

0 |*est =

J GM (х, у, t) ф (у) dy — срУ (х, t) = <DM(x, t),

фУ (х,

+ 0) =

0.

(1.16)

Функция фУ (х,

0

вычисляется, как известно, по формуле

фм (х, 0 ~ j* G0 (х, у, ^)ф (у) dy

t

т) X

^ dx j* Gq(x, у у t

X Vm„(у) фм (г/,

т) dy.

(1-17)

причем существует не

зависящая от М константа С < оо,

удовлетворяющая неравенству

sup 1флг(а:, О|<

IIФ(«/)И» [Gm (x, у, zJ)dy<C<oo.

*е«лг,о<т<<

J

b

X Vm0(У) ф (У,

-г) dy,

(1.18)

а первые

производные

функции фУ (х, t) по х

равномерно

ограничены и сходятся

поточечно

к производным функции

Ф<■>'(*, 0-

■ '