книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы
.pdfЧАСТЬ И
РЕЗОНАНСЫ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА
Поясним основную идею последующих вычислений. Пред
положим, что потенциал V(х) имеет вид «ловушки» (рис. 1 на стр. 8). Рассмотрим вспомогательный потенциал V(x),
который совпадает с V(x) |
при |л:|<i?0—6 и |
|х|>^о + 6, но |
равен .+ оо на некотором |
множестве П = {x, |
R0—6/2< |лг| < |
</?о+'б/2}, и будем рассматривать потенциал V(х) как воз мущение потенциала V(x). Как мы увидим, при таком под ходе малым параметром является величина ехр[— (М—X)
V d(M)l4], где d(M), грубо говоря, толщина потенциального барьера У(х) на уровне V(x)=M, X— спектральный пара метр (энергия частицы).
Нам будет удобно рассматривать данный потенциал У(х) как элемент однопараметрического семейства потенциалов {Vm (x)}, Vm (х ) / V(х), .M-voo. В качестве такого семейства можно взять любую последовательность, удовлетворяющую, например, условию
min (М, V (х)) < Vm (х) < min (2М, V (х)).
Для конкретности положим Ум(х)=гшп(М, У(х)). Предпо ложим также что потенциал V(х) неотрицателен; общий слу чай сводится к этому стандартными методами теории возму
щений.
<
80
Г л а в а 5. РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
§ 1. Достаточные условия существования неотрицательного точечного спектра
В этом параграфе мы приведем достаточные условия су ществования у оператора Л точечного спектра, расположен
ного на положительной, оси. |
Напомним, |
что Q={x, |
V{x) = |
= 0 0 }, ■&! — наибольшее открытое связное |
множество, |
содер |
|
жащееся в множестве |
и содержащее бесконечно-уда |
ленные точки, С22= # я\ (£2 UQi) •
Теорема 5.1. Если р(Йь 'й2)> 0 и mesQ2>0, то собствен ные функции точечного спектра оператора Н существуют и
образуют полную в L2(Q2) систему функций, |
а |
и(х,. k) =0 |
|||||
при хеЙг, k2^. {ki}. |
|
|
|
|
|
существу |
|
Доказательство. В силу условий теоремы |
|||||||
ют функция е (х) 6Со° и такие |
окрестности множеств £2г, и Q2, |
||||||
что |
|
|
|
? |
|
|
|
О С в (jc) С 1; е(х) = |
0, лг 6 0(QX); |
е(х) = 1, |
х£ 0(Qa), |
||||
|
O(Q1)nO(Ga) = 0. |
|
|
||||
Функция |
и(х, k) = и(х, |
k)t{x) |
принадлежит I s и в силу замк |
||||
нутости |
оператора Н удовлетворяет уравнению |
|
|
||||
|
|
Л1л = к*и. |
|
|
(5.1) |
||
Так как нетривиальное |
решение |
этого |
уравнения |
существует |
|||
лишь При &2(: {^i}> то ПРИ А2 |
|
{кс} и (х, к) = 0 , |
поэтому |
||||
|
и (х, к) = 0, х £ |
к2 {Х£}, |
|
|
|||
и для функции / (х) £ Со° (й£) |
справедливо равенство |
|
|||||
|
(П (А)= j*« |
(х, k) f (х) dx = |
0, к2 <£ {А.*}. |
(5.2) |
В силу теоремы 4.2 справедливо равенство
J |f (х) |2 dx = (2zt)~NJ |/ (&) |2 dk +
+ J] I ('Ф (> |
f) i2> |
h |
|
которое в силу (5.2) для-финитных в £22 функций превращает ся в равенство
6 1/ 4 А . А . А рсен ьев |
' |
^ |
J|/(*)|2d *= ]T I№ (, |
А,), |
/>|2, |
|
Я2 |
X( |
|
|
что и доказывает нашу теорему. |
£2г)>0, и mes£22>0, то |
||
Следствие. Если |
V(x)^0, р(&ь |
||
собственные функции |
неотрицательного |
точечного спектра |
|
оператора Н образуют полную в Е2(йг) |
ортонормированную |
||
систему функций. |
|
|
|
§2. Оценка вспомогательного интеграла
Вэтом параграфе мы получим оценку, которой в даль нейшем будем неоднократно пользоваться.
Пусть ф(х, А,-) — собственная функция точечного спект
ра оператора Н, Aj>0, им(х, k) — решение задачи рассея ния для оператора Нм. Положим
фм (k, Ау) f ф(-^> Ау)Ц-м{.х, k) dk,
' (5.3)
0(М, t) = ||G(Q — GM(t)\\2.
Теорема 5.2. Если у оператора Нм при любом М <°° то чечный спектр отсутствует, то справедлива оценка
(2я)_ЛГ j |
|фА, (/г, A,.) |2 dk < |
|
< exp (2А,-0 (1 — exp (— at))-2 6* (M, t), |
(5.4) |
|
где t — произвольное положительное число. |
удов |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Функции им(х, k) и ф(х, Ау) |
летворяют равенствам
им exp (— kH) = GM(t) им, фехр (— А,/) = G (0 Ф>
откуда следует, что
[ехр (— kH) — exp (— Ау-01 фм (k, Ay) =
= J им (У, k) [ J [Gm (y, x,t) — G (y,x, 0] Ф (x, Ay) dx] dy
(возможность перемены порядка интегрирования вытекает из компактности носителя ф(х, Aj)), и в силу равенства Парсеваля
(2n)~Nj |exp (— kH) — exp (— Ajt) |21фм (k, Ay) |2 dk =
= IGM(t) - G(0) ФII2 < IIGM(0 - G (t) |1= 62 (M, t).
82
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2jt)“ w |
j |
|
|-фл1(k, |
12dk< |
|
|
|||
|
|
l k - — X j \ > G |
|
|
|
|
|
||
< (2n)-w ■, |
exp(f |
i0m. ■f |e->* - |
e"V |21Ум (k, \) 14k, |
||||||
(1—exp (—at))- |
|
J |
|
|
|
|
|
||
откуда и следует оценка (5.4). |
|
|
|
|
t) через па |
||||
Представляет интерес оценка величины 0(М, |
|||||||||
раметры потенциала. |
|
|
|
[1//] |
— целая часть числа 1//, |
||||
Лемма 5.1. Пусть 0</< 1, |
|||||||||
V(х) ^ 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (М ,ф /*1)< М е(Л Г , /). |
|
|
||||||
До к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как при |
V (x)^0 |
справедли |
|||||
вы неравенства I|G(/)||<1, |
I|Gm (/) ||<1, то |
|
|
||||||
0(м, т 6)= I g (tQy - GnM(g|< nиg(g- Gm(g|. |
|||||||||
Лемма 5.2. Положим |
|
|
|
|
|
|
|
||
d (M) = -у p ({ас, К(At) < M}, |
(a:, V (At) |
= oo}). |
|||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V(x)>0, |
d(M)/2VM < - i - , d(M) M*/.>2 (N— 2), |
||||||||
то для некоторого /<(1/2 |
справедлива оценка |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N—2 |
0 (Л4. Z [ l / Z ] ) < |
|
[ |
+ |
г(УУ/2) |
(, |
2 |
у |
д(М)/м~ у
X exp 1
Доказательство . В силу определения (5.3) 0 (М, t) < sup f [GM(At, y,t) — G (x, y, /)] dy\
X J
воспользуемся леммой 5.1 и теоремой 1.8.
Отсюда следует, что если V (х) — \R0— |х ||—v, то
|
j ___ i_ |
|
9 ( М , /[1 //]) ~ /И е х р ^----- /И 2 |
v |
/И —>-оо. |
А. А. Арсеньев |
83 |
§ 3. Поведение собственной функции оператора Нм вблизи собственного значения оператора Я
В силу теоремы 4.1 функция ф(х, Xj) тогда и только тог да является собственной функцией дискретного спектра опе ратора Я, когда она удовлетворяет уравнению
{Е— Т+ (Х;))ф = О фб р > |
(5.5) |
Отсюда следует, что точка р=1 является особой для резоль венты R{\x, T+(Kj)). Пусть Вр— идеал вполне непрерывных операторов в L p, Se = {AT, ||AT||p<e} f] B v и p — произволь-
ное фиксированное число из интервала |
|
|
Будем |
|||||||
рассматривать |
i?(p, Т) |
как |
функцию |
со |
значениями в |
|||||
[ L p - ^ L p ]. Так как |
T + ( X j ) ^ B p , |
то справедлива |
|
|
||||||
Теорема 5.3. Если Xj— простое собственное значение то |
||||||||||
чечного спектра оператора Я, то |
и б> 0, |
что |
при |
всех |
||||||
1) |
существуют такие числа |
е>0 |
||||||||
ДT eSe внутри круга {р, |
|1—р|<6} у оператора i?(p, |
Т+ + |
||||||||
+ ДТ) |
есть точно один полюс первого порядка ру(ДТ); |
|
||||||||
2) |
при всех |
рб {р; |1— р| < б }, |
р 9^ру(АТ) |
и АТ б S |
||||||
оператор R (р, Т+ + |
АТ) может быть записан в виде |
|
|
|||||||
где |
Я(р, Т+ + |
АТ) = (р - |
р,- (АТ))-1Е} (АТ) + |
S, (АТ), |
(5.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
оператор |
Rj(AT) |
непрерывен |
по |
АТ, |
оператор |
||||
5j(p, |
АТ) голоморфен по |
р в окрестности. р= 1 непрерывен |
по АТ в равномерной, топологии;
4)оператор Я,-(АТ) может быть записан в виде
(Ej {АТ) /) (jc) = ф(х, X, |AT) j ф (х, X/1 АТ) / (х) dx,
где функции ф и ф~ суть собственные функции, |
отвечающие |
||
собственному значению ру(АТ): |
|
||
|
(Т+ -!- АТ) ф= Ру (АТ) ф, (Т+ + АТ) ф - р/ (АТ) ф, |
||
где оператор Т+ — сопряженный в Lp к Т+; |
р/(ДТ) та |
||
5) |
функция ф(х, Х/\АТ), ф (х, Xj \АТ) и число |
||
ковы, |
что |
|
|
|
I ф(х, Xt) — ф (х, Xj|АТ) |р -> 0; |
|
|
|
IIФ■(*. h ) |
Ф (х>h I ДГ) II?->0- |
|
|
] 1 — Р/ (АТ) | |
0, при |ДТ||р->-0. |
|
84
Введем обозначение
р/ (Х) М) = |^-^.| + Ж->.
Из теоремы 3.1 вытекает Лемма 5.3. Для любого е > 0 можно найти такое б(е)^>0,
что при р;- (X, М) < б(е) |
оператор Т% (X) — Т+ (Xj) 6 5£. |
||||
Так как |
|
|
|
|
|
Tt (X) = |
— gMexp (Xt) (Е + К+ (X)), |
||||
то из теорем 1.3 и 6.6 вытекает |
|
|
|
||
Лемма 5.4. Оператор |
(X) -> Т+ (Xf) |
в |
равномерной опе |
||
раторной топологии пространства |
1 |
|
|
||
LP-+L4, 1 < Р < |
2N |
|
при ру (X, Af) ->- 0. |
||
N + 1 |
1 < у < о о |
||||
|
|
|
|
|
|
Так как яри любом М < оо у |
оператора Нм на полуоси |
||||
Х>0 нет точечного спектра, то справедлива |
единица не есть |
||||
_ Лемма 5.5. Ни при каком М<оо, 1>0 |
собственное значение оператора Тм (X).
В силу теоремы 2.3 справедливо равенство
им (х, k) — exp (ikx) + R (1, Тм (k2)) Тм (k2) exp.(ikx), (5.7)
поэтому из теоремы 5.3 и лемм 5.3—5.5 вытекает
Теорема 5.4. Если Xj — простое собственное значение дис кретного спектра оператора Я, то существует такое бу>0, что при всех (k, М)<={Л4, k\ 0<р3(&, М) < б3} функция им{х, k)
(решение задачи рассеяния для оператора Нм) |
может быть |
представлена в виде |
|
им(х, k) = exp (ikx) + фм (х, k). |
|
фм (х, k) = ф(х, Х,-1k2, М) Шу (k, М) -f Ху (х, |
k, М), (5.8) |
где
coy (k, М) = ру (k2, М) (1 - ру (k2, М))~> еу (k,M),
ву (k, М) = | exp (ikx) ф (х, Xj |k2, М) dx. |
|
(5.9) |
||
Функции ф(х, Xj \k2, М), ф (х, Xj |k2, М) |
и число |
р3- (k2, М) |
||
удовлетворяют равенствам |
- |
|
|
|
Тм (X) ф = Ру (X, М) ф, |
Тм (X) ф = Ру (X, М) ф, |
X= k2 |
||
и обладают тем свойством, что |
|
|
|
|
||ф(х, Xj\k2, М) — ф (х'Ду)[|р->-0; 2N/(N— 1) |
< р < о о , |
|||
||ф(х, Ху1^,7И)-ф(х, Xj) |
1< у < |
оо, |
б1/»* |
85 |
{X, M) -*■ 1 |
прИ| |
Р/ (Я,, М)-> 0. |
|
Функция еу (х, k, М) |
непрерывна по k при всех (k, М) 6 |
||
6 [k, М\ р3.(&, М) < б3} |
и существует функция %/(х,к0), такая, |
||
что |
|
|
|
||(л-, k, М) — х/(х, /е0) |
- v 0, \k— k0 \+ М - 1->0, |
||
каков бы ни был вектор k0, kl = |
Я,;.. |
§ 4. Исследование функции coj (/г, М) и доказательство резонансного поведения функции им(х, &)
Так как р.Д62, М)->1, М-^-оо, k2-yXj, то можно было бы подумать, что уже из 5.7 вытекает резонансный характер функции им(х, k) при Л4->-оо к А2- ^ . Покажем, что такое заключение было бы преждевременным.
Лемма 5.6. Функция еД&, М), определенная равенством (5.9), удовлетворяет соотношению
|е3(&, М) |-»0 при р3- (k2, Л4)-> 0.
Доказательство. Из равенства
Т+ф==— цеи (Е +/С+ (Я,))ф = ф
следует, что функция
т] (х, Xj) = exp (Xt) (Е + К+ (X) ф
удовлетворяет условиям излучения и уравнению
exp (— Xt) г) (х, Xj) = G(t) т] (х, Х;),
поэтому т] (х, Х^) — ф (х, Xj). Следовательно,
ф{х, Xj) = (exp(— Xfl — G0(t))ф (x, Xj),
поэтому
|tj (k, M) |= j j exp (ikx) ф (л:, Xj \k2, M)dx |=
=|J eikx[ф (x, Xj |k2, M) — ф(x, Я,,-)] dx +
+[exp (— Xjt) — exp (— kH)\ j exp (ikx) ф (x, Xj) dx |<
< 1ф(x, Xj \k2, M) — ф(x, Xj)Hi + |exp(— Xjt) —
— exp( - kH) ЩФ(x, Xj) |k-* 0, pj (k\ M) -*- 0.
Лемма доказана.
8 6
Тем не менее справедлива Теорема 5.5. (О существовании резонансов в непрерыв
ном спектре оператора НМ-) |
определена формулой (5.3) и |
||
Пусть |
величина 0(44, t) |
||
пусть у Нм нет точечного спектра при любом М<оо. |
Если |
||
сг(44)-Я), |
сг(М)"19(М)-ИЗ 44—voo, то для определенной фор |
||
мулы (5.8) |
функции '<£>j(ft, 44) |
справедливо равенство |
|
|
Пт (2л)~N |
|ю;. (ft, 44) 12dk = 1. |
(5.10) |
Л'1->00
\k-—ЬА<о(М)
Доказательство. Справедливо равенство
1 = |
j I'vKjc, Xj) рdx = |
(2я)-" j |
|ф(ft, X/)pdk = |
|
||||
|
= |
(2n)~N |
|
j |
|$(ft,Xy)pdA + |
|
||
|
|
|
lk2— |
|
|
|
||
|
+ |
(2я)"" |
|
j |
\^(k,Xj)\2dk. |
(5.П) |
||
|
|
|
I A2—xfi> a (M ) |
|
|
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
I (Xj, a, 44) = |
|
(2n)~N j |
|соу (ft, 44) p dk |
|
||||
и обозначим |
символом |
|
o(l) |
величину, которая стремится к |
||||
нулю при М~*-оо, |
сг-Я) |
|
;а_10-Я). Из теоремы 5.4 следует, что |
|||||
|
|
(2n)~N |
|
J |
|ф(^, Xj)]2dk — |
|
||
|
|
|
|
Ik1—Д,у|<а |
|
|
||
= (2л)~Л' |
J |
|
|J (exp (ikx)-f Sj (k2, 44) (x)) ф (x, Xj) dx j2 |
dk -f |
||||
|fta—XjKtr |
|
|
|
|
|
|
||
+ (2n)_iV 2Re |
|
J coy (ft, 44) [ф (.v, Xj) ф(x, Xj |ft2, 44) dx] x |
||||||
|
Ik2—Xy|<cr |
|
|
|
|
|
||
x [ j |
(exp(ikx) + |
|
Sj (ft2, 44) (x)) ф (x, Xj) dxj dk + |
|
||||
|
|
+ |
(2я)-^ |
f |
|coy (ft, 44) P x |
|
||
|
|
|
|
|
Ik2—Ту!<а |
|
|
|
|
x |
j j |
ф(x, |
Я.у) ф(x, Xj |ft2, 44) dx j2 dk. |
|
Легко видеть, что в силу теоремы 5.4 первое_слагаемое в этом
равенстве есть величина о(1), второе— ]/7-о(1) и третье — /(1+о(1)). Поэтому из (4.2) и (2.2) следует равенство
87
1=0(1) + / / •О(1) + / (1 + о (1)),
т. е. I —1+ о(1), что и требовалось доказать.
З а м е ч а н и е . Обычно резонансы связываются с особенностями ана литического продолжения функции им (х, к) по переменной к. При наших предположениях об убывании потенциала, если даже и существует анали тическое продолжение функции им(х, к), то его особенности могут не иметь никакого отношения к резонансам (так называемые «ложные» полю сы в теории рассеяния).
§ 5. Особенности аналитического продолжения решения задачи рассеяния вблизи собственного значения оператора Н
Пусть Ll — гильбертово |
пространство со скалярным про |
|||
изведением |
J Г (х) g (х) exp(— а |х |) dx. |
|
||
(/. 8)а= |
|
|||
Cj,a — операторы класса . Сх в Ll[4]. |
V(х) удовлетворяет усло |
|||
Теорема 5.6. Пусть потенциал |
||||
виям Л (a, R) и пусть при ]x|>R |
выполнено неравенство |
|||
|У(*)|<Сехр(-*|лг|). |
(5.12) |
|||
Пусть константы а и а удовлетворяют неравенствам |
|
|||
a < Y |
b’ a < min(~ ^ b>: «А ), |
|
||
где b— константа неравенства |
(5.12), t — параметр, |
входящий |
||
в оператор Тм (Я). Тогда ' |
|
|
|
|
1) оператор Тм (X) |
голоморфен по X в области |
|
||
D0 = {X; |
jlm Я |< n/t, X£ [0, оо)} |
|
как элемент пространства [Ь1-> Ьа2] и принадлежйт классу Ci>a при каждом X6 />,
2) как элемент [L\-+ L.I] оператор Тм {X) имеет аналити ческое продолжение из D0 в область
D+ = {X, ReA,>0, — а < 1 тЯ ,< 0},
которое вычисляется по формуле
Tt(X) = eH(E + K+(X))gM
и в область D~ = {X; ReA.>0, 0 <Im x<a}, которое вычисляет ся по формуле
Тм(Х) = ёН(Е + К-(Ь)Вм).
(операторы /С* {X) определены на стр. 117);
8 8
3) операторы Т*м(Я) £ Ci,a и
||(А.)|| о 2->0, Re Я -*— оо,
Lar+La
4) равномерно по Я на каждом компакте в DQ\JD+\J D~— справедлива оценка
\\Т( Х) - Тм(Х)\\г2 ,2-vO, М ->оо.
La'~*La
Пусть D= 'Dq[) D+U D~ — кусок накрывающей поверхно сти голоморфной функции ТМ(Х), в точках которой оператор Тм(Х) вычисляется по приведенным выше формулам. В даль нейшем будем рассматривать оператор ТМ(Х) как функцию точки на Д и опускать знаки (+ ) и (—) там, где безразлич но, какая именно точка поверхности Д накрывает данную точ ку Я.
До к а з а т е л ь с т в о . В нем нуждается только послед нее утверждение теоремы, так как первые три есть тривиаль
ные следствия теорем 1.4 и теоремы 6.5. |
'*■ |
Справедливы оценки |
|
1(Тм (X) - Т (Я))/Ца < С j e - a l ^ + a u - y l |{ ( g - g M) f) {у ) р dy dx <
< С ' j |
e2o|i/|+2a'z| (g |
2j t)—gM(y, |
z, 0)2^^Z||/||a< |
<C " j |
M\g{y, z, t)— gM(y, |
z,t)\dydz\ffa. J5.13) |
Ho
'iy- \g(y,z,t)-^gM(y,z,t)\dz = 0
ММ\ J |g(y, г, t) — gM(y, z, t)\dz<
<2 J|ff(у, z,t)\dz<C">e-bW.
Всилу теоремы Лебега из (5.13) следует утверждение 4 на шей теоремы.
Предположим, что условия, теоремы 5.6 выполнены. Тогда
справедлива Лемма 5.7. Точки положительного дискретного спектра
оператора Н суть полюсы первого порядка оператора
{Е-Т{Х))-\
Доказательство . Пусть Я,- — точка положительного дискретного спектра оператора Н. Тогда уравнение
(£_Т ±{Я /))ф = 0 |
(5.14) |
89