книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

фм (X, t) = j

dx j

—

G0(x, у, t — x) Ум(у, x)dSy,

0

Sj

dn

( 1. 22)

где плотность

ум {у,

т)

есть решение интегрального уравне­

ния 1

I

у, t — т)

HF -i- [Х)И(х,

t) +

J dx j1

■G0 (х,

Ум (У, т) dSy =

о

дпи

s3

=

Фм(х,

О-

(1.23)

t

G0 (х, у, t— -г)JФ (г/, т)dSg.

(Ар)(х, 0 = 2 1 dt ^

=F Ум (х,

t) = £

( - 1)"' {Ат2ФМ) (х, t).

(1.24)

т=О

Каковы бы ни были точки х£ S2, t >

0

1 im Фм (х,

t) =

lim Г\GM(x, у,

t)<f(y)dy — y$(x,

О] =

М-+оо

М-*оо LJ .

J

= j G (х, у,

t) ф (у) dy — ф(‘) (х, t) = Ф (х, t),

причем для всех М и т ( [0,

i]

IФл1 (X, т) I <

|j

Gm (x ,

у,

т)(f(y)dy\ + \cpff (x, t)| <

<C(t,\|F<~> (x) \q) [2 + |

(x) I .] ||«p(y) Ik:

(1.25)

Как известно,

^+1-6

aU—i/i2

-j— G0{x,.y,

t — x)

< C ( t - 1) 2

'e

t—x

Xt У6 *^2>

dny

a > 0 ,

6 > 0 .

Следовательно, интеграл

t

Я1

d

G0(x,

y,

t — t) q dSy d%<

oo

0 s.

dn

при некотором q >

1.

Поэтому справедлива оценка

|Л(Ф — Фм)(х,

t) |< ^J

J

| G0 (х,

у,

t — т)

qd.S„dxsj

lq x

о

s,

9

у

t

(1.26)

X ( j

j

|Ф(х,

t ) -

Фм(.х,

0 р-dSxdT)'/p,

о

S,

отсюда следует,

что

||Л(Ф-Фм)||в->0,

М~> оо,

поэтому из формулы (1.24) следует, что

||р(х,

t) — \iM{x,

ОЦв-^-0,

УИ-э-оо,

где

lim cp $ (*> 0 =

<Р(2)(х, t),

(1.27)

М->оо

где

t

фР)(х, t) = _^dx J [ — Go (^»

У< t — x)j n(y,x)dSy.

(1.28)

0 s.

1ф<2>(л:, f)|<C 2(f,

-

— 1*1“

||р(г/, т)||в <

р (грDx, грD2)) е

8‘

U|*

CC^f. ptrpD^rpDJJKWWge

8i

||1Ч(0)|»»ФШ»,

IVx¥2)(x> t) I<

clit, p(rp Dx,

rpD2), II V<--] (x) \q,

IIУм„ (У) lleo) exp ^---- 1x |2^1ф (у) И»•

(1.29)

- Формулы (1.28)

и (1.18) были получены нами при ус­

N

_

т(ц—х )г

Фт(У) =

2

j

е

4 ф (лс)dx.

По каждой функции срт(у) с

помощью формул

(1.18)

и

(1.28) МОЖНО

построить

функции фт (x,

t) И фт* (х,

t).

Легко видеть, что

Пт фш{х,

t) =

lim f G(x,

у,

t)ym(y) dy =

ф (х,

t),

т-¥оо

т—>оо J

то из оценок (1.20),

(1.21) и (1.29)

следует

j ^ g (х,

У, t) ф (у) dy

< C ' ( U ^ " , W L

е, II^W IU,

( 1 - е )

(*-!/>*

Р(грA.,

г -

— l*lL

«41

1

rpDa)) уе

81

+ j — [x^ ylN-2—

\УмАУ)\Лу\ X

х ||ф((/)|и,

(1.30)

■|2. = Дф-У(*)Ф,

t> 0

,

x £ D lt .

(1.32)

at

Из формулы (1.18) следует, что

lim(p(„v-,

t)— lim ГфО (jc, <) +

ф(2>(х,

<)] =

ф(х),

x^Dt.

f—>-|-0

t—>-|-0

(1.33)

А так как функция JG(t,

у, t)q>(y)dy непрерывна по

х е ,vDi при t>0, то задача (1.31)

имеет единственное реше­

ние, и функция

Теорема 1.2.

Функция G(x,

у,

t)

при

любых

(>0

и

y^RN удовлетворяет соотношению

m es{A; x£Q, G(а ,

у,

t)=£0} =

0.

Доказательство.

Ясно,

что Q = Q ( + ) U ^ <_). где Q<+>=

= {а,

V (а) = + оо},

= {а;

V (а) = — сю}.

Из

условий

A (a,

R) следует, что mes Q<_) = 0,

поэтому

достаточно

рас­

смотреть лишь случай а 6 Q(+).

Пусть

У(+) (а) = max(У (а), 0},

vffl (а) = гшп{И<+> (а),

М},

ШЧх, у, i) =

G0(а, у,

Q £ { e x p ( - 2 * J v f r W f ( A ( T ) -

о

— та(1)) + * +

{У—*)т)£гт)},

5<+> (а, у,

t) = Пт2й") (а,

у, t).

При каждом М е (0, оо) функция G ^ (*,

У,

t)

удовлетворяет

интегральному уравнению

Ш \ х , у , t) = G0(а, у, 0 - 2

I, t — т) X

Отсюда следует, что

2 j dt J G0 (*,

Б,

f —

У, т)d l< G 0(x,

у,

0.

о

Следовательно,

t

J G0(л:,

— т ) ^ 5(Б, р,

x ) d K - ^ - G 0{x,

у,

t).

0 а(+)

Переходя к пределу при М->~оо,

получим

t

J

G0(x, Б, t — x)G{l, у, т)dg=0.

j dx

0

Q (+ )

mes {0< т < г !; Бб&(+)>

G(£, У, т)=й=0} = 0.

[О.ПХЯдг

Из равенства (1.34)

следует,

что при любом

можно

найти такое т^(0, t),

что выполнено .равенство

Г

GH->(*,

x)dx = 0,

\ G<+) (х, у, t) dx — 0.

(1.36)

о<+)

Так как G^>(x; у, t) > 0 ,

то

mes(х:, х £&<+>,

G<+)(x, у, £)=£0}=0.

(Г.37)

Д о ка за те ль ств о леммы 1.8. Пусть ф(х)6 LP.

Тогда

II (£м ф) (*) — (Дф) (х) Hi <

J [ f 18м (х,

У,

t)— g {х,

у, 0 |Ф(у) |X

X dp] dx < |Ф(У) ||р( j [ j |gM (x, 'у, t)— g(x, у,

t) |dx]p' dp)l/p’,

P' = PI(P— !)•

(1-39)

Из оценки (1) теоремы 1.1

вытекает неравенство

j IgM (x, у,

t)— g(x, у,

/) |dx <

11 gM(x, y,

01 +

-+-I^(JC, y,

t) |dx<2C (0

IIV^COJ,) jGoC*,

y, i)dy =

Следовательно,

= 2C(t,

||V<->(x)||9).

2 С (< ,-| + > (,)| ,)

j

+

(x '

»•

a ■ ( ) | , f c < 1 '

и из неравенства (1.39) вытекает, что

Ife* Ф) (X) - (дФ) (х) |х <

2UP с (0

I У(~) (х) J)'/p|ф (х) |р X

(Т .40)

X (j| gM(x,

у,

t)— g(x,

у,

t)\dxdy)lJP'.

Докажем, что

lim Г | (а:,

у,

t)— g{x,

у,

t)\dxdy = 0.

(1.41)

lim {gM (х, у, t)— g{x,

у,

0) = 0.

00

поэтому в силу оценки (1) теоремы

1.1 и теоремы Лебега

при любом фиксированном x^ R n

lim Г|Дм(*, У, t)—g(x,

у,

t)\dy = О,

Ai—^oo о

а в силу оценки

(2) справедливо равенство (1.41). Из (1.39)

и (1.40) следует

утверждение леммы.

номерной операторной топологии пространства-*

Li, 1 < р < о о ,

1 < р < о о ,

1/р +

1/<7 < 1.].

Доказательство леммы 1.9.

II(gMФ) (х) — (ДФ) (х) 0, <||ф(х)||р( j [ j

|Дм(х,

у, t) —

- g ( x , у, t) Y d y f p‘ dx

< 1ф (x) |p (2C (t, |!/(-> (x) |?УIp x

х ( Я I 'gM ^х’

у>l) I dy]qlP' с1х)1/ч<

< с '||фW|lp( j |£м(*,

У,

t) — g(x,

у, t)\dxdyyq^O,

М -> оо.

Лемма 1.9 доказана.

вытекает

утверждение: если (gM—

Из теоремы М. Рисса

— <?)->-О, при М-+оо

в

равномерной операторной

топологии

пространства

и

то (gM— g) ->0 в равно­

1/р(т) =

T/pi-f (1 — т)/р2; l/q(T) =

T/q1 +

( l — T)/qz,

0 < т < 1 .

Теорема 1.3

вытекает из лемм

1.8 и

1.9

на основе этого

утверждения.

Операторы gM и g вполне

непрерывны в

Теорема 1.4.

пространстве (Lp-^L®,

1<р^оо,

1^р<оо]

и принадлежат

[Lp-+Li, 1 ^psgtx),

l^ p ^ oo].

как опера­

Лемма 1.10.

Оператор g вполне непрерывен

тор [L^-vL®, 1^р<оо].

леммы

1.10.

Рассмотрим

множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о

{/, /=<£Гф,

N L < .1 }

и докажем,

что оно компактно в метри­

ке L®.

Воспользуемся

признаком

компактности

М.

Рисса.

Так как при ||ф|1оо^1

1(£ф(*)1< jl£(*.

У, f)\dy,

(1.42)

то в силу

оценки

(2)

теоремы

1.1

множество {/,

f=gq>,

||ф||„<.1} ограничено равномерно по ср в метрике L®, в силу

неравенства (1.42) равномерно по <ре{ср; ||ср|1оо<^.1}

Пт

Г

(£Ф) (*)|®сД< Нт

[ J |g(*> У,

t)\ dyjqdx

0,

A-+OQ\хJ\^А

Пт |(£ф) (х + Щ— (&ф) (х) |9 ->.0,

|h\-». 0,

|Л1-»0

а это вытекает из неравенства

К е т ) (•* + *) — ( £ ф ) ( * ) 1 ? < | [ y g ( x +

h,

у,

0 —

— ё ( х , у, 0 1 ф Ы 1^

] ‘7^ < С | | ф 1|оОJ J | g ( * +

A,

у, 0 '

— g(x,

У, t)\dxdy->-0, |/г| —>•0.

Лемма 1.10 доказана.

1) j I С?ф) (*)|d*‘<

0 IIФ(у) I dyj dx <

\А>А

<||Ф1(Я

J

|g(x, г/, 0 1 ^ ]Р'Ф )1/Р'->0 .

' |*|>Л

(1.43)

2) J |(Яф) (х + Л) — (£ф) (х) |Л < 11Ф (у) |[ |g(х + h, у, t)—

— g(x, у,

f)|dxjd0 < № l „ ( J[ J|g(jc +

/i,

у, t) —

~g(x,

y,

t)\dxY dy}4"’ <C\<t%^\g(x + h, y,

t) —

—g{x,'y,t)\dxdyjlp'-+Q,

]/zj -»0.

(1.44)

Из оценок

(1.43)

и

(1.44) вытекает

вполне

непрерывность

оператора g в метрике [Lp~y-L\ 1 <р<;оо].

Из лемм 1.43 и 1.44 вытекает |[3, стр. 65].

Следствие 1.

Оператор g

вполне непрерывен как опера­

тор

• [ L p - * L i ,

1< р < о о ,

1< ^ < о о ,

р > р ] .

Из теоремы Шаудера следует, что сопряженный

оператор

g* вполне непрерывен как оператор

[L4'-+-Lp',

1 < р < о о ,

1 < р < о о ,

p>q,

У' =

<7/(<7— 1).

Р' = РИР — 1)1-

Так как в силу симметрии функции g(x, у, t)

по х и у спра­

ведливо равенство

{/;

/ = £Ф>

1|ф||Р< 1 } =

{/;

f = g*Ф.

11ф|Р<1}>

то отсюда

и следует утверждение теоремы.

(Чтобы полу­

ство полной непрерывности.)

Включение g е [Ьр-+Ьч,

1<^р^оо, l-^psgrioo] тривиально

вытекает из оценок теоре­

мы 1.1.