книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы
.pdfОпределение. Операторам Шредингера называем опера
тор
H= —A0P(\Q),
Область его определения
D (Я) = {/, P(Q)feD(A0)}.
Символом |
Нм будем в дальнейшем обозначать |
оператор |
— (Л0)лг; |
(Ло)лг — инфинитезимальный оператор |
полугруп |
пы GM(t).
Основная задача квантовой теории рассеяния состоит в
том, чтобы найти решение уравнения |
|
|
Ни = Хи, |
Х£ (0, оо), |
(2.1) |
которое принадлежит L°° и равно сумме двух слагаемых |
||
и± (х, k) = exp (± |
ikx) -j- qp± (х, k), |
(2.2) |
где k2 = X, а функция ф±(л, k) |
при x e{x, \x\^R0}, |
где Ro — |
достаточно большое число, удовлетворяет условиям изучения
|
1 — N |
|
|
|
|
|
|
I —N |
|
Ф±(л',£) =0(|х| |
2 ), |
|
(— |
ч= il/rx)cp± (x, |
k) — o { \х\ |
2 ), |
|||
|
|
|
V<Н*1 |
|
/ |
|
|
|
(2.3) |
|
|
|
|х|—>-оо. |
|
|
|
|
||
Условия (2.3) понимаются в следующем |
смысле: |
должна |
|||||||
существовать |
такая |
константа |
Ro<°°, |
что |
при |
всех |
|||
.te{x, \x\,^Ro} существует V |
cp(x, k), причем |
|
|
||||||
|
■ - У |
= |
( У д - ф |
(X, k), —Х Л |
|
|
|
||
|
|
|
V |
|
|*1 |
/ |
|
|
|
удовлетворяет оценке (2.3) |
равномерно по п = |
------. |
|
|
|||||
Так: как и~(х, k) = (u+(x, |
k))*, |
|
|
1*1 |
|
|
|||
то в’ дальнейшем будем |
|||||||||
рассматривать лишь функцию и(х, k)=u+(x, k). |
|
|
|||||||
§ 2. Эквивалентность уравнения (2.1) интегральному |
|
||||||||
|
|
уравнению |
|
|
|
|
|||
Введем |
вспомогательное |
банахрво |
пространство |
||||||
5 (^jv\:Q), состоящее |
из |
функций, |
эквивалентных |
нулю на |
|||||
множестве Q. Норму в B(RN\Q) зададим формулой |
|
||||||||
|
И /(*)Н |
j |
\f{x)\e~^dx. |
|
|
|
Лемма 2.1. Полугруппа G(t) есть полугруппа класса С0
в B(/?W\Q).
40
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Оценим |
норму оператора |
G(t). |
||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
!/(*)11в<л*\п)= 1. Тогда |
|
|||
[\G(t)f\\B < C(t, |
«V(_) (х) |9) |G0 (i) f Its = |
|
|||
= C(t, |
II y<-> (*) |9) |
|
|
JJ exp ( - 1у I- |
|
- (x - у)*/401/ (x) |dxdy = C(t, |
ЦУ<-> (x) |f) (4Я/)-*/2 |
X |
|||
X Jjexp |
(x — if) + |
\y— x\— |*|) |/ (x) I dxdy. |
|||
Из неравенства |
(2.3) следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||У<->(*)||9). |
(2.4) |
Но какова бы ни была финитная функция ф(х), справедли во равенство
1imIIG (2f) ф — ф|в <Пш|О(0ф — фЦудедгча) = 0 . (2.5) |
||
/-Н-о |
<-»о |
х |
Так как множество финитных функций всюду плотно в B(Rn'\Q), то из (2.4), (2.5) и теоремы Банаха следует, что для любой функции ф(х)еД(./?яХ&2).
^Hrn IG(/) ср — ср \B(rn\ q) = °-
Лемма 2.1 доказана.
Пусть t — произвольное фиксированное положительное число, t e ( 0, о о ). Рассмотрим уравнение
и(х, X) е~и =-- J G (х, у, t) и (у, X) dy. |
(2.6) |
Теорема 2.1.
1) Уравнение (2.6) при данном fe(0 , оо) может иметь решения из Ь°° только при X = ‘kQ+2mm/t, где Я,о^(—°о, оо ),
аот — целое число;
2)если функция и(х, X ) e L “ и при некотором t e ( 0, оо) удовлетворяет уравнению (2.6), то функция и(х, К) удовлет воряет уравнению (2.6) при всех ^>0 и является решением уравнения
|
Ни = Х0и, |
1ш^о = 0, |
X = XQ-f 2nim/t; |
3) |
множество тех точек X, Я<0, для которых уравнение |
||
(2.6) |
имеет при данном t>0 нетривиальное решение из L°°, |
||
не более чем счетно. |
Оно не зависит от 1, и каждая функция, |
41
удовлетворяющая уравнению (2.6) при Х<0, принадле жит L2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если функция и(х, X)^L°° и при некотором t— to>0 удовлетворяет равенству (2.6), то в силу теоремы (1 .2) функция и(х, ДЛ равна нулю на множестве Q и поэтому принадлежит B(Rn nQ). Для ф^ В (RN\Q) спра ведливо равенство
Яф = — А0ф,
где А0 — инфинитезимальный оператор полугруппы G(t). В пространстве В(Д^\Й) рассмотрим операторы1
■S (t) = exp (Xt) G(t), |
0 < |
t < |
t0, |
/„ = fiT1 j exp (2nint/t0) S (t) dt. |
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Операторы S(0 |
и In коммутируют c G(-t) |
и удовлетворяют |
|||||||
равенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(i)In = InS(t), |
1 п1т= ь пт1 м. |
|
|
||||||
Лемма 2.2. Если V(x)^A(a, R), u(x, I)eL°° и функция |
|||||||||
u{x,X) при некотором |
t— t0>0 |
удовлетворяет |
уравнению |
||||||
(2.6) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (1аи)(х, Л)| = 0 (1), |
|
\VxUnU)(x-, Щ = 0 {1 ), |
\х\-+оо. |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно заметить, |
что в силу |
|||||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
|
и(х, X) = |
(ext°G(t0)u)(x, |
X), |
|
|||||
справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||
Inu = |
to1J e2nint/t°+Xi+u° G(t + |
g |
udt = |
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
= to1ext° jV 2ni'n/'“+w' [G0t + t0) - g ( t |
+ t0)] иdt |
(2.8) |
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
и к равенству (2.8) |
применить оценки теоремы (1.1). |
(Оценки |
теоремы (1 .1 ) равномерны по t на любом замкнутом интер вале [а, '6] с ( 0, °°), в этом не трудно убедиться, просматри вая их вывод.)
Пусть функция и(х, X)^L°° и удовлетворяет уравнению (2.6) при t— t0>Q. Разложим функцию S(t)u, рассматривае мую как функцию i со значениями в банаховом пространстве B(Rn^Q), в ряде Фурье по t на промежутке [0, fij]. Так как
1 Здесь применен прием, использованный для аналогичных целей в книге
[5, стр. 484].
42
G(t) — полугруппа класса Со в B(RN'\.Q), то функция S(t)u сильно непрерывна по t на интервале [0, 4 ], а в силу равен ства (2.7) она периодична по t с периодом to, поэтому ряд Фурье функции S(t)n суммируем в метрике B(RN'\Q,) мето дом Чезаро
|
|
|
п—оо |
2Jtinf |
|
|
|
|
|
|
S (t)u — (C, i) |
£ |
e |
<0 I,Я |
o < t ^ t 0. . |
(2.9) |
|||||
|
|
|
n==—oo |
|
|
|
|
|
|
|
Каждая( функция (/n«) (x, X) |
при |
всех .^>0 |
удовлетворяет |
|||||||
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
Inu = G(t)Inu |
|
|
(2 . 10) |
|||
и поэтому удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Я {1пи) = |
(Л, + |
2ninjtQ) Iпи, |
|
|
(2.11) |
|||
В силу замкнутости оператора А0 уравнение (2.11) |
в области |
|||||||||
{х, \х]^2R} принимает вид |
|
|
|
|
|
|
||||
(— А + V (х)) (1пи) (х, Х) — (Х-\- 2лт 110) (Inu) (х, |
X). |
(2.12) |
||||||||
Пусть 1ш(Я,-)-2лш/^0) > 0 . |
Применим формулу |
Грина к |
функ |
|||||||
ции (Inu)(x, X) и функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Y X+ 2яin/t0 |
N/2—\ |
|
|
|||
£п(х, \х — у \) = \ |
|
|
|
|
||||||
2л \х—■у \ |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( |X — у I Ух + |
2nin/t0) |
|
|
|
||||
в области {х, 2R ^ |x| |
|
а потом положим Ri-+°o. В силу |
||||||||
оценок леммы 2.2 |
интеграл по поверхности |x|=7?i пропадет, |
|||||||||
и мы получим |
j |
Еп(Х, \х— у \)V(х) (Inu) (х, X) dx + |
||||||||
(/„«) (у, |
X) = |
|||||||||
|
|
|*1>2Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j Ш » (* . |
Щ хЕп(Х, \х— у 1) — ЯП(Я, |
\х— у I)ух X |
||||||||
|*|=2Д |
|
|
X (Inu){x, X)}dSx. |
|
|
|
(2.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Из формулы |
(2.13) в силу условий |
Л (a, R) |
следует оценка |
|||||||
(1пи)(У. В) = |
0(1 УГы~ а), |г/1 —s-cjo. |
Так как (1пи) (у, Я)еС°°, |
||||||||
то из этой оценки следует, |
что |
(1пи) (у, |
Х)^Ь2. Но оператор |
G(t), рассматриваемый как оператор в В2, самосопряжен, по этому из равенства (2.10) следует, что (1пи) (У, &)=0. Совер шенно аналогично доказывается, что
(/„«)(х, X) = 0, если Im(X + 2nin/t0)<^0.
43
Теперь предположим, что не найдется такого цеЛого числа д, что /дг(А+2ш'дД0) =0. Тогда для всех д выполнено равен ство (/„и) (х, Я) s 0 , и из (2.9) следует, что при всех £е[0, t0] выполнено равенство S(t)u—0, а отсюда вытекает, что и(х, А) = (S(to)u) (х, А)=0. Если найдется такое До, что Im(X+2mti/t0) =0, то положим Ао = А+2ш'д0До. Так как при пфп0 выполнено равенство (/пы) (х, А,) =0, то из (2.9) сле дует, что при всех £>0
—2Я1П0< |
|
|
|
|
S(t)u = e и |
/„„и, |
S {t0)u = и = 1Пои, |
||
поэтому функция и(х, |
А) при всех * е ( 0, |
оо) |
удовлетворяет |
|
уравнению |
|
|
|
|
|
erW u = G(t)u |
|
(2.14) |
|
и есть решение уравнения |
|
|
|
|
|
Ни = |
А0и. ' |
|
|
Пусть Ао<0. Тогда из |
(2.13) следует, что функция и(х, А)<= |
|||
e L = L1 f|Tce. Но может существовать |
не |
более счетного |
числа разных точек Ао0для которых уравнение (2.10) имеет нетривиальные решения из L2, поэтому при данном t сущест вует не более счетного множества точек, лежащих в левой полуплоскости, для которых уравнение (2.6) имеет нетриви альные решения из А°°. Так как решение уравнения (2.6) при некотором t=t0>0 есть решение при всех ^ > 0, то множество точек {A; Ai<0}, для которых уравнение (2.6) имеет нетриви альные решения из А00, не зависит от t.
Теорема 2.1 доказана.
Лемма 2.3. Если,функция и(х, A)eL°° и при А=^=0 удовле
творяет уравнению |
|
|
|
Ни = Хи, |
(2,15) |
то она при всех £ > 0 |
удовлетворяет уравнению (2.6); если |
|
функция и(х, 0)^L°° |
и . при А = 0 |
удовлетворяет уравнению |
(2.15), то функция P(Q)u при всех ^>0 удовлетворяет урав нению (2.6).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
сначала |
случай |
|
А=т^0. Из уравнения |
(2.11) |
следует, что и(х, А)=0, |
xeQ, по |
|
этому и(х, X)^B(Rn'^Q) |
и уравнение |
(2.15) эквивалентно |
||
уравнению |
|
|
|
|
, |
А0и = — Аи. |
|
(2.16) |
Из равенства (2.16) следует, что и(х, А)&О(Л0).
Рассмотрим функцию cp(x, t)—G(t)u. Эта функция удов летворяет дифференциальному уравнению
44
= G (t) A0u = — XG{t)u — .— Ц>, |
ф(х, + 0) = и(х,- X). |
dt |
(2.17) |
|
Легко видеть, что решение задачи (2.17) единственно, причем Ф(х, t) = е~и ф (х, + 0) = е~и и(х, X) = G (t) и.
Если А,=0, то те же рассуждения применимы к функции
P(Q)u.
Лемма 2.3 доказана.
Следствием леммы 2.3 и теоремы 2.1 является Теорема 2.2.
/) необходимым и достаточным условием того, что функ ция u(x; X)^L°° и есть решение уравнения (2.1 ), является выполнение равенства (2.6) при некотором tQ>0, причем если равенство (2.6) выполнено при некотором ^о>0. то оно вы полнено при всех t > 0;
2) если функция и(х, 0) есть решение уравнения Ни=0, то функция P{Q)u удовлетворяет равенству (2.6) при всех
i > 0;
3)уравнение (2.1) имеет нетривиальные решения из LM ТОЛЬКО при А,е(—оо, оо);
4)существует самое большое счетное множество точек
{Х,г-, Хг< 0}, для которых уравнение (2.1 ) имеет нетривиаль ные решения из L°°, причем каждое это решение принадлежит L и удовлетворяет уравнению (2.3) при всех ^>0.
§3. Решения уравнения (2.4), удовлетворяющие условию
*излучения
Итак, |
мы доказали, |
что |
для |
того |
чтобы функции |
|||
и{х, |
и при Х=ф0 удовлетворяла бы уравнению |
|
||||||
|
Ни — Хи, |
' |
|
|
(2.18) |
|||
необходимо и достаточно, |
чтобы |
она |
при некотором ^>0 |
|||||
(а значит, |
и для всех ^ > 0) |
удовлетворяла бы уравнению |
||||||
|
е~и и = jG(x, |
у, |
t)u(y, |
X) dy. |
(2.19) |
|||
Пусть |
и(х, X) = е1кх-(- ф (х, Ш |
|
|
|||||
|
|
(2.20) |
||||||
|
G(t) = G0(t)-g{t). |
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|||||
Подставив (2.20) в (2.19), получим, |
|
что |
функция |
ф ( х , к ) |
||||
удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(е-м _ Ga(/)) q>= g(f) (eikx+ |
ф). |
( 2. 21) |
45
Уравнения (2.2 1) и (2.19) полностью эквивалентны, так как их решения при %=■№ связаны формулой (2.20). Нам нужно
найти те решения уравнения (2.2 1), |
которые |
принадлежат |
Ь°° и удовлетворяют условиям |
излучения. |
(2.3). Пусть |
К+(к) — оператор, введенный на стр. 117, где показано, что
lim (e-(M-ie)f — G0(t))~l = ем(Е + К+ (к)).
е->+0
Рассмотрим уравнение
Ф(х, k, Х) = -е М (Е + |
К +(Х ))д (е^ + ф |
(2.22) |
%£ (0, оо), |
k 6 Rn- |
|
(В формуле (2.22) мы не предполагаем, вообще говоря, что А,=£2.)
Лемма 2.4. Любое решение уравнения (2.22), принадле жащее некоторому 7Д, lss^^oo, принадлежит L^HLp, где p>2N/(N—1 ) удовлетворяет уравнению (2.21) и условиям
излучения (2.3). |
Если cpsL«, то в силу теоремы 1 .5 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
(&ф) 6 L, |
(geikx) 6 L, |
поэтому в силу теоремы 6.7 |
|
и из равенства (2.22) вытекает включение tpeL^n Lp- В силу теоремы (1 .1 ) справедливы оценки
|g (eikx+ cp) ] = О ( U l-JV—“), | |y xg (emx + ф) |= 6 .(|x |-*-“). J
Из оценок (2.23) и теоремы 6.7 следует, что функция
K+(k)g(eikx + ф)
удовлетворяет условиям излучения (2.3), поэтому из (2.23) и равенства (2.22) следует, что функция ф(х, /г, X) удовлетво ряет условиям излучения (2.3). Так как g(eihx+,tp)<=L\ то, умножив обе части равенства (2.22) на {е^~и — G0{t)), мы по лучим в силу теоремы 6.6
(е-м _ а0(0 ) Ф= — g (elxk+ ф).
Лемма 2.4 доказана.
Введем операторы |
|
|
|
Т (к) = — еи (Е + К (к)) g, |
2nitn/t + т), |
т] > 0, |
|
Т+ (X) = - |
(Е + К+ (Ц) g, |
к 6 (0, ОО). |
(2.24) |
45
Лемма 2.5. Если функция и(х, k ) = e ihx+,y{x, к) является решением задачи (2.1) — (2.3), то функция ср(х, к) удовлетво ряет уравнению
ср(х, k) = T+{k)(eikx + y), |
к? = к. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу |
теоремы 2.7 функция |
ср {х, к) удовлетворяет уравнению (2.2 1), умножив обе части равенства (2.21) на (е—(М-<в)/— G0(t))~l, где е — достаточно
малое положительное число, получим
ср (,r, к) + (е~и — е—№-Н'е)() e(>.+ie)t(jp_]_./((Я, -f- is)) ср =
= е(М-£е)< (Е + /С(Я. + is)) g (elkx + ср) — Т (А, + is) {eikx + ср).
Отсюда следует, что
ср (х, к) — Т+ (к) (е‘кУ+ ср) = (Г (\ + is) — Т+ (к)) (е^у + ср) +
+ (<** — 1)(£ + К(Х + й))ф. |
(2.25) |
Так как g(eiky+q>)^L, то в силу теоремы 6.7 справедливо равенство
lim I (К (к + is) — К+ (к)) g {ёкУ+ ср)|? = О,
£-»+0
Отсюда следует, что
1imI (Т (к + is) — Т+ {к)) (е1кУ+ ср)| = О,
8-»0
(2.26)
Пусть 5 — любое ограниченное измеримое множество. Дока жем, что каково бы ни было 5,
1im е|К (к + |
is) ср)|£0о . = 0, |
(2.27) |
е-Н-0 |
1 ' |
|
если только ср удовлетворяет условиям излучения. Считая s достаточно малым, представим функцию K(k+ie, г) как сум му двух функций
|
|
1/"Л, -j- is£; |
N |
|
К ( к + is, |
г) = |
X |
||
2яг |
||||
|
4/ \ |
|
||
X Н% |
(г |/А, + |
is) -f- А (к -)- is, г) |
||
2 |
|
|
|
(см. формулу (6.29)).
47
Из интегрального представления |
функции А (К, г) |
сле |
||||||||
дует, |
что А (X) ^[L^-^L03], причем норма оператора Л(^-И'е) |
|||||||||
в [L^-^L00] ограничена равномерно по е > 0, |
поэтому, чтобы |
|||||||||
убедиться в справедливости равенства |
(2.27), |
достаточно до |
||||||||
казать, что равномерно по xeS |
|
|
|
|
||||||
/ (е, |
|
р |
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
х) = е [ \х— у\ |
2 Н%_^{\х — г/1 ]/Л + ге) ф (у, k)dy^Q, |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8- 2- -j- О, |
|
|
|
|
|
Пусть R>i(Ro + d), |
где Ro — константа, |
входящая в |
||||||||
условия излучения, |
a d |
— диаметр шара, содержащего об |
||||||||
ласть 5. Справедливо равенство |
|
|
|
|
||||||
|
|
1-J? |
|
|
____ |
|
|
|
||
|
J V — у\ |
2 |
|
(Iх - У\V^ + ш)ф(у, |
k)dy = |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
J? |
|
i (г |
____ |
|
|
|
|
|
|
= j г2 Н% |
+ ie)a(r, x)dr = |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
2 |
|
♦ |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f г2 H{N_ I (г 1/Я.+ ie)a(r, x)dr -f j гЛГ/2Я^]_1x |
|
||||||||
|
о |
T |
|
|
|
|
R |
|
2 |
|
где |
X (г V X -f te)a(r, x)dr — I1(fi, |
x) + / 2(e, |
x), |
(2.28) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(r, |
x) = |
j |
ф {x + rn0,k) dn0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
\n0\—\ |
|
|
|
|
|
Ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
e/j (e, |
х )| < ||ф(л-)|иСЕ]/- М2| Я ^ _ 1(г 1 /М ГТ б )И г^ 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
8- 2- -j- 0, |
|
|
|
(2.29) |
поэтому достаточно рассмотреть интеграл -Me, х). Из условий излучения (2.3) следует, что равномерно по xeS
|
|
1—N |
/■-2-00. |
(2.30) |
|
а (г, х) — 0 (/' 2 ), |
|||
|
|
|||
Вычислим производную |
—> |
4 |
||
d |
а (г, Х) = |
г* |
||
( у * ф ( * + Г/г0>£)> n o ) d n 0 =: |
|
|||
dr |
|
|
|
|
|rt„!=l
48
I (v,<p<* + ™„. *). i f ^ + ° ( T ) ) “ "> =
|n0l=l
1—N
= |
£lA,a(r, x) + o(r 2 |
), |
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
-^-a(r, |
,v) = |
£ l/X a (r , |
л:) + |
о(г-Ц-^). |
(2.31) |
dr |
|
|
|
|
|
В силу выбора константы R производная |
существу- |
||||
ет при всех r^(R, |
оо) |
и оценки |
|
dr |
выполнены |
(2.30) — (2.31) |
|||||
равномерно по |
|
|
|
|
|
Преобразуем интеграл /г(е, х)
|
|
О |
|
|
|
is) a (г, х) ~dr — |
|
||
е/а (е, |
х) = s' I |
rN/2 |
|
t (г 1/ ”^, + |
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
= е (X + |
is)-'/2Г а (г, |
х) |
— |
(rNI2 Н{%(г ]/Х+Те)) dr = |
|||||
|
|
J |
|
|
dr |
т |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
= — is [1 |
о(е)] J |
rN/2 Н%2 (г ]/Х -г’ |
is) а (г, х) dr+ |
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
1—N |
|
|
|
+ е J rN/2 |
2 (г ] / А + |
is) о (г |
2 |
)dr-f- О (в), |
|
||||
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
2е/2 (е, х) = е j rw/2 [Яуу _ |
(r]/rX + is) — Шуу (г |А, + |
£е)] X |
|||||||
|
л |
|
7 |
1 |
|
|
2 |
|
|
X a (г, |
x)dr + |
|
|
оо |
|
(г ]/А + |
Ie) a (о *) dr + |
||
О (е2) J /-w/2 |
|||||||||
|
ОО |
|
|
R |
_____ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
)dr + 0(s). |
|(2.32) |
||||
+ s^rN'2 H%{rV% + is)o{r 2 |
R
Оценим каждое слагаемое в этой формуле, воспользовавшись справедливыми при r^R оценками
|Я(^ _ 1(г 1/Х+Тв) — £#<$ (г /ЗГ+Тв) 1< Сг~3/2 e“ °’5rE, |
г > R, |
|
2 |
2 |
|
4 А. А. Арсенье! |
|
49 |